专题3 培优点3 数列与其他知识的交汇问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点3　数列与其他知识的交汇问题 1.解：（1）由Sn＝2an－1， 当n＝1时，S1＝2a1－1，则a1＝1≠0， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1， 两式相减得Sn－Sn－1＝2an－1－（2an－1－1）， 即an＝2an－1（n≥2）， 因此数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2n－1. （2）证明：由（1）知Sn＝2n－1. 当n＝1时，＝1＜2； 当n≥2时，2n－1＞1， 所以Sn＝2n－1＞2n－2n－1＝2n－1＞0， 所以＝＜， 所以＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝＝2（1－）＜2. 综上，＋＋＋…＋＜2. 2.解：（1）对于数列{an}，取＝2＝a2，显然不满足集合W的条件①， 故{an}不是集合W中的元素； 对于数列{bn}，当n∈{1，2，3，4，5}时， 不仅有＝3＜b2，＝4＜b3，＝3＜b4，而且有bn≤5， 显然满足集合W的条件①②，故{bn}是集合W中的元素. （2）∵{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝，S3＝， 设其公比为q（q＞0），∴＋＋c3＝，整理得6q2－q－1＝0， ∴q＝，∴c1＝1，cn＝，Sn＝2－， 对于任意n∈N*，有＝＜2－＝Sn＋1，且Sn＜2， 故{Sn}∈W，且M∈[2，＋∞）. 3.解：（1）－an＋1an－2＝0，即（an＋1＋an）·（an＋1－2an）＝0， 因为{an}的各项均为正数，所以an＋1＋an＞0，故an＋1＝2an，即＝2， 所以{an}是以2为公比的等比数列，又a1a2a3＝64，故＝64，a2＝4， 结合公比为2得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n. （2）Tn＜9，证明如下. 令f（x）＝ln（1＋x）－x（x＞0），则f'（x）＝－1＝， 当x＞0时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，＋∞）上单调递减， 所以ln（1＋x）－x＜ln（1＋0）－0＝0，即ln（1＋x）＜x. 设cn＝1＋，则ln cn＝ln（1＋）＝ln（1＋）＜， 所以ln Tn＝ln c1＋ln c2＋ln c3＋…＋ln cn＜＋＋＋…＋. 记An＝＋＋＋…＋， 则An＝＋＋…＋＋， 所以An－An＝＋＋＋…＋－＝－＝1－＜1， 所以An＜1，即ln Tn＜An＜2，所以Tn＜e2＜32＝9. 4.解：（1）由题意，可得＝（an＋d）（an－d）＋λd2， 化简得（λ－1）d2＝0，又d≠0，所以λ＝1. （2）将a1＝1，a2＝2，a3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0， 所以＝an＋1an－1，所以数列{an}是首项为1，公比q＝2的等比数列，所以an＝2n－1. 欲存在r∈[3，7]，使得m·2n－1≥n－r，即r≥n－m·2n－1对任意n∈N*都成立， 则7≥n－m·2n－1，所以m≥对任意n∈N*都成立. 令bn＝，则bn＋1－bn＝－＝， 所以当n＞8时，bn＋1＜bn；当n＝8时，b9＝b8；当n＜8时，bn＋1＞bn. 所以bn的最大值为b9＝b8＝，所以m的最小值为. （3）因为数列{an}不是常数列，所以T≥2. ①若T＝2，则an＋2＝an恒成立，从而a3＝a1，a4＝a2，所以 所以λ（a2－a1）2＝0，又λ≠0，所以a2＝a1，可得{an}是常数列.矛盾. 所以T＝2不合题意. ②若T＝3，取an＝（k∈N*）（*），满足an＋3＝an恒成立. 由＝a1a3＋λ（a2－a1）2，得λ＝7. 则条件式变为＝an＋1an－1＋7. 由22＝1×（－3）＋7，知＝a3k－2a3k＋λ（a2－a1）2； 由（－3）2＝2×1＋7，知＝a3k－1a3k＋1＋λ（a2－a1）2； 由12＝（－3）×2＋7，知＝a3ka3k＋2＋λ（a2－a1）2. 所以数列（*）适合题意. 所以T的最小值为3. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点3　数列与其他知识的交汇问题 1.（2024·邢台二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1. （1）求{an}的通项公式； （2）求证：＋＋＋…＋＜2. 2.（2024·新乡模拟）设集合W由满足下列两个条件的数列{an}构成：①＜an＋1；②存在实数M，使an≤M（n为正整数）. （1）在只有5项的有限数列{an}，{bn}中，其中a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝1，b2＝ 4，b3＝5，b4＝4，b5＝1；试判断数列{an}，{bn}是否为集合W的元素； （2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3＝，S3＝，证明数列{Sn}∈W，并写出M的取值范围. 3.各项均为正数的数列{an}满足－an＋1an－2＝0，a1a2a3＝64. （1）求{an}的通项公式； （2）记Tn＝（1＋）（1＋）（1＋）…（1＋），试比较Tn与9的大小，并加以证明. 4.（2024·南京六校联考）设数列{an}满足＝an＋1an－1＋λ（a2－a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数. （1）若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值； （2）若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·an≥n－r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值； （3）若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an＋T＝an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $