专题3 培优点1 数列的递推关系(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点1　数列的递推关系 1.已知数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 2.（2024·潍坊高考模拟考试）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1.若数列{an＋an＋1}是公比为2的等比数列，则a2 024＝（　　） A. B. C.21 012－1 D.21 011－1 3.（2024·茂名一模）已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，＝，则a5＝（　　） A.16 B.32 C.64 D.128 4.已知数列{an}满足＋＋…＋＝n（n∈N*），bn＝λ（an－1）－n2＋4n，若数列{bn}为递增数列，则λ的取值范围是（　　） A.（，＋∞） B.（，＋∞） C.［，＋∞） D.［，＋∞） 5.（多选）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，被后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第n层有an个球，从上往下n层球的总个数为Sn，记bn＝（－1）n·（an＋1－an），则下列结论正确的是（　　） A.an＋1－an＝n＋1 B.b1＋b2＋…＋b20＝20 C.Sn－Sn－1＝，n≥2 D.的最大值为 6.（2024·南京、盐城调研测试）若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋an＋1＋an＋2＝n2（n∈N*），则a100＝　　　　. 7.已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则数列{an}的通项公式为　　　　. 8.（2024·江西鹰潭一模）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1（n∈N*），且a1，a2＋5，a3成等差数列. （1）求a1的值； （2）求数列{an}的通项公式. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点1　数列的递推关系 1.D　由题意得（an＋2＋an＋1）－（an＋1＋an）＝[2（n＋1）－3]－（2n－3），即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝（a8－a6）＋（a6－a4）＝2＋2＝4. 2.A　法一（累加法）　由题知a1＋a2＝1，所以an＋1＋an＝1·2n－1＝2n－1，所以an＋2＋an＋1＝2n，两式相减得an＋2－an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a2 024＝a2＋（a4－a2）＋（a6－a4）＋…＋（a2 024－a2 022）＝1＋21＋23＋…＋22 021＝1＋＝1＋＝，故选A. 法二（构造数列法）　由题知a1＋a2＝1，所以an＋1＋an＝1·2n－1＝2n－1，所以an＋1＝－an＋2n－1，＝－＋1＝－·＋1，－＝－·（－），所以{－}是等比数列，－＝（－）·（－）n－1＝－（－）n－1，所以an＝，因此a2 024＝＝，故选A. 3.B　由＝，得＝，于是＝＝，则＝，两边取对数得nlg an＋1＝（n＋1）lg an，因此＝，数列是常数列，则＝＝lg 2，即lg an＝nlg 2＝lg 2n，所以an＝2n，a5＝32.故选B. 4.A　由＋＋…＋＝n（n∈N*），得＋＋…＋＝n－1（n≥2），两式相减可得＝1（n≥2），则an＝2n（n≥2），当n＝1时，由＝1可得a1＝2，满足上式，故an＝2n（n∈N*），所以bn＝λ（2n－1）－n2＋4n.因为数列{bn}为递增数列，即∀n∈N*，bn＋1－bn＞0，则λ（2n＋1－1）－（n＋1）2＋4（n＋1）－[λ（2n－1）－n2＋4n]＝λ·2n－2n＋3＞0，整理得λ＞，令cn＝，则cn＋1－cn＝－＝（n∈N*），当n≤2时，cn＋1＞cn，当n≥3时，cn＋1＜cn，即当n＝3时，取得最大值，从而得λ＞，所以λ的取值范围为（，＋∞）.故选A. 5.ACD　a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），所以an＋1－an＝n＋1，故A正确.因为bn＝（－1）n（an＋1－an）＝（－1）n（n＋1），所以b1＋b2＋…＋b20＝－2＋3－4＋5－…－20＋21＝10，故B不正确.因为a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝（n≥2），经检验a1＝1也满足该式，故an＝，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝，故C正确.＝＝，－＝－＝，所以当n＝1时，＞，当n＝2时，＝，当n≥3时，＜，所以当n＝2或n＝3时，取得最大值，故D正确.故选A、C、D. 6.3 268　解析：∵an＋an＋1＋an＋2＝n2，∴an＋1＋an＋2＋an＋3＝（n＋1）2，两式相减得an＋3－an＝2n＋1，∴a4－a1＝2×1＋1，a7－a4＝2×4＋1，…，a97－a94＝2×94＋1，a100－a97＝2×97＋1，累加得a100＝a1＋（2×1＋1）＋（2×4＋1）＋…＋（2×94＋1）＋（2×97＋1）＝2×（1＋4＋…＋94＋97）＋34＝（1＋97）×33＋34＝3 268. 7.×3n－1＋×（－1）n－1 解析：∵an＝2an－1＋3an－2（n≥3），∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2）（n≥3），又a1＋a2＝7，∴{an＋an－1}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋an－1＝7×3n－2　①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2）（n≥3），a2－3a1＝－13，∴{an－3an－1}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an－3an－1＝（－13）×（－1）n－2　②，由①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13×（－1）n－1，∴an＝×3n－1＋×（－1）n－1. 8.解：（1）2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， 令n＝2得2S2＝a3－23＋1，即2a1＋2a2＝a3－7， ① 因为a1，a2＋5，a3成等差数列，所以2（a2＋5）＝a1＋a3，即a3＝2（a2＋5）－a1.② 将②代入①可得2a1＋2a2＝2（a2＋5）－a1－7，解得a1＝1， 故a1的值为1. （2）因为2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， 当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1， 两式作差可得an＋1＝3an＋2n，所以an＋1＋2n＋1＝3（an＋2n），n≥2， 易知a2＝5，所以an＋2n＝（a2＋22）×3n－2＝（5＋4）×3n－2＝3n，即an＝3n－2n，n≥2， 将n＝1代入an＝3n－2n得a1＝31－21＝1，符合题意. 故数列{an}的通项公式为an＝3n－2n. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $