专题3 第2讲 大题专攻——数列中的综合问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第2讲　大题专攻——数列中的综合问题 1.已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且Sn是an与的等差中项. （1）证明：数列{}为等差数列； （2）若bn＝，求b1＋b2＋b3＋…＋b99的值. 2.（2024·济南高三模拟考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝且Sn＝2an＋1－3，令bn＝. （1）求证：{an}为等比数列； （2）求使bn取得最大值时的n的值. 3.已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－（n＋1）an＝1.数列{bn}满足bn＝. （1）证明：{bn}是常数数列； （2）若数列{cn}满足cn＝sin（an）＋，求{cn}的前2n项和S2n. 4.（2024·南昌一模）对于各项均不为零的数列{cn}，我们定义：数列{}为数列{cn}的“k-比分数列”.已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，且{an}的“1-比分数列”与{bn}的“2-比分数列”是同一个数列. （1）若{bn}是公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn； （2）若{bn}是公差为2的等差数列，求an. 5.（2024·石家庄教学质量检测）已知数列{an}满足a1＝7，an＋1＝ （1）写出a2，a3，a4； （2）证明：数列{a2n－1－6}为等比数列； （3）若bn＝a2n，求数列{n·（bn－3）}的前n项和Sn. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　大题专攻——数列中的综合问题 1.解：（1）证明：因为Sn是an与的等差中项，所以Sn＝（an＋）. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，所以Sn＝（Sn－Sn－1＋）（n≥2）， 即2Sn＝Sn－Sn－1＋，可得Sn＋Sn－1＝，即－＝1. 令n＝1，可得S1＝a1＝（a1＋），解得a1＝1或a1＝－1， 又数列{an}是正项数列，所以a1＝1. 所以数列{}是以＝1为首项、1为公差的等差数列. （2）由（1）得＝＋n－1＝n，即＝n. 因为数列{an}是正项数列，所以Sn＞0，所以Sn＝. 于是an＝Sn－Sn－1＝－（n≥2）， 当n＝1时，a1＝1，符合an＝－，可得an＝－. 所以bn＝＝＝－， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b99＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＝. 2.解：（1）证明：由Sn＝2an＋1－3可得n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， 即n≥2时，＝， 因为a1＝，a1＝2a2－3，所以a2＝，则＝， 综上，＝，n∈N*， 所以{an}是首项和公比均为的等比数列. （2）由（1）可得an＝（）n， 所以bn＝（）n（n2＋n），n∈N*， n≥2时，＝＝， 令＞1，可得2≤n＜5，令＜1，可得n＞5， 可知b1＜b2＜b3＜b4＝b5＞b6＞b7＞…， 综上，bn取得最大值时，n＝4或n＝5. 3.解：（1）证明：因为bn＋1－bn＝－＝ ＝＝＝0， 所以bn＋1＝bn，所以{bn}是常数数列. （2）因为a1＝1，所以bn＝b1＝＝2，所以＝2，所以an＝2n－1. 所以cn＝sin［（2n－1）］＋22n－1＝sin（nπ－）＋22n－1， 所以S2n＝［sin＋sin＋sin＋…＋sin（2nπ－）］＋（21＋23＋25＋…＋24n－1） ＝（1－1＋1－1＋…－1）＋＝. 4.解：（1）由题意知＝， 因为b1＝1，且{bn}是公比为2的等比数列，所以＝4， 因为a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列， 所以Sn＝＝（4n－1）. （2）因为b1＝1，且{bn}是公差为2的等差数列，所以bn＝2n－1， 所以＝＝， 所以＝，＝，…，＝， 所以＝，因为a1＝1， 所以an＝（4n2－1）. 5.解：（1）由题意知，a1＝7，所以a2＝a1－3＝4， a3＝2a2＝8，a4＝a3－3＝5. （2）证明：因为an＋1＝ 所以a2n＋1－6＝2a2n－6＝2（a2n－1－3）－6＝2（a2n－1－6）， 所以＝2，且a1－6＝1， 所以数列{a2n－1－6}是首项为1，公比为2的等比数列. （3）由（2）可知，a2n－1－6＝2n－1，即a2n－1＝2n－1＋6， 因为2n为偶数，2n－1为奇数， 所以bn＝a2n＝a2n－1－3＝2n－1＋3， 所以n·（bn－3）＝n·（2n－1＋3－3）＝n·2n－1， 所以Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1， ① 2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， ② ①－②得，－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n， 所以Sn＝1＋（n－1）·2n，n∈N*. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $