专题3 第1讲 小题研透——数列中的基本问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

专题三　数列 第1讲　小题研透——数列中的基本问题 1.C　等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝15，解得a3＝5，又a4＋a6＋a8＝3a6＝33，所以a6＝11，又因为a3，a6，a9成等差数列，所以a9＝2a6－a3＝22－5＝17.故选C. 2.A　设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋5a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋5a1，即a3＝4a1＝a1q2，所以q2＝4，又a5＝4，所以a1q4＝a1（q2）2＝a1×42＝4，所以a1＝.故选A. 3.B　设等差数列{an}的公差为d（d＜0），由a3，a4，a7是等比数列，得（a1＋3d）2＝（a1＋2d）·（a1＋6d），解得a1＝－d，则an＝a1＋（n－1）d＝（n－）d，显然等差数列{an}单调递减，当n≤2时，an＞0，当n≥3时，an＜0，所以当Sn取最大值时，n＝2.故选B. 4.BC　对于A，因为＝a2a8＝16，所以a5＝±4，所以A不正确；对于B，因为a1＝1，a2a8＝16，则q8＝16，所以q8＝16，所以q＝±，所以B正确；对于C，因为T9＝a1a2·…·a9＝，所以｜T9｜＝｜｜＝218，所以log2｜T9｜＝18，所以C正确；对于D，＋≥2a3a7＝2a2a8＝32，当且仅当a3＝a7时，等号成立，所以D不正确.故选B、C. 5.　解析：因为数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝6，可得a1＋d＝2　①，a3＋a5＝a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝10，可得a1＋3d＝5　②，联立①②可得a1＝，d＝，所以S5＝5a1＋d＝5×＋10×＝. 6.2　解析：当q＝1时，Sn＝na1＝n，Sn＋1＝n＋1，{Sn＋1}不是等比数列，所以q≠1，Sn＝＝，Sn＋1＝＋1＝＝－·qn，根据等比数列的通项公式的形式，得＝0，解得q＝2. 7.B　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，＝3，即S6＝3S3，又S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即＝，故4S3＝S9－S6，故S9＝7S3，故＝. 8.D　n＝1时，＝；n≥2时，＝－＝，＝，∴a5a6＝99，∴a6（2a6＋7）＝99，∴a6＝，a5＝18，∵a4a5＝63，∴a4＝，∵a3a4＝35，∴a3＝10，∵a2a3＝15，∴a2＝，∵a1a2＝3，∴a1＝2.故选D. 9.A　因为an＋1－an＜0，所以数列{an}为递减数列，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－（n－1）2＋2（n－1）＋m]＝－2n＋3，故可知当n≥2时，数列{an}单调递减，若对任意n∈N*，an＋1－an＜0，只需满足a2＜a1，因为a2＝－1，a1＝S1＝1＋m，所以－1＜1＋m，解得m＞－2.故选A. 10.B　法一　∵数列{an}是公差为的等差数列，∴an＋3＝an＋×3＝an＋2π，∴cos an＋3＝cos an，∴数列{cos an}是周期为3的数列.不妨取a1＝－，则cos a1＝cos a2＝，cos a3＝－1，∴集合S＝{－1，}，则ab＝－.故选B. 法二　由题意，得an＝a1＋（n－1）·，又S＝{cos an｜n∈N*}＝{a，b}，∴cos a1≠cos a2，但cos a1＝cos a3，即cos a1＝cos（a1＋），∴a1＋a1＋＝2kπ（k∈Z），∴a1＝－＋kπ（k∈Z）.不妨取k＝1，则a1＝，a2＝＋＝π，则S＝{，－1}＝{a，b}，∴ab＝－1×＝－.故选B. 11.ACD　对于A，∵a3＋a7＝2a5＝4，∴S9＝＝＝＝18，故A正确；对于B，∵S15＝＝＝15a8＞0，∴a8＞0，∵S16＝＝（a8＋a9）×8＜0，∴a8＋a9＜0，∴a9＜0＜a8，a9－a8＜0，－＝（a9＋a8）（a9－a8）＞0，∴＜，故B错误；对于C，记等差数列{an}的公差为d，（a3＋a4）－（a1＋a2）＝4d＝9－5＝4，则d＝1，∴a7＋a8＝（a3＋4d）＋（a4＋4d）＝（a3＋a4）＋8d＝9＋8＝17，故C正确；对于D，∵a8＝S10，∴a1＋7d＝10a1＋d＝10a1＋45d，∴9a1＝－38d，则a1＝－d＞0，∴d＜0，S9＝9a1＋d＝－38d＋36d＝－2d＞0，S10＝a8＝a1＋7d＝d＜0，故D正确.故选A、C、D. 12.BC　设数列{an}的首项为a1，公比为q，由题有解得或对于选项A，当n为偶数时，an＜0，所以选项A错误；对于选项B，因为Sn＝，当显然有Sn＞0，当时，1－q＜0，1－qn＜0，所以Sn＞0，故选项B正确；对于选项C，当q＝3时，数列{｜an｜}是首项为2，公比为3的递增数列，当q＝－时，数列{｜an｜}是首项为32，公比为的递减数列，所以选项C正确；对于选项D，由选项B知Sn＞0，所以｜Sn｜＝Sn，当时，Sn＝＝［1－（－）n］，此时Sn不具有单调性，所以选项D错误，故选B、C. 13.25　解析：∵S20＝×20＝100，∴a1＋a20＝10，∴a10＋a11＝a1＋a20＝10.又∵a10＞0，a11＞0，∴a10·a11≤（）2＝＝25，当且仅当a10＝a11＝5时，取“＝”，∴a10·a11的最大值为25. 14.2　解析：法一　因为Sn＝nan，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－（n－1）·an－1，得（n－1）an＝（n－1）an－1，即an＝an－1，所以数列{an}是常数列，所以an＝a1，Sn＝na1，所以S2＋S4＋S6＋…＋S60＝（2＋4＋6＋…＋60）a1＝a1＝930a1＝1 860，解得a1＝2. 法二　因为Sn＝nan，所以当n≥2时，Sn＝n（Sn－Sn－1），得（n－1）Sn＝nSn－1，则有＝，所以数列是常数列，则＝＝a1，所以Sn＝na1，所以S2＋S4＋S6＋…＋S60＝（2＋4＋6＋…＋60）a1＝a1＝930a1＝1 860，解得a1＝2. 15.π　17　解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－[a（n－1）2＋b（n－1）]＝2na－a＋b.又当n＝1时，a1＝S1＝a＋b，满足an＝2na－a＋b，所以an＝2na－a＋b，所以数列{an}为等差数列，故a1＋a17＝2a9＝π.由题意得f（x）＝sin 2x＋cos x＋1，所以y1＋y17＝f（a1）＋f（a17）＝sin 2a1＋cos a1＋1＋sin 2a17＋cos a17＋1＝sin 2a1＋cos a1＋1＋sin（2π－2a1）＋cos（π－a1）＋1＝2，同理，y2＋y16＝2，…，y8＋y10＝2.又易得y9＝f（a9）＝1，所以数列{yn}的前17项和为2×8＋1＝17. 16.D　A选项，题图1中正六边形的个数为1，题图2中正六边形的个数为7，题图3中正六边形的个数为49，由题意得数列{an}为首项为1，公比为7的等比数列，所以an＝7n－1，故a4＝73＝343，故A错误；B选项，由题意知C1＝6，C2＝×6＝14，C3＝（）2×6＝，故B错误；C选项，数列{Cn}是首项为6，公比为的等比数列，故Cn＝6×（）n－1，因为＞1，所以Cn＝6×（）n－1单调递增，不存在正数m，使得Cn≤m恒成立，故C错误；D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为an＝7n－1个，每个小正六边形的边长为（）n－1，故每个小正六边形的面积为6××（）2n－2，则Sn＝7n－1×6××（）2n－2＝×（）n－1，故D正确.故选D. 17.ACD　由第1列数a1，a2，a5，a10，…成等差数列，设公差为d，又由a2＝2，a10＝8，可得a1＋d＝2，a1＋3d＝8，解得a1＝－1，d＝3，则第一列的通项公式为ak＝－1＋（k－1）×3＝3k－4，又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，可得a2＋a3＋…＋a9＝2＋4＋8＋5＋10＋20＋40＋80＝169，所以A正确，B错误；又因为每一行的最后一个数为a1，a4，a9，a16，…，且452＝2 025，可得a2 024是a2 025的前一个数，且a2 025在第45行，因为这一行共有2×45－1＝89个数，则a2 024在第45行的第88列，所以C正确；由题设可知第i行第j个数的大小为（3i－4）×2j－1，令（3i－4）×2j－1＝2 024，若j＝1，则3i－4＝2 024即i＝676；若j＝2，则3i－4＝1 012，无整数解；若j＝3，则3i－4＝506即i＝170；若j＝4，则3i－4＝253，无整数解.故D正确. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 第1讲 小题研透 数列中的基本问题 A级基础回归 1.(2024·岳阳质量监测)己知{an}为等差数列，41十a3十a5=15,a4十a6十as=33,则ag= ) A.6 B.12 C.17 D.24 2.（2024·南京、盐城一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=a2十5a1,a5=4,则a1= A. B.- C.克D.-克 3.(2024·七市州调研)已知公差为负数的等差数列{a}的前n项和为Sn,若a3,a4,a是等比数 列，则当Sn取最大值时，n=（) A.2或3 B.2C.3D.4 4.(多选)设公比为g的等比数列{a}的前n项积为Tm,若a2as=16,则() A.a45=4 B.当a1=1时，g=±V2 C.log21T,|=18 D.+≥36 5.(2024·江西红色十校联考)已知数列{an}满足2an+1=an十an+2,数列{an}的前n项和为Sn,S =6,a3十a5=10,则S5= 6.(2024·乌鲁木齐第二次质量监测)设等比数列{a}的首项为1，公比为9，前n项和为S,若 {Sn十1}也是等比数列，则q=」 1/4 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.Com○ 您身边的互联网+款辅专家 B级综合练透 乙.设等比数列o的前n项和为S,若音=3，则克=() A.2 B.子 c.号 D.3 8。(2024·苏锡常镇四市调研)已知正项数列{a}满足京十十…十=杂(n∈N)，若 a5一2a6=7,则41=（) A.青 B.1 c D.2 9.已知数列{an}的前n项和S,=一n2十2n十m,且对任意n∈N*,au+1一a,<0,则实数m的取值范 围是() A.(-2,十∞) B.(-∞，-2) C.(2,+∞) D.（-∞，2) 10.(2023·全国乙卷理10题)已知等差数列{a}的公差为钙，集合S={cosa,|n∈N,若S= {a,b},则ab=() A.-1 B.- C.0 D.克 2/4 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+款教辅专家 11.(多选)（2024·东北三校第一次联考)已知等差数列{am}的首项a1>0,则下列选项中正确的 是() A.若a3十a7=4,则S,=18 B.若S15>0,S16<0,则> C.若a1十a2=5,a3十a4=9,则a7十ag=17 D.若a8=S10,则S>0,S10<0 12.(多选) (2024·赣州模拟)已知等比数列{a,}的前n项和为S,a3=18,S,=26,则() A.an0 B.S>0 C.数列{IanI}为单调数列 D.数列{ISnI}为单调数列 13.记正项等差数列{an}的前n项和为Sn,S20=100,则a1o·a11的最大值为 14.已知数列{an}的前n项和为Sm,若Sm=na,且S2十S4十S6十…十S6o=1860,则a1=_ 15.已知数列{a,}的前n项和为Sn,满足S,=am2十bn(a,b为常数)，且ag=受，则a十a7= 设函数f(x)=2十sim2x一2sim受，yw=f(an),则数列{n}的前17项和为 3/4 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 C级能力突破 16.线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精 细的结构.一个正六边形的线性分形图如图所示，若图1中正六边形的边长为1，图n中正六边形的 个数记为a,所有正六边形的周长之和、面积之和分别记为C,S,其中图n中每个正六边形的边 长是图n一1中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是() 图1 图2 图3 A.a4=294 B.C3=9 C.存在正数m,使得Cn≤m恒成立 D成=9x3)1 17.(多选)(2024·枣庄二模)将数列{an}中的所有项排成如下数阵： a41 az as aa as a6 a7 as a9 从第2行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列；第1列数1， a2,a5,…成等差数列.若a2=2,a1o=8,则（) A.a4=-1 B.点a=168 C.a2024位于第45行第88列 D.2024在数阵中出现两次 4/4 独家授权侵权必究·