专题2 培优点4 三角函数与解三角形中的最值（范围）问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点4　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 1.A　因为函数f（B）＝2cos2B－1－2cos（B＋－）＋5＝2cos2B－2cos B＋4＝2（cos B－）2＋，所以当cos B＝时，函数f（B）取得最小值，此时，由余弦定理，得AC＝ ＝＝. 2.12　解析：由题意得，PC＋PD＝＋＝＋（0＜θ＜），令y＝＋（0＜θ＜），则y'＝，令y'＝0，则tan θ＝，当y'＞0时，tan θ＞，当y'＜0时，tan θ＜.故当tan θ＝时，y取得最小值，此时AP＝＝＝12. 3.　解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C.由正弦定理可得2b＝a＋c，又a＋c＝4，所以2b＝4，即b＝2.所以由余弦定理可得22＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac－2accos B，即ac（1＋cos B）＝6，又22＝a2＋c2－2accos B≥2ac－2accos B，即2≥ac（1－cos B），当且仅当a＝c时等号成立.所以2×6≥ac（1－cos B）×ac（1＋cos B），即2×6≥（acsin B）2.因为sin B＞0，所以0＜acsin B≤2，所以S△ABC＝acsin B≤ ，所以△ABC面积的最大值为. 4.解：（1）由题知，f（A）＝m·n＝（2sin A，sin A＋cos A）·（cos A，cos A－sin A）＝2sin Acos A＋cos2A－sin2A＝sin 2A＋cos 2A＝2sin（2A＋）. 因为≤A≤，所以≤2A＋≤， 所以－1≤sin（2A＋）≤，所以f（A）∈[－2， ]， 所以函数f（A）的最大值为. （2）因为f（A）＝2sin（2A＋）＝0， 所以2A＋＝kπ，k∈Z， 所以A＝－，k∈Z. 因为A∈［，］，所以A＝. 在△ABC中，由正弦定理得， ＝＝＝＝2， 所以b＋c＝（sin B＋sin C）＝， 所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝6， ① 由余弦定理得b2＋c2－2bccos A＝a2， 即b2＋c2－bc＝3， ② 由①②解得bc＝1， 所以△ABC的面积为bcsin A＝×1×＝. 5.解：（1）因为2bsin A－a＝0，由正弦定理边化角得：2sin Bsin A－sin A＝0， 所以（2sin B－）sin A＝0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B－＝0， 即sin B＝，又0＜B＜，所以B＝. （2）由（1）可知B＝，所以A＋C＝， 所以cos A＋cos C＝cos A＋cos（－A）＝cos A＋coscos A＋sinsin A ＝cos A－cos A＋sin A＝cos A＋sin A＝sin（A＋）， 由于在锐角△ABC中， 所以＜A＜， 所以＜A＋＜， 所以sin＜sin（A＋）≤sin， 所以＜sin（A＋）≤1，所以cos A＋cos C的取值范围为（，1］. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点4　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 1.在△ABC中，AB＝4，BC＝3，则当函数f（B）＝cos 2B－cos（B＋）－sin（B＋）＋5取得最小值时，AC＝（　　） A. B.2 C.4 D.2 2.如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在AB上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设∠APC＝θ（0＜θ＜），则当PC＋PD最小时，AP＝　　　　km. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝4，且sin A，sin B，sin C成等差数列，则△ABC面积的最大值为　　　　. 4.（2024·石家庄教学质量检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝（2sin A，sin A＋cos A），n＝（cos A，cos A－sin A），f（A）＝m·n，A∈［，］. （1）求函数f（A）的最大值； （2）若f（A）＝0，a＝，sin B＋sin C＝，求△ABC的面积. 5.（2024·石景山一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin A－a＝0. （1）求角B的大小； （2）求cos A＋cos C的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $