专题3.1 函数的概念及其表示专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.1 函数的概念及其表示（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型·1·对函数的概念的理解 1 题型·2·求函数的定义域 2 题型·3·求函数的值域 2 题型·4·由函数的定义域或值域求参数 3 题型·5·判断两个函数是否相等 3 题型·6·函数的表示法 4 题型·7·函数解析式的求解 5 题型 8·分段函数 6 题型·1·对函数的概念的理解 1．设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 2．托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，下列对应关系能构成从集合到的函数的是（    ） A．，，对应关系 B．，，对应关系 C．，，对应关系 D．，，对应关系 3．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 题型·2·求函数的定义域 5．函数的定义域是（     ） A． B． C．或 D．或 6．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A．B． C． D． 题型·3·求函数的值域 11．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 14．已知函数的定义域为，且对，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 15．已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 16．（多选）定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 题型·4·由函数的定义域或值域求参数 17．已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 18．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 19．已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 20．已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 题型·5·判断两个函数是否相等 21．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 22．下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 23．下列各组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 24．（多选）下列各组函数中是同一函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 25．（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型·6·函数的表示法 26．设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 27．某车辆装配车间每装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产.从当天开始生产的时刻起经过的时间（单位：）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数表达式正确的是（   ）（数学上，常用表示不大于的最大整数．） A．，； B．，； C．，； D．，. 28．已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 29．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 30．根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 题型·7·函数解析式的求解 31．已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 32．已知函数满足，则的值为（    ） A．8 B．81 C．9 D．92 33．已知函数， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．已知函数，且，则的值等于（   ） A．1 B．3 C．5 D． 35．若函数，则（   ） A． B． C． D． 36．已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 题型 8·分段函数 37．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 38．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 39．已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 40．已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 41．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 42．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 43．已知则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 44．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 函数的概念及其表示（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型·1·对函数的概念的理解 1 题型·2·求函数的定义域 3 题型·3·求函数的值域 5 题型·4·由函数的定义域或值域求参数 7 题型·5·判断两个函数是否相等 8 题型·6·函数的表示法 11 题型·7·函数解析式的求解 13 题型 8·分段函数 15 题型·1·对函数的概念的理解 1．设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的定义，要想表示从集合P到集合Q的函数， 则集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应. 对于A，集合P中的元素未对应完，比如在集合Q中没有元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数； 对于B，由于集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应， 因此，能表示从集合P到集合Q的函数； 对于C，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数； 对于D，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数. 2．托马斯曾说“函数是近代数学思想之花”，下列对应关系能构成从集合到的函数的是（    ） A．，，对应关系 B．，，对应关系 C．，，对应关系 D．，，对应关系 【答案】C 【分析】根据函数的概念进行判断即可. 【详解】对A：因为，但是，即集合中存在元素，按对应法则：“求平方”，集合中无元素与之对应， 所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以A不合题意； 对B：集合中存在元素，按对应法则计算得对应的像为,而，集合中无元素与对应，所以不合题意； 对C：对，中存在对应元素且唯一存在，故能构成从集合到的函数，所以C满足题意； 对D：因为集合不是数集，是数集，所以从到不能构成函数关系，所以D不合题意. 3．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 4．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 题型·2·求函数的定义域 5．函数的定义域是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ① 零次幂的底数不为零：，解得； ② 偶次根式的被开方数大于0，同时分母不为0：，解得， 可得且，即函数定义域为或. 6．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得，解得且，所以函数的定义域为. 7．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域求法，通过已知定义域求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得，解得， 所以的定义域为， 又因为，解得， 所以函数的定义域为． 8．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有或，解得或. 故函数的定义域为． 9．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为， 的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 题型·3·求函数的值域 11．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】函数，则. 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 13．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 14．已知函数的定义域为，且对，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法和方程组思想求解即可. 【详解】分别令和得到：，解得：． 故选：A． 15．已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即可. 【详解】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D 16．（多选）定义在R上的函数，对于任意的，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由于对于任意的，都有，采用赋值法求解逐项判断即可得结论. 【详解】对于任意的，都有， 令，得， 因为，所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C正确； ，故D正确． 题型·4·由函数的定义域或值域求参数 17．已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. 18．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 19．已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【详解】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 20．已知函数，且，则（   ） A．－4或4 B．1 C．4 D．－1或1 【答案】D 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】解：根据题意，当，，则. 当，，则. 综上所述，或1. 故选：D. 题型·5·判断两个函数是否相等 21．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】A选项：，和的对应关系不同，所以不是同一函数. B选项：的定义域是R，的定义域是，定义域不同， 所以不是同一函数. C选项：有意义当且仅当，即定义域是， 有意义当且仅当或， 即定义域是，定义域不同，所以不是同一函数. D选项：的定义域是， 的定义域是，定义域和对应关系皆相同，是同一函数. 22．下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同一函数需满足定义域、对应法则均相同的判定标准，逐一验证各选项的两个函数即可. 【详解】对于A，的定义域为，分母不为，定义域为，二者定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，化简得，与的定义域、对应法则均完全相同，是同一函数，故B正确； 对于C，的定义域为，底数不为，定义域为，二者定义域不同，不是同一函数，故C错误； 对于D，，与的对应法则不同，不是同一函数，故D错误. 23．下列各组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断两个函数是否为同一个函数，根据对比定义域与对应法则，自变量选用什么字母不影响函数本身；A、B两组函数定义域不一致；C选项化简后对应法则不同；D选项两个函数定义域相同，对应法则一致，逐一判断即可. 【详解】A：∵，化简得，则定义域 ；，定义域 ， ∴定义域、对应法则均不同，不是同一函数，A错误； B：∵，定义域 ；，定义域 ， ∴定义域不同，不是同一函数，B错误； C：∵，， ∴对应法则不同，不是同一函数，C错误； D：∵，， 又∵定义域都是 ，对应法则都是自变量乘以80， ∴自变量只是字母符号，是同一函数，D正确. 24．（多选）下列各组函数中是同一函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】对于A：定义域为， ，对应法则不同，不是同一函数，故A错误； 对于B：定义域为， 定义域为，定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对于C：定义域为， 定义域为，化简后，当时，，定义域与对应法则都相同，是同一函数，故C正确； 对于D：定义域为， 定义域为，自变量只是符号不同，定义域与对应法则都相同，是同一函数，故D正确. 25．（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【详解】对于A， 的定义域为， 的定义域也是，两函数的定义域与对应关系都相同，是同一函数，A正确. 对于B， 的定义域为 ，而 的定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误. 对于C，，取 ，则 ，而 ，对应关系不同，不是同一函数，C错误. 对于D， 与 的定义域都是，对应关系也相同，只是自变量所用字母不同，是同一函数，D正确. 题型·6·函数的表示法 26．设，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次计算，可归纳出为周期函数． 【详解】依题意，则， ，，， ∴是周期函数，且周期为4， ∴． 故选：A． 27．某车辆装配车间每装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产.从当天开始生产的时刻起经过的时间（单位：）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数表达式正确的是（   ）（数学上，常用表示不大于的最大整数．） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】A 【分析】根据条件知当时，，再对选项B、C、D逐项分析，即可判断出选项B、C、D不正确，即可得出结果. 【详解】因为车间每装配完成一辆车，所以当时，，时，，时，，时，，时，，所以选项A正确， 对于选项B，当时，，所以选项B错误， 对于选项C，当时，，所以选项C错误， 对于选项D，当时，，所以选项D错误， 故选：A. 28．已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由的图象可得， 故. 29．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 30．根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 【答案】A 【分析】根据表先计算出，然后可得的结果. 【详解】由表中数据可知，，所以， 故选：A. 题型·7·函数解析式的求解 31．已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法计算求解即可. 【详解】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 32．已知函数满足，则的值为（    ） A．8 B．81 C．9 D．92 【答案】D 【详解】先用换元法求出函数的解析式，然后计算即可. 令，则， 所以， 所以函数， 所以，. 33．已知函数， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，即，则， 所以 可转化为， 所以， 所以． 34．已知函数，且，则的值等于（   ） A．1 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】先利用换元法求出，再代入即可求出的值. 【详解】由，令， ，． ． ．． 35．若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求函数解析式，注意变量的取值范围. 【详解】令，则，可得， 所以. 故选：B. 36．已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 题型 8·分段函数 37．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 38．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以 ， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 39．已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，负根舍去； 当时，，得到，符合题意； 综上所述，或. 故选：D 40．已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可以排除CD，利用特殊点的函数值排除A，可确定正确选项. 【详解】由图可知，函数的定义域为， C项的定义域为，不合题意； D项的定义域为，不合题意； 对A选项，因为，不符合函数图象. 故选：B 41．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意取特值点分析判断. 【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B. 故选：A. 42．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 43．已知则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的值域，利用换元法求解，的值域即可. 【详解】由题意知，， 当时，是单调递减的一次函数，，取值范围是， 当时，是单调递增的一次函数，取值范围是, 所以的值域为. 令，设，则，， 得， 当时，；当时，的取值范围是， 所以的取值范围是，即的值域为. 故选：B 44．已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分段函数求值，从内向外逐层计算，代入时先判断自变量落在哪个区间. 【详解】因为， 所以，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $