专题2 培优点3 三角形中的“三线”问题(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点3　三角形中的“三线”问题 1.C　因为a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，又因为0＜B＜π，所以B＝，如图所示，由BD＝2a，且AD＝2，AB＝2，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝4＋（2a）2－2×2×2a×cos＝4＋4a2－4a＝12，解得a＝2或a＝－1（负值舍去）.故选C. 2.　解析：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝7，即BC＝，所以S△ABC＝AB·ACsin 120°＝BC·AH，所以AH＝＝，由向量数量积的几何意义得·＝｜｜2＝（）2＝. 3.　解析：如图，可设∠CAD＝∠BAD＝α，因为S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，所以×2×2×sin α＋×2×4×sin α＝×2×4×sin 2α，整理得3sin α＝2sin 2α，所以3sin α＝4sin αcos α，易知sin α＞0，所以cos α＝，所以cos∠BAC＝cos 2α＝2cos2α－1＝. 4.解：（1）因为tan B＋tan C－tan Btan C＋＝0，易知tan Btan C≠1，所以－＝， 即－＝tan（B＋C）， 所以tan A＝，又A为三角形内角，故A＝. （2）因为＝2，所以BD＝2DC. 因为AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝，且＝＝2，即AB＝2AC. 由余弦定理可得BD2＝BA2＋4－4×BA×＝BA2＋4－2BA，且CD2＝CA2＋4－4×CA×＝CA2＋4－2CA， 所以4CA2＋4－4CA＝4（CA2＋4－2CA）， 解得CA＝，故BA＝2. 所以△ABC的面积为×BA×CA×sin∠BAC＝×2××＝. 5.解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝π，又∠ABC为钝角，∴∠BCD为锐角. ∵sin∠BCD＝， ∴cos∠BCD＝＝. 又BC＝2，CD＝4，∴在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝16，得BD＝4， ∴在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC＝＝. （2）如图，在梯形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC， ∴cos∠ABD＝cos∠BDC＝. 在△ABD中，∵E为AD的中点， ∴＝＋. 由（1）知，BD＝4，即｜｜＝4， 又｜｜＝BA＝2，∴｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＋·＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜·｜｜cos∠ABD＝，∴｜｜＝，即BE＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点3　三角形中的“三线”问题 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac，延长BC至点D，使得BC＝CD，若AD＝2，AB＝2，则a＝（　　） A.1 B. C.2 D.3 2.在△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AH为△ABC的高线，则·＝　　　　. 3.（2024·南充诊断）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，c＝4，∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD＝2，则cos∠BAC＝　　　　. 4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan B＋tan C－tan Btan C＋＝0. （1）求角A； （2）若＝2，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积. 5.（2024·重庆学业质量调研）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC为钝角，AB＝BC＝2，CD＝4， sin∠BCD＝. （1）求cos∠BDC； （2）设点E为AD的中点，求BE的长. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $