专题2 培优点2 带绝对值的三角函数性质(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点2　带绝对值的三角函数性质 1.如图，曲线对应的函数是（　　） A.y＝｜sin x｜ B.y＝sin｜x｜ C.y＝－sin｜x｜ D.y＝－｜sin x｜ 2.已知函数f（x）＝｜tan（x－）｜，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）的一个周期是 B.f（x）的值域是{y｜y∈R，且y≠0} C.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴 D.f（x）的单调递减区间是（2kπ－，2kπ＋），k∈Z 3.函数f（x）＝2｜sin x｜＋cos 2x在［－，］上的单调递减区间为（　　） A.［－，－］和［0，］ B.［－，0］和［，］ C.［－，－］和［，］ D.［－，］ 4.对于函数f（x）＝（sin x＋cos x）－｜sin x－cos x｜，下列说法正确的是（　　） A.f（x）的值域为[－1，1] B.函数f（x）的最小正周期是π C.当且仅当x＝＋2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最小值 D.当且仅当x∈（2kπ，＋2kπ）（k∈Z）时，f（x）＞0 5.（多选）已知函数f（x）＝sin｜x｜＋｜cos x｜，则下列叙述正确的有（　　） A.2π是函数y＝f（x）的一个周期 B.函数y＝f（x）是偶函数 C.函数y＝f（x）在区间［，］上单调递减 D.∀x1，x2∈R，｜f（x1）－f（x2）｜≤ 6.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0），且函数y＝｜f（x）｜的最小正周期为2π，则函数y＝｜f（x）｜的单调递增区间为　　　　. 7.已知函数f（x）＝｜sin ωx｜＋｜cos ωx｜（ω＞0）在区间（，π）上单调递增，则ω的取值范围是　　　　. 8.设O为坐标原点，定义非零向量＝（a，b）的“相伴函数”为f（x）＝asin x＋bcos x（x∈R），＝（a，b）称为函数f（x）＝asin x＋bcos x的“相伴向量”. （1）设函数g（x）＝2sin（－x）－cos（＋x），求函数g（x）的相伴向量； （2）记＝（0，2）的“相伴函数”为f（x），若方程f（x）＝k＋1－2｜sin x｜在区间x∈[0，2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点2　带绝对值的三角函数性质 1.C　注意到图象所对应的函数值有正有负，因此排除A、D，又当x∈（0，π）时，sin｜x｜＞0，而图中显然是小于零，因此排除B.故选C. 2.D　函数f（x）的最小正周期为2π，故A错；f（x）的值域为[0，＋∞），故B错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，所以x＝不是f（x）的对称轴，故C错；令kπ－＜x－＜kπ，k∈Z，可得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间是（2kπ－，2kπ＋），k∈Z，故D正确. 3.B　因为函数f（x）＝2｜sin x｜＋cos 2x在［－，］上满足f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；当0≤x≤时，则有f（x）＝2sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋2sin x＋1＝－2（sin x－）2＋，所以x∈［，］时，由复合函数的单调性可知，正弦函数单调递增，二次函数单调递减，函数f（x）单调递减；所以0≤x≤时，单调递减区间为［，］，又因为其为偶函数，所以单调递减区间为［－，0］和［，］.故选B. 4.D　f（x）＝作出函数f（x）的图象如图所示，f（x）的值域为［－1，］，故A错；f（x）的最小正周期是2π，故B错；当且仅当x＝＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，故C错；当且仅当x∈（2kπ，＋2kπ）（k∈Z）时，f（x）＞0，故D对. 5.BC　对于A，f（－）＝sin＋｜cos ｜＝1，f（）＝sin＋｜cos｜＝－1≠f（－），则2π不是函数y＝f（x）的一个周期，故A错误；对于B，f（－x）＝sin｜－x｜＋｜cos（－x）｜＝sin｜x｜＋｜cos x｜＝f（x），则函数f（x）为偶函数，故B正确；对于C，当x∈［，］时，f（x）＝sin x－cos x＝sin（x－），x－∈［，π］，可知函数f（x）在［，］上单调递减，故C正确；对于D，当x＞0时，f（x）＝sin x＋｜cos x｜，此时f（）＝sin＋｜cos｜＝，f（）＝sin＋｜cos｜＝－1，即f（）－f（）＝＋1＞，故D错误. 6.（2kπ－，2kπ＋）（k∈Z） 解析：函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0），且函数y＝｜f（x）｜的最小正周期为2π，所以ω＝，令kπ＜x＋＜kπ＋，解得2kπ－＜x＜2kπ＋，故函数的单调递增区间为（2kπ－，2kπ＋）（k∈Z）. 7.（0，］　解析：f（x）＝ ＝＝，ω＞0.令2kπ≤4ωx≤（2k＋1）π，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，即f（x）的单调递增区间为［，］，k∈Z，ω＞0，所以只需k∈Z，解得2k≤ω≤，k∈Z，ω＞0，则解得－＜k≤.又k∈Z，所以k＝0，所以0＜ω≤，即ω的取值范围是（0，］. 8.解：（1）因为g（x）＝2sin（－x）－cos（＋x）＝2（cos x－sin x）－（cos x－sin x）＝－sin x＋cos x，所以函数g（x）的相伴向量为＝（－，）. （2）由题意，＝（0，2）的“相伴函数”f（x）＝0×sin x＋2×cos x＝2cos x， 方程f（x）＝k＋1－2｜sin x｜即2cos x＝k＋1－2｜sin x｜，x∈[0，2π]， 则方程2cos x＝k＋1－2｜sin x｜，x∈[0，2π]有四个实数解， 所以k＝2cos x－1＋2｜sin x｜，x∈[0，2π]有四个实数解， 令h（x）＝2cos x－1＋2｜sin x｜，x∈[0，2π]， ①当x∈[0，π]时，h（x）＝2cos x－1＋2sin x＝4sin（x＋）－1， ②当x∈（π，2π]时，h（x）＝2cos x－1－2sin x＝－4sin（x－）－1， 作出h（x）的图象，如图，由图可知，当1≤k＜3时，函数h（x）与y＝k有四个交点， 即实数k的取值范围为[1，3）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $