专题2 第3讲 大题专攻——三角函数与解三角形(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第3讲　大题专攻——三角函数与解三角形 1.（2024·天津高考16题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝，b＝5，＝. （1）求a的值； （2）求sin A的值； （3）求cos（B－2A）的值. 2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）. （1）证明：2a2＝b2＋c2； （2）若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长. 3.在四边形ABCD中，AB∥CD. （1）求证：AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD； （2）若AD＝1，AB＝3，BC＝，∠BAD＝2∠BCD，求△BCD外接圆的面积. 4.已知函数f（x）＝sin 2x－cos 2x，x∈R. （1）若h（x）＝f（x＋t）的图象关于点（，0）对称，且t∈（0，），求t的值； （2）不等式｜f（x）－m｜＜3对任意的x∈［，］恒成立，求实数m的取值范围. 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为sin（－A）sin A. （1）求C； （2）若点D满足＝，且c＝，｜｜＝2，求a，b. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　大题专攻——三角函数与解三角形 1.解：（1）由＝得a＝c， 由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B，即c2＋c2－25＝2·c·c·， 得c2－25＝c2，得c＝6，故a＝c＝4. （2）因为cos B＝，所以sin B＝＝， 由正弦定理得＝，即＝，得sin A＝. （3）因为a＜b，所以A＜B，则cos A＞0， 由sin A＝，得cos A＝， 则cos 2A＝2cos2A－1＝， sin 2A＝2sin Acos A＝. 故cos（B－2A）＝cos Bcos 2A＋sin Bsin 2A＝×＋×＝. 2.解：（1）证明：法一　由sin Csin（A－B）＝sin B·sin（C－A）可得，sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理＝＝可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C＝2bccos A.（*） 由余弦定理可知accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，代入（*）式整理得2a2＝b2＋c2. 法二　因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. （2）由（1）及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. 3.解：（1）证明：因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC， 在△ABD中，由正弦定理可知＝. 在△BCD中，由正弦定理可知，＝， 所以AD·sin∠BAD＝BD·sin∠ABD， BC·sin∠BCD＝BD·sin∠BDC， 故有AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD. （2）由（1）可知，AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD，设∠BAD＝2∠BCD＝2α， 又因为AD＝1，BC＝，可得sin 2α＝sin α， 即2sin αcos α＝sin α，解得cos α＝，所以α＝. 在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos 2α＝32＋12－2×3×1×cos＝7，故BD＝. 在△BCD中，由正弦定理可知，2R＝，所以R＝， 所以△BCD的外接圆的面积为S＝πR2＝7π. 4.解：（1）f（x）＝sin 2x－cos 2x＝2（sin 2x－cos 2x）＝2sin（2x－）. 法一　易知f（x）的图象关于点（，0）对称，把f（x）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于点（，0）对称，因此t＝. 法二　由题知，h（）＝f（＋t）＝2sin［2（＋t）－］＝2sin（2t＋）＝0， 所以2t＋＝kπ，k∈Z，所以t＝kπ－，k∈Z，又t∈（0，），所以t＝. （2）｜f（x）－m｜＜3对任意的x∈［，］恒成立，即m－3＜f（x）＜m＋3对任意的x∈［，］恒成立， 由（1）知f（x）＝2sin（2x－），令θ＝2x－，则当x∈［，］时，θ∈［，］， 所以当θ∈［，），即x∈［，）时，f（x）单调递增，当θ∈（，］，即x∈（，］时，f（x）单调递减，又f（）＝1，f（）＝，所以当x∈［，］时，f（x）max＝f（）＝2，f（x）min＝（）＝1， 所以解得－1＜m＜4.故m的取值范围为（－1，4）. 5.解：（1）由题意得，bcsin A＝·sin（－A）sin A， 因为A∈（0，π），所以sin A≠0， 则b＝c·sin（ －A）， 即sin B＝sin Csin（－A）， 所以sin（A＋C）＝2sin Csin（－A）， 即sin Acos C＋cos Asin C ＝2sin C（cos A－sin A）， 化简得sin Acos C＋sin Asin C＝0， 因为sin A≠0，所以cos C＋sin C＝0，即tan C＝－. 又C∈（0，π），所以C＝. （2）由c2＝a2＋b2－2abcos C，c＝，C＝， 得a2＋b2＋ab＝7. ① 因为＝－， 所以＝＋－2·， 即｜｜2＝｜｜2＋｜｜2－2｜｜·｜｜·cos C， 因为＝，所以＝＋＝2，故｜｜＝2｜｜＝2b， 又｜｜＝a，所以｜｜2＝（2b）2＋a2－4abcos C， 则a2＋4b2＋2ab＝12， ② 由①②得12（a2＋b2＋ab）＝7（a2＋4b2＋2ab）， 整理得（5a＋8b）（a－2b）＝0，所以a＝2b. ③ 将③代入①，解得b＝1（负值舍去）， 则a＝2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $