专题2 第1讲 小题研透——三角函数的图象与性质(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第1讲　小题研透——三角函数的图象与性质 1.在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝－2，则cos α＝（　　） A.－ B.－ C. D. 2.若f（x）＝sin（ 2x＋）在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为（　　） A.（0，］ B.（0，］ C.（0，］ D.（0，π] 3.（2024·北京高考6题）设函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）.已知f（x1）＝－1，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为，则ω＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.（多选）将函数y＝sin（3x－）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则φ的值可能为（　　） A. B. C. D. 5.如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，A＞0，0＜φ＜π，则这段曲线的函数解析式为　　　　　　　　. 6.古代文人墨客善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇环如图，其中外弧线的长为60 cm，内弧线的长为20 cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18 cm，则该扇环所在扇形的中心角的弧度数为　　　　. 7.已知a＝（sin α，1－4cos 2α），b＝（1，3sin α－2），α∈（0，）.若a∥b，则tan（α－）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 8.（2024·武汉华中师范大学附属中学期中）已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（　　） A.y＝f（2x－） B.y＝f（－） C.y＝f（－1） D.y＝f（2x－1） 9.已知函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin 2x的图象关于直线x＝π对称，将函数y＝g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，则函数y＝f（x）在x∈［0，］时的值域为（　　） A.［－，］ B.［－1，］ C.［－，1］ D.[0，1] 10.（2024·湘豫名校联考）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）＋1（ω∈N*，－π＜φ＜－）的图象过原点，且关于点（，1）对称，若函数f（x）在［0，］上单调，则f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 11.（多选）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）的最小正周期为 B.sin φ＝ C.f（x）＝tan（2x＋） D.函数f（x）图象的对称中心是点（＋，0）（k∈Z） 12.（多选）（2024·福建适应性练习卷）在平面直角坐标系xOy中，角φ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（1，－），函数f（x）＝sin（2x＋φ），则（　　） A.f（x）的图象关于直线x＝－对称 B.f（x）的图象关于点（，0）对称 C.f（x）在（－，）内恰有一个极大值点 D.f（x）在（，）上单调递减 13.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ ω＞0，φ∈）的部分图象如图，其中f（0）＝1，MN＝，则点M的坐标为　　　　. 14.（2024·合肥第一中学教学质量检测）已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则＝　　　　. 15.（2024·沈阳第四十中学月考）如图，已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的图象与x轴的交点中，离y轴最近的是点M，点N为y＝f（x）图象的一个最高点，若点M，N均在函数g（x）＝－3x2＋x＋2的图象上，则φ＝　　　　. 16.如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边AB，直角边BC，AC.若BC＝2，AC＝2，E为半圆弧的中点，F为半圆弧上的任一点，则·的最大值为（　　） A.2 B.＋ C.2 D.4 17.（多选）（2024·南京、盐城调研测试）已知函数f（x）＝asin πx＋bcos πx（b＞0）的图象关于点（，0）对称，若｜f（x1）－f（x2）｜＝｜f（x3）－f（x4）｜＝｜f（x5）－f（x6）｜＝4b（0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6），则下列说法中正确的有（　　） A.a＝－b B.函数f（x）的最大值为4b C.｜x1－x2｜的最小值为1 D.xi的最小值为10 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二　三角函数与解三角形 第1讲　小题研透——三角函数的图象与性质 1.B　∵角α的终边过点（x，4）且tan（－π＋α）＝tan α＝－2，∴＝－2，∴x＝－2，∴cos α＝＝－，故选B. 2.A　∵0∈[－t，t]，∴只需考虑正弦型函数的含0的单调递增区间.由－≤2x＋≤，得－≤x≤，∴－≤－t＜t≤，解得0＜t≤. 3.B　因为f（x）＝sin ωx∈[－1，1]，且f（x1）＝－1，f（x2）＝1，｜x1－x2｜min＝，所以f（x）的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2. 4.BC　将函数y＝sin（3x－）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到y＝sin（3x－3φ－）的图象，因为函数y＝sin（3x－3φ－）为奇函数，所以－3φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，结合选项，故选B、C. 5.y＝10sin（x＋）＋20，x∈[6，14] 解析：从题图中可以看出，6～14时的图象是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期，所以A＝×（30－10）＝10，b＝×（30＋10）＝20.又×＝14－6，所以ω＝.又×6＋φ＝＋2kπ，k∈Z，0＜φ＜π，所以φ＝，所以y＝10sin（x＋）＋20，x∈[6，14]. 6.　解析：如图，依题意可得的长为60 cm，的长为20 cm.设扇形AOB的中心角的弧度数为α，则＝α·OA，＝α·OC，所以＝＝3，即OA＝3OC.因为AC＝18 cm，所以OC＝9 cm，所以该扇环所在的扇形的中心角的弧度数α＝＝. 7.B　因为a∥b，所以1－4cos 2α＝sin α（3sin α－2），即1－4（1－2sin2α）＝3sin2α－2sin α，所以5sin2α＋2sin α－3＝0，解得sin α＝或sin α＝－1.又α∈（0，），所以sin α＝，所以tan α＝，所以tan（α－）＝＝＝－.故选B. 8.D　由题图1、2知，函数的周期先变为原来的倍，得到的图象再向右平移个单位长度，所以得到y＝f（2x－1）的图象.故选D. 9.C　由函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin 2x的图象关于直线x＝π对称得，g（x）＝－sin 2x，因为将函数y＝g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，所以f（x）＝－sin 2（x－）＝－sin（2x－），则当x∈［0，］时，2x－∈［－，］，所以sin（2x－）∈［－1，］，所以f（x）∈［－，1］.故选C. 10.D　因为f（0）＝2sin φ＋1＝0，所以φ＝2kπ－或φ＝2kπ－，k∈Z.又－π＜φ＜－，所以φ＝－，所以f（x）＝2sin（ωx－）＋1.因为f（x）的图象关于点（，1）对称，所以ω－＝kπ，k∈Z，所以ω＝＋6，k∈Z.因为x∈［0，］，ω＞0，所以ωx－∈［－，－］.又函数f（x）在［0，］上单调，所以⇒0＜ω≤6.因为ω∈N*，所以当k＝0时，ω＝6.因为f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，所以＝×＝.故选D. 11.ABC　由图象可知，函数f（x）的最小正周期为T＝2×（－）＝，故A正确；由ω＝＝＝2得f（x）＝Atan（2x＋φ），∴f（）＝Atan（2×＋φ）＝0，∴＋φ＝kπ（k∈Z），∴φ＝kπ－（k∈Z），又∵｜φ｜＜，∴φ＝，∴sin φ＝，故B正确；由题图得点（0，1）在f（x）图象上，则f（0）＝Atan＝1，∴A＝1.∴f（x）＝tan（2x＋），故C正确；∵f（x）＝tan（2x＋），令2x＋＝（k∈Z），∴x＝－＋（k∈Z），∴f（x）图象的对称中心为点（＋，0）（k∈Z），故D错误. 12.AD　由题意得sin φ＝－且φ的终边在第四象限，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，因此f（x）＝sin（2x－＋2kπ）＝sin（2x－）.对于A，当x＝－时，2x－＝2×（－）－＝－，f（－）＝sin（－）＝－1，所以f（x）的图象关于直线x＝－对称，故A正确；对于B，当x＝时，2x－＝2×－＝－，所以f（）＝sin（－）＝－≠0，所以f（x）的图象不关于点（，0）对称，故B错误；对于C，当x∈（－，）时，2x－∈（－，），结合y＝sin x在（－，）上的图象可知f（x）在（－，）内有极小值点，无极大值点，故C错误；对于D，当x∈（，）时，2x－∈（，），结合y＝sin x在（，）上的图象知f（x）在（，）上单调递减，故D正确.综上，选A、D. 13.（－1，2）　解析：∵f（0）＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.∵φ∈，∴φ＝.又MN＝＝，且ω＞0，∴ω＝，∴f（x）＝2sin（x＋）.令2sin（x＋）＝2，结合题图得x＋＝，解得x＝－1，故点M的坐标为（－1，2）. 14.－　解析：因为sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，所以解得m＜－2或m＞.因为sin2α＋cos2α＝（）2＋（－）2＝＝1，整理得2m2－7m＋3＝0，即（2m－1）（m－3）＝0，解得m＝（舍去）或m＝3，所以sin α＝＝，cos α＝－＝－，所以tan α＝＝×（－）＝－，因此＝＝－1＋＝－1－＝－. 15.　解析：令g（x）＝0，得x1＝1，x2＝－.∵离y轴最近的是点M，∴M（－，0）.令g（x）＝2，得x'1＝0，x'2＝.当N（0，2）时，易得φ＝（舍去），∴N（，2）.∵由题意及图象可知，＝－（－）＝1，∴T＝4，ω＝，又∵f（x）＝2sin（ωx＋φ）＝2sin［ω（x＋）］，∴函数f（x）的图象是由y＝2sin ωx的图象向左平移了个单位长度得到的且｜φ｜＜，即＝－xM＝，∴φ＝ω＝. 16.B　如图，分别以CB，CA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（0，2），B（2，0），O1（，0），O2（0，1），E（，－），半圆弧的方程为x2＋（y－1）2＝1（x≤0）.设F（cos θ，1＋sin θ），≤θ≤，则＝（－，－），＝（cos θ，－1＋sin θ）.所以·＝－cos θ＋－sin θ＝－sin（θ＋）.因为≤θ≤，所以≤θ＋≤，当θ＝时，sin（θ＋）取得最小值－1，此时·取得最大值＋.故选B. 17.AC　对于选项A，∵f（x）的图象关于点（，0）对称，∴f（）＝0，即a＋b＝0，∴a＝－b，故A正确；对于选项B，f（x）＝－bsin πx＋bcos πx＝2bcos（πx＋），又∵b＞0，∴f（x）的最大值为2b，最小值为－2b，故B错误；对于选项C，由｜f（x1）－f（x2）｜＝4b，则可推断f（x1）与f（x2）一个是最大值，另一个是最小值，∴｜x1－x2｜的最小值为＝＝1（T为f（x）的最小正周期），故C正确；对于选项D，作出f（x）的大致图象，如图所示，令πx＋＝kπ，k∈Z，∴f（x）图象的对称轴方程为x＝k－，k∈Z，结合C中分析与｜f（x1）－f（x2）｜＝｜f（x3）－f（x4）｜＝｜f（x5）－f（x6）｜＝4b得当xi最小时，f（x1）＝f（x3）＝f（x5）＝－2b，f（x2）＝f（x4）＝f（x6）＝2b，∴对应的x1，x2，…，x6如图所示，即xi的最小值为（1－）＋（2－）＋…＋（6－）＝19，故D错误. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $