专题1 培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心(专题检测)-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心 1.如图，BC,DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO,则FD·F正=() A-是B.-号C.-￥D.-青 2.点O为△4BC内一点，若S△4os:SABOC:S△4oc=4:3:2,设A0=AB十4AC,则实数和u的 值分别为() A.,青 B.青，司 C,号 D.,青 3.己知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上， 则PD·P元的最大值是() A.号 B.2C.是D. 4.0是平面上一定点，4，B,C是平面上不英线的三个点，动点P满足O币=OA十2（斋十 成 )，∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△4BC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5.△ABC的重心为G,AB=6,AC=8,BC=2W13,则△BGC的面积为() A.125 B.8V5 C.45D.4 6.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(P+P元)的最小值为 1/2 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2Zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 A.-2 B.- C.-D.-1 7.(多选)如图，设P,Q为△ABC内的两点，且A=号A市+AC,A0=号AB+A心，则 ( A =青 A.SAABi SAABQ B.SAA g=青 C.oB 6=子 D.5A4B 8.(多选)已知在△ABC中，D为BC边上的中点，Po是边AB上一定点，满足PB=AB,且对于 边AB上任一点P,恒有PB·P元≥PoB·PC,则() Ap啼·p心=2-品2 B.存在点P,使IPD|<IPD C.PC·AB=0 D.AC=BC 9.△4BC的内切圆圆心为O,半径为2，且S△4Bc=14,2OA+2OB+3O元=0，则△ABC的外接圆 面积为 10.已知点P,9在△4BC内，☑+2P+3p元=2QA+3Q丽+50C=0,则= 2/2 独家授权侵权必究· 培优点　极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心 1.B　由极化恒等式得·＝－＝－1＝－. 2.A　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2（＋）＋4（＋）＝0，整理得＝＋.故选A. 3.B　如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝－＝｜｜2－，所以当P与A（B）重合时，｜｜＝最大，从而（·）max＝2. 4.B　∵－＝，∴＝λ（ ＋），令＋＝，则是以A为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上，∵＝λ，∴，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B. 5.C　cos A＝＝＝，又A∈（0，π），∴A＝，∴S△ABC＝×6×8×sin ＝12，又G为△ABC的重心，∴＋＋＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC＝S△ABC＝4. 6.B　取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝AD＝，则·（＋）＝2·＝2（｜｜2－｜｜2）＝2［｜｜2－（）2］≥2×（0－）＝－，当且仅当｜｜＝0时，取等号，∴·（＋）的最小值为－. 7.AC　由＝＋，可得＋－＋－＝0，整理得＋＋＝0，所以2＋2＋＝0，＝＝.由＝＋，可得＋－＋－＝0，整理得＋＋＝0，所以＝＝，＝. 8.AD　如图所示，取BC的中点D，连接PD，根据向量的极化恒等式，有·＝－，·＝－.又·≥·，所以｜｜≥｜｜，A正确，B错误；由点P为边AB上任意一点知，点D到边AB上点的距离的最小值为｜｜，从而DP0⊥AB，所以·≠0，C错误；取AB的中点E，连接CE，则由P0B＝AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正确. 9.　解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵2＋2＋3＝0，且O为内心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC＝（a＋b＋c）·r，∴×7k×2＝14，解得k＝2，∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cos C＝－，sin C＝，又2R＝＝⇒R＝＝，∴外接圆面积S＝πR2＝. 10.　解析：根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $