专题7 培优点2 函数的构造问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点2　函数的构造问题 　　构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）解决原函数的一种行之有效的解题手段. 导数中的函数构造 考向1　利用f（x）与xn构造函数 【例1】　设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 利用f（x）与xn构造函数的技巧 （1）对于f'（x）g（x）－f（x）g'（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝； （2）对于xf'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝xnf（x）； （3）对于xf'（x）－nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝. 　设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为　　　　. 考向2　利用f（x）与enx构造函数 【例2】　已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　） A.f（2）＞e2f（0），f（2 024）＞e2 024f（0） B.f（2）＜e2f（0），f（2 024）＞e2 024f（0） C.f（2）＞e2f（0），f（2 024）＜e2 024f（0） D.f（2）＜e2f（0），f（2 024）＜e2 024f（0） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 利用f（x）与enx构造函数的技巧 （1）对于f'（x）＋f（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝exf（x）； （2）对于f'（x）－f（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝； （3）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝enxf（x）； （4）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝. 　已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，1） C.（0，＋∞） D.（1，＋∞） 考向3　利用f（x）与sin x，cos x构造函数 【例3】　偶函数f（x）的定义域为（－，），其导函数为f'（x），若对任意的x∈［0，），有f'（x）·cos x＜f（x）sin x成立，则关于x的不等式2f（x）＜的解集为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 利用f（x）与sin x，cos x构造函数的技巧 （1）对于 f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝f（x）sin x； （2）对于f'（x）sin x－f（x）cos x＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝； （3）对于f'（x）cos x＋f（x）sin x＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝； （4）对于f'（x）cos x－f（x）sin x＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝f（x）cos x. 　定义在区间（0，）上的函数f（x），f'（x）是其导函数，恒有f（x）＞f'（x）tan x成立，则（　　） A.f（）＞f（） B.f（1）＞2f（）sin 1 C.f（）＜f（） D.f（）＜f（） 函数的同构问题 【例4】　（1）若对于0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为（　　） A. B.1 C.e D.2e （2）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，＋∞），不等式eλx－≥0恒成立，则λ的最小值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 　　函数的同构问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有变量分离同构和指对跨阶同构. （1）变量分离同构：含有地位相等的两个变量的不等式（方程），关键在于对不等式（方程）两边变形或先放缩再变形，使不等式（方程）两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题； （2）指对跨阶同构：①和、差型（ea±a＞b±ln b）； （ⅰ）同左构造形式：ea±a＞eln b±ln b，构造函数f（x）＝ex±x； （ⅱ）同右构造形式：ea±ln ea＞b±ln b，构造函数f（x）＝x±ln x. ②积型（aea≤bln b）： （ⅰ）同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f（x）＝xex； （ⅱ）同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f（x）＝xln x； （ⅲ）取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln（ln b）（b＞1），构造函数f（x）＝x＋ln x. ③商型：（≤）： （ⅰ）同左构造形式：≤，构造函数f（x）＝； （ⅱ）同右构造形式：≤，构造函数f（x）＝； （ⅲ）取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln（ln b）（b＞1），构造函数f（x）＝x－ln x. 1.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c 2.已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是（　　） A.x＞y B.x＞ln y C.x＜y D.x＜ln y 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 培优点2函数的构造问题 【例1】(-oo,-1)U(1,+0) 解析： f 构造函数F)=,则F()=f)f区，当<0时，(x)-f(x)> 0,则F'(x)>0,F(x)在（一o,0)上单调递增.f(x)为偶函数，y=x为奇函 数，∴.F(x)为奇函数，∴.F(x)在(0，十∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F (1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数F(x)的图象如图所示，根据图象可 知f(x)>0的解集为(-∞，-1)U(1,十∞). 跟踪训练 (-∞，-4)U(0,4) 解析： 构造函数F(x)=f(x),则F'(x)=f(x)十x(x),当x<0时，f(x)十f(x) <0,则F'(x)<0,∴.F(x)在（一o,0)上单调递减.f(x)为偶函数，y=x为 奇函数，∴.F(x)为奇函数，∴.F(x)在(0，十∞)上也单调递减.根据f(一4)=0 可得F(一4)=0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F(x)的大致图象如图所示， 根据图象可知xyf(x)>0的解集为(-∞，一4)U(0,4). 【例2】D构造F()={,则F(x)=f,又导函数（满足 <f(x),则F'(x)<O,F(x)在R上单调递减，根据单调性可知选D 跟踪训练 D设g(x)=ef(x)一e(x∈R),则g'(x)=ef(x)+ef(x)一e=e[f(x) +P(x)-1],因为f(x)+P(x)>1,所以f(x)+f(x)-1>0,又e>0,所以 g'(x)>0恒成立，所以y=g(x)在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为ef(x) -e>3e,又f(1)=4,所以g(1)=ef(1)-e=3e,所以g(x)>g(1)，,所以x >1.故选D. 【例3】(-受，-晋)U(得，受) 解析：令g(x)=f(x)cosx,x∈(-受，晋)，g(-x)=f(-x)cos(-x)=f (x)cosx=g(x),.g(x)为偶函数，又g'(x)=f(x)cosx-f(x)sinx,.当x ∈[0，号)时，g(x)<0即g(x)在[0，号)上单调递减，又g(x)为偶函数， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ∴g(x)在(-罗，0]上单调递增，不等式2f(x) f3 COSX 可化为f(x)cosx<f x>, (得)cos青，即gw)<g(得)，则-吾<x<5,解得-号<<-青或号<<登· 跟踪训练 A因为x∈(0，罗)，所以sinx>0,cosx>0.由f(x)>f(x)tanx,得f(x)cos X-fG)sin>0.设r）-器，则r()=f红k如s<0,所以PG)在 sinx 区间(0，)上单调递减，所以F()>F(),即Vf(要)>√2f(晋).同理B、 C、D错误.故选A. 【例4】(1)B(2) 解析：（1)：血-血≤一，语≤安一安，即血中≤实，又 0<n<2<a,令p()=学，∴0()在(0，a）上单调递增，p()=要，当 x∈(0,1)时，p'(x)>0,当x∈(1，+∞)时，9(x)<0,∴.p(x)在(0,1) 上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，故a≤1，a的最大值为1. (2)e-哭≥0(>0，x>0)台e-xnx≥0ee≥n≥cnx,令f (x)=xe.上述不等式可等价转化为f(x)≥f(Inx),易知f(x)在R上是增函数， 所以≥血，所以≥要.令h()=要，则()=器，当∈(0，e)时， (x)>0,当x∈(e,十o)时，h'(x)<0,所以h(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十∞)上单调递减，则h(x)m=h(e)=吉，即A≥. 跟踪训练 1.D令f(x)=警(x>0),则(x)=要，所以当x∈(0，e)时，(x)> 0,f(x)单调递增；当x∈(e,十o)时，(x)<0,f(x)单调递减.a=忌=g f(e2,b=竖-器-￥=f(4),c==些=f(e,因为e<4<e2,所以a <b<c.故选D. 2.B原不等式等价于e-x>y-lny,等价于e-lne>y-lny.令g(x)=x-lnx, 则不等式e-lne>y-lny,等价于g(e)>g(y),因为g'(x)=号，所以当x∈ (1,十∞)时，g'(x)=>0,所以g(x)在区间(1，十∞)上单调递增，因为x >0,所以e>l.若y∈(1，+∞)，由g(e)>g(y),有e>y,若y∈(0,1]， 恒有e>y.综上所述，e>y,即x>lny.故选B. ·独家授权侵权必究·