专题7 第3讲 小题研透——导数的简单应用-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 第3讲小题研透一导数的简单应用 【锁定高考明方向】 真题感悟 1.Af(x)= (e+2cosx)(1+x元-，所以f(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切 线方程为y一1=3(x一0)，即3x一y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别为 （0,1D,（一了0》，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的百积为×1×号日 1 36 ,故选A. 2.C法-由题意，得/()=e-是(x)=e-≥0在区间（1,2》上恒 成立，即a产e在区间，2》上恒成立故函数g)=心e（1,2》,则 1 8'(x)=-1+x 。<0,·函数g(x)在区间(1,2)单调递减.： xE(1,2),g(x)<g(1)==e1.a≥e,a的最小值为e1故选C 函数∫G=ae-nx,fGr)=oe函数fGx)=ae-lnr （1,2)单调递增，/(x)≥0在1,2)恒成立，即a心-≥0在1,2)恒成立， 1 易知a>0,则0<与≤xe在(1,2)恒成立.设g(x)=xe',则g'(x)=(x十1)e. 当x∈(1,2)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，.在(1,2)上，g(x)>g(1) =8小日c,期a。e,故进C 0 3.ACD对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f(x)=2(x一1)(x-4)+(x -1)2=3(x-1)·(x-3),易知当x∈(1,3)时，(x)<0,当x∈(-∞，1) 或x∈(3，+∞)时，f(x)>0,故函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在 (1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点， A正确；对B,当0<x<1时，x一x2=x(1一x)>0,所以x>x2,又函数f(x)在 (0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2),B错误；对C,当1<x<2时，1<2x-1 <3,而由上可知，函数∫(x)在（1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x一1)> ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 f(3),即-4<f(2x-1)<0,C正确；对D,由2-x-x=2-2x,又-1<x<0, 故2-2x>0,所以f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)= (x-1)2(2-2x)>0,D正确.故选A、C、D. 4.ln2解析：由y=e+x得y'=e+l,y'|x=o=e°+1=2，故曲线y=e+x在 《0,1》处的切线方程为)=2x+1,由)=h(+D十a得本，设线与曲线 y=ln(x十I)十a相切的切点为(xo,ln(xo+1)+a),由两曲线有公切线得y' 1-一飞12，解得=子则切点为(-2a叶时》，由切发在宜线y=2 1 1 1 +1上得，a+ln=0,故a=n2. 【研透高考·攻重点】 【例1】 (1)A(2)2解析：(1)法一设直线y=十b与曲线y=lnx的切 点坐标为(x1,y)，,直线y=c十b与曲线y=一n(一x)的切点坐标为(2,2)， 对)=nx求导得y是对)=-h《一)家导得y-文（一1）=-是所以有 乙 得就 得X二D心，=e,所以k==2改送A. X e 法=对于A对)=nx泉导号y冬令。得x=e,又ne=1,所以曲线 hK在点（©，D处的切线方程为一1上。x-Q)，即一七，同理得曲线= 1 ln(一x)在点(-e,一l)处的切线方程为y=一x,故A正确，故选A. 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZxXk.c0m● 身边的互联网+教辅专家 (2)因为函数fx)-￡，求导得/)=（x-1)e ，依题意得 X Q (Xo-1)exo x名 (x-1)e,e, 消去a得， o 七2·而之一0，解得o一2 X 跟踪训练 1.C令x+1 +2=0,即x(x+2)+1=0,即(x+1)=0,解得x=-1,故P(一 10),了6)=1-（x中2)，则(-D=1品-0，则关切线方程为：y 1 f(1)=(-1)(x+1),即y=0.故选C. 2.D因为f(x)=xe,所以f(x)=(x十1)e,设切点坐标为(xo,xoeo),所以 f(x)=(xo+1)e,所以切线方程为y-xoe=(xo十1)e,(x一xo),所以-xoe =(xo十1)e(3一x),即（一x+3xo十3）e=0,依题意关于x的方程（一x+ 3xo十3)eo=0有两个不同的解x1,x2,即关于的方程一x十3x十3=0有两个不同的 解x1,2,所以x十2=3.故选D. 【例2】(1)D(2)D解析：(1)由题图可知，先减后增的曲线为P(x)的 图象，先增后减再增的曲线为f(x)的图象，当0<x<1或x>4时，f(x)< f),即gr)-fx6-f(x)。<0,则函数g)-fCx 一的单调递减区 间为(0,1)，(4，+∞).故选D. (2)因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)=f(一x),对等式两边求导有F(x) =一f(一x)①.因为y=f(x)十e是偶函数，所以f(x)+e=f(一x)十ex ②，02得w)号e-e9-1。当xE(-m,0时，了x> 2e 0,f(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减.又f(a)> f(2a-1D,所以1al<12a-11,得a>1或a<行故连D, 跟踪训练 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 可得，1-)=e-e=e之f0,故f0 X X 1.C由f(x)=xe- 为偶函数，所以A、B错误；由P(x)=e-ex+x(e十er),当x<0时，P(x) <0,故f(x)在（一∞，0)上单调递减，所以C正确，D错误，故选C. 2.(尽D解析：白愿可得∫()的定义域为(0，+)，了()=x- X-1,易知当x∈(0,1)时，f(x)<0:当x∈(1，+∞)时，(x)>0,即函 )在0，D上单调避减，在（山，十。）上羊调递增，若函数∫)气 在区间(m,m十 )上不单调，则需满足0≤m<1<m +子解降号<1，所以实数 m的取值范围为(，1) 【例3】 (1)C(2)-4解析：(1)函数f(x)=er+2x,可得P(x)=ae 十2，若a≥0，f(x)>0,此时f(x)单调递增，无极值点，故a<0,令f(x)= 1 ac2=0,解得x三2n(名，当h马时，了)>0，当<C 0 a 名大，了()<0，款n(-名)是了0=e+2x的板值点，白于函数/ a =g+2x有大于零的级依点，n(-名>0=h(-名<0=0-名<1，解得a 1 a a <-2.故选C. (2)设f(x)=g()=m,m∈R,则=e2,=m-2,-21=m-2-222.令 h(x)=x-2-2e三，则'(x)=1-e之，令'(x)>0,解得x<0,所以h(x)在 (-∞，0)上单调递增，令h'(x)<0,解得x>0,所以h(x)在(0，十∞)上单 调递减，h(x)max=h(0)=一4，所以x2一2x1的最大值为一4. 跟踪训练 1.Bf(x)=3x2一2ax+1,是开口向上的二次函数，因为函数f(x)=x3-ax2+x+1 没有极值点，则f(x)≥0，所以4=4a2-12≤0，解得-V3≤a≤3，所以a的取值 范围是[-V3,V3].故选B 独家授权侵权必究： 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 2.C fx)=ex,（x)=X e+ ，根据导数易知f(x)在（一∞，1）上单调递 增，在(1，+∞)上单调递减：由题意令f(x)=f(x十1n2),即Y=X+n2 e*e+2，解 得x=ln2;作出图象，则min{f(x),f(x十ln2)}的最大值为两函数图象交点处函 In2 数值，为2，故选C y=f(x+In 2) y=f(x) -n2 OIn 21 独家授权侵权必究 第3讲　小题研透——导数的简单应用 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 导数的几何意义 在选择、填空题中会继续考查切线方程的求法及应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值及应用，注意构造法的应用 求函数单调性 求函数极值 求函数最值（与不等式结合转化求解） 二、真题感悟 1.（2024·全国甲卷理6题）（导数的几何意义）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 2.（2023·新高考Ⅱ卷6题）（函数单调性的应用）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 3.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷10题）（求函数的单调区间、极值）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　） A.x＝3是f（x）的极小值点 B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） 4.（2024·新高考Ⅰ卷13题）（导数的几何意义）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝　　　　. 重｜难｜排｜查 1.四个易误导数公式 （1）（sin x）'＝cos x； （2）（cos x）'＝－sin x； （3）（ax）'＝axln a（a＞0，且a≠1）； （4）（logax）'＝（a＞0，且a≠1，x＞0）. 2.利用导数研究函数的单调性 （1）若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义域内解（或证明）不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0； （2）若已知函数的单调性，则转化为不等式f'（x）≥0或f'（x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 3.利用导数研究函数的极值、最值 （1）若f'（x0）＝0且在x0附近左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，则f（x0）为函数f（x）的极大值；若在x0附近左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0，则f（x0）为函数f（x）的极小值； （2）设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 4.常用结论 （1）在某区间内f'（x）＞0（f'（x）＜0）是函数f（x）在此区间上单调递增（减）的充分不必要条件； （2）可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是对∀x∈（a，b），都有f'（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零； （3）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 导数的几何意义 【例1】　（1）（2024·福建适应性练习卷）已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln（－x）的切线，则（　　） A.k＝，b＝0 B.k＝1，b＝0 C.k＝，b＝－1 D.k＝1，b＝－1 （2）已知函数f（x）＝，若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax－y＝0，则x0的值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 求曲线y＝f（x）的切线方程的三种类型及方法 （1）已知切点P（x0，y0），求切线方程：求出切线的斜率f'（x0），由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P（x0，y0），通过方程k＝f'（x0）解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点（非切点），求切线方程：设切点为P（x0，y0），利用导数求得切线斜率f'（x0），再由斜率公式求得切线斜率，列方程（组）解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 提醒　求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点. 1.（2024·邯郸第四次调研）设函数f（x）＝x＋的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为（　　） A.y＝－x B.y＝－x－1 C.y＝0 D.y＝x－1 2.（2024·山东新高考联合质量测评）过点（3，0）作曲线f（x）＝xex的两条切线，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1＋x2＝（　　） A.－3　　　B.－ C.　　　D.3 利用导数研究函数的单调性 【例2】　（1）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　　） A.（0，4）　　　　　 B.（－∞，1），（，4） C.（0，） D.（0，1），（4，＋∞） （2）（2024·贵阳适应性考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且y＝f'（x）＋ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a－1），则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.（，1） D.（－∞，）∪（1，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 利用导数研究函数单调性的三个关键点 （1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； （3）已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 1.已知函数f（x）＝xex－，则（　　） A.f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递减 B.f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上先递减再递增 C.f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减 D.f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上先递减再递增 2.若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则实数m的取值范围为　　　　. 利用导数研究函数的极值与最值 【例3】　（1）（2024·扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A.（－2，＋∞） B.（－，＋∞） C.（－∞，－2） D.（－∞，－） （2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），则x2－2x1的最大值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 利用导数研究函数极值与最值的方法 （1）若求极值，则先求方程f'（x）＝0的根，再检查f'（x）在方程根的左右函数值的符号； （2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f'（x）＝0根的大小或存在情况来求解； （3）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较，从而得到函数的最值. 1.（2024·江西名校联考）已知函数f（x）＝x3－ax2＋x＋1没有极值点，则a的取值范围是（　　） A.（－，） B.[－，] C.（－∞，－） D.[，＋∞） 2.（2024·南京、盐城一模）用min{x，y}表示x，y中的最小数.已知函数f（x）＝，则min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为（　　） A. B. C. D.ln 2 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $