专题7 第2讲 小题研透——基本初等函数、函数与方程-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第2讲　小题研透——基本初等函数、函数与方程 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 基本初等函数的图象与性质 在选择、填空题中会继续对基本初等函数的图象、性质及有关运算进行考查，而且与函数的零点有关的题目，常结合函数的性质综合考查，注意该知识点易命制成多选题，也可能以函数实际应用呈现 函数的 零点 确定函数零点个数或零点所在区间 求参数的取值范围 函数的实际应用 二、真题感悟 1.（2024·天津高考5题）（比较大小）若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 2.（2024·北京高考9题）（指数运算、基本不等式）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　） A.log2 ＜ B.log2 ＞ C.log2 ＜x1＋x2 D.log2 ＞x1＋x2 3.（2023·全国乙卷文8题）（由函数零点个数求参数）函数f（x）＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2） B.（－∞，－3） C.（－4，－1） D.（－3，0） 4.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷10题）（函数模型的应用）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　） A.p1≥p2 B.p2＞10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 5.（2024·全国甲卷理15题）（对数运算）已知a＞1且－＝－，则a＝　　　. 重｜难｜排｜查 1.对数式的运算公式 （1）loga（MN）＝logaM＋logaN； （2）loga＝logaM－logaN； （3）logaMn＝nlogaM； （4）＝N； （5）logaN＝. 注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0. 2.指数函数与对数函数的图象与性质 指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题 （1）函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的根，即函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象交点的横坐标； （2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.常用结论 （1）换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象越高，底数越大. （3）对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 基本初等函数的图象与性质 【例1】　（1）（多选）（2024·乌鲁木齐第二次质量监测）已知函数f（x）＝，g（x）＝，则（　　） A.函数f（x）在R上单调递增 B.函数f（x）g（x）是奇函数 C.函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称 D.g（2x）＝f2（x）＋g2（x） （2）（多选）已知函数f（x）＝ln ，下列说法正确的是（　　） A.f（x）为奇函数 B.f（x）为偶函数 C.f（x）在（ ，＋∞）上单调递减 D.f（x）的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 基本初等函数性质的应用技巧 （1）对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论； （2）由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，往往通过换元法转化为若干个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断. 1.已知lg a＋lg b＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数f（x）＝ax与g（x）＝lox的图象可能是（　　） 2.（2024·江西名校联盟）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝－x在（0，＋∞）的最大值为－3，则f（x）在（－∞，0）的最小值为　　　　. 指数、对数、幂值的大小比较 【例2】　（1）（2024·武汉四调）记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝log0.20.3，则（　　） A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.b＞a＞c （2）若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（　　） A.a＞2b B.a＜2b C.a＞b2 D.a＜b2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 指数式、对数式、幂值大小的比较方法 　　解决指数、对数、幂型代数式比较大小问题，首先要比较代数式结构形式的异同，若底数相同，则考虑用指数函数单调性解决；若指数相同，则考虑用幂函数的单调性解决；若底数、指数都不相同，则考虑通过分析代数式的大致范围来比较大小.其次要注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用来比较大小. 　已知幂函数f（x）＝xn的图象过点（2，8），设a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（　　） A.b＜c＜a B.a＜c＜b C.a＜b＜c D.c＜b＜a 函数的零点 【例3】　（1）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（4＋x）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2，则f（x）在区间（0，8）上零点的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 （2）已知函数f（x）＝有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.判断函数零点个数的方法 （1）利用零点存在定理判断； （2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根； （3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解. 2.利用函数零点的情况求参数值（范围）的三种方法 1.（2024·嘉兴模拟）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则m的取值范围为（　　） A.（－，0） B.［－，0） C.（－∞，－］∪（0，＋∞） D.（－∞，－）∪（0，＋∞） 2.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－a有3个零点，则实数a的取值范围是　　　　. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　小题研透——基本初等函数、函数与方程 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.B　由函数y＝4.2x是增函数可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜0，故b＞a＞c，故选B. 2.B　因为（x1，y1），（x2，y2）为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞2＝2，所以＞＞0，所以log2＞log2＝.故选B. 3.B　由题意知f'（x）＝3x2＋a，要使函数f（x）存在3个零点，则f'（x）＝0要有2个不同的根，则a＜0.令3x2＋a＝0，解得x＝±.令f'（x）＞0，则x＜－或x＞，令f'（x）＜0，则－＜x＜.所以f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，）上单调递减，所以要使f（x）存在3个零点，则即解得＞1，即a＜－3.故选B. 4.ACD　由Lp＝20×lg，得p＝p0×1.由题表中的数据可知p0×103≤p1≤p0×1，p0×1≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0，故A、C正确；因为10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B错误；因为p0×1≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选A、C、D. 5.64　解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2（a＞1），则t＞0，故3t－＝－，得t＝（t＝－1舍去），所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 【研透高考·攻重点】 【例1】　（1）ABD　（2）ACD　解析：（1）对于A，因为y＝ex在R上单调递增，y＝－e－x在R上单调递增，所以f（x）＝在R上单调递增，故A正确；对于B，因为f（x）g（x）＝·＝，所以f（－x）g（－x）＝＝－f（x）g（x），所以f（x）g（x）为奇函数，故B正确；对于C，因为f（x）为奇函数，图象关于原点对称，而g（x）为偶函数，图象关于y轴对称，所以f（x）与g（x）的图象不会关于原点对称，故C错误；对于D，f2（x）＋g2（x）＝（）2＋（）2＝＋＝＝g（2x），故D正确.综上，选A、B、D. （2）f（x）＝ln ，令＞0，解得x＞或x＜－，∴f（x）的定义域为（ －∞，－）∪（ ，＋∞），又f（－x）＝ln ＝ln ＝ln（ ）－1＝－ln ＝－f（x），∴f（x）为奇函数，故A正确，B错误；又f（x）＝ln ＝ln（ 1＋），令t＝1＋，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，又t＝1＋在（ ，＋∞）上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f（x）在（ ，＋∞）上单调递减，故C正确；∴y＝ln t的值域是（－∞，0）∪（0，＋∞），故D正确. 跟踪训练 1.B　∵lg a＋lg b＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），∴ab＝1，∴a＝，∴g（x）＝lox＝logax，∴函数f（x）＝ax与函数g（x）＝lox互为反函数，∴函数f（x）＝ax与g（x）＝lox的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性. 2.5　解析：函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，由f（－x）＋f（x）＝＋x＋－x＝2，得f（－x）－1＝－[f（x）－1]，令g（x）＝f（x）－1，则g（－x）＝－g（x），所以函数g（x）为奇函数，因为函数f（x）＝－x在（0，＋∞）的最大值为－3，所以函数g（x）在（0，＋∞）的最大值为－4，所以函数g（x）在（－∞，0）的最小值为4，所以f（x）在（－∞，0）的最小值为4＋1＝5. 【例2】　（1）D　（2）B　解析：（1）因为b＝0.3－0.2＝（）0.2，幂函数y＝x0.2在（0，＋∞）上单调递增，又＞3，所以（）0.2＞30.2＞30＝1，所以b＞a＞1，又对数函数y＝log0.2x在（0，＋∞）上单调递减，所以c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，故b＞a＞1＞c.故选D. （2）由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f（x）＝2x＋log2x，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增.又∵22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log2（2b），∴2a＋log2a＜22b＋log2（2b），即f（a）＜f（2b），∴a＜2b.故选B. 跟踪训练 　D　因为幂函数f（x）＝xn的图象过点（2，8），所以8＝2n，解得n＝3，即f（x）＝x3，故函数f（x）在R上为增函数.因为20.3＞20＝1，0＜0.32＜0.30＝1，log20.3＜log21＝0，所以a＝f（20.3）＞b＝f（0.32）＞c＝f（log20.3）.故选D. 【例3】　（1）C　（2）[－4，－2） 解析：（1）因为f（4＋x）＝f（x），所以函数的周期为4，当x∈[0，2]时，令f（x）＝2x－2＝0，得x＝1，即f（1）＝0，因为函数是偶函数且周期为4，所以有f（1）＝f（－1）＝f（3）＝f（7）＝f（－3）＝f（5）＝0，所以f（x）在区间（0，8）上零点的个数为4. （2）函数f（x）＝有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，设g（x）＝则函数g（x）的图象与直线y＝t的三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，作出函数g（x）的图象，如图所示. 由图可知1≤t＜4，且x1，x2是关于x的方程－x2－4x－t＝0的两个不等实根，所以x1＋x2＝－＝－4，x3满足－t＝0，即x3＝log2t，因为1≤t＜4，所以log21≤log2t＜log24，即0≤x3＜2.所以－4≤x1＋x2＋x3＜－2，即x1＋x2＋x3的取值范围是[－4，－2）. 跟踪训练 1.B　由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－在区间（1，3]上单调递增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此，实数m的取值范围是［－，0），故选B. 2.（0，1）　解析：根据题意g（x）＝f（x）－a＝0，即f（x）＝a，已知f（x）＝画出图象如图，根据图象易知当0＜a＜1时，函数y＝f（x）与y＝a的图象有3个交点，即函数g（x）有3个零点.因此a∈（0，1）. 学科网（北京）股份有限公司 $