专题7 第1讲 小题研透——函数的图象与性质-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第1讲　小题研透——函数的图象与性质 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 函数图象的识别及应用 在选择、填空题中会继续考查函数图象的识别、判断及函数单调性、奇偶性、周期性、对称性的综合应用；利用图象、研究函数性质、求方程及不等式的解集也时有出现 函数单调性、奇偶性的判断及应用 函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合应用（求值、比较大小、解不等式等） 二、真题感悟 1.（2024·天津高考4题）（函数的奇偶性）下列函数是偶函数的是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 2.（2024·全国甲卷理7题）（函数图象的识别）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（　　） 3.（2024·新高考Ⅰ卷6题）（分段函数单调性的应用）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 4.（2023·新高考Ⅱ卷4题）（利用函数性质求参数）若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（　　） A.－1　　　B.0 C.　　　D.1 5.（2022·全国乙卷理12题）（函数周期性、对称性的应用）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）＋g（2－x）＝5，g（x）－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（　　） A.－21 B.－22 C.－23 D.－24 重｜难｜排｜查 1.函数的性质 （1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则； （2）奇偶性：①若f（x）是偶函数，则f（x）＝f（－x）； ②若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）＝0； ③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性； （3）周期性：若y＝f（x）对x∈R，f（x＋a）＝f（x－a）或f（x＋2a）＝f（x）（a＞0）恒成立，则y＝f（x）是周期为2a的周期函数. 易错提醒　在讨论函数奇偶性，单调性等内容时，易忽略函数的定义域而导致错解. 2.常用结论 （1）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称； （2）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称； （3）若y＝f（x）是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为2｜a｜的周期函数； （4）若y＝f（x）是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为4｜a｜的周期函数； （5）若f（x＋a）＝－f（x）（或f（x＋a）＝），则y＝f（x）是周期为2｜a｜的周期函数. 函数的图象 考向1　函数图象的识别 【例1】　（1）（2024·保定二模）函数f（x）＝·cos 2x的部分图象大致为（　　） （2）（2024·河南TOP二十名校调研）如图是函数f（x）＝（a∈R，b∈N*）的部分图象，则（　　） A.a＞0，b是奇数 B.a＜0，b是奇数 C.a＞0，b是偶数 D.a＜0，b是偶数 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 感悟提升 寻找函数图象与解析式对应关系的方法 （1）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复； （2）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性. 考向2　函数图象的应用 【例2】　已知f（x）＝不等式f（x＋a）＞f（2a－x）在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.利用函数的图象研究方程或不等式 当方程或不等式不能用代数法求解，但其与函数有关时，常转化为两函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解. 2.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： （1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性. 1.已知函数f（x）＝则y＝－f（x）的图象大致为（　　） 2.（2024·金丽衢十二校第二次联考）已知函数f（x）＝若f（x1）＝f（x2）（x1＜x2），则x2－x1的取值范围为（　　） A.[e，＋∞） B.[4－2ln 2，＋∞） C.[4－2ln 2，e] D.[e－1，＋∞） 函数的性质及应用 考向1　函数的单调性与最值 【例3】　（1）已知函数f（x）的定义域为R，且f（1）＝1，对任意的x1＜x2，有＞－1，则不等式f（｜x－1｜）＜2－｜x－1｜的解集为　　　　； （2）已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x＋＋1.若函数y＝f（x）在[1，＋∞）上的最小值为3，则实数a＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 （1）比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决； （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时，应特别注意函数的定义域； （3）利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解； （4）利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，根据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，将其转化到同一单调区间比较求参数. 考向2　奇偶性、周期性与对称性 【例4】　（1）（多选）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＋f（x）＝0，且y＝f（2－x）为偶函数，则下列说法一定正确的是（　　） A.函数f（x）的周期为2 B.函数f（x）的图象关于（1，0）对称 C.函数f（x）为偶函数 D.函数f（x）的图象关于x＝3对称 （2）已知函数f（x）＝a－（a∈R）是奇函数，则函数f（x）的值域为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 函数的奇偶性、周期性及对称性 （1）奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分（一般取一半）区间上，注意偶函数常用结论f（x）＝f（｜x｜）； （2）周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解； （3）对称性：常围绕图象的对称中心或对称轴设置试题，利用图象对称中心或对称轴的性质简化所求问题. 1.已知函数f（x）＝e｜x｜－cos x，则f（），f（0），f（－）的大小关系为（　　） A.f（0）＜f（）＜f（－） B.f（0）＜f（－）＜f（） C.f（）＜f（－）＜f（0） D.f（－）＜f（0）＜f（） 2.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（）＝（　　） A.－1　 　B.－2 C.2　 　D.1 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题七　函数与导数 第1讲　小题研透——函数的图象与性质 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.B　对于A，f（－x）＝＝≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－x）＝＝＝－＝－f（x），故f（x）是奇函数.故选B. 2.B　由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝－（－x）2＋（e－x－ex）sin（－x）＝－x2＋（ex－e－x）·sin x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f（1）＝－1＋（e－）sin 1＞－1＋（e－）sin＝－1＋－＞0，排除D.故选B. 3.B　因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B. 4.B　法一　因为f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B. 法二　要使函数f（x）有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln＝（x＋a）ln，则（x－a）ln＝（x＋a）ln对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B. 5.D　由y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称，可得g（2＋x）＝g（2－x）.在f（x）＋g（2－x）＝5中，用－x替换x，可得f（－x）＋g（2＋x）＝5，可得f（－x）＝f（x）　①，y＝f（x）为偶函数.在g（x）－f（x－4）＝7中，用2－x替换x，得g（2－x）＝f（－x－2）＋7，代入f（x）＋g（2－x）＝5中，得f（x）＋f（－x－2）＝－2　②，所以y＝f（x）的图象关于点（－1，－1）中心对称，所以f（1）＝f（－1）＝－1.由①②可得f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（x＋2）＋f（x＋4）＝－2，所以f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数.由f（x）＋g（2－x）＝5可得f（0）＋g（2）＝5，又g（2）＝4，所以可得f（0）＝1，又f（x）＋f（x＋2）＝－2，所以f（0）＋f（2）＝－2，得f（2）＝－3，又f（3）＝f（－1）＝－1，f（4）＝f（0）＝1，所以f（k）＝6f（1）＋6f（2）＋5f（3）＋5f（4）＝6×（－1）＋6×（－3）＋5×（－1）＋5×1＝－24.故选D. 【研透高考·攻重点】 【例1】　（1）A　（2）A　解析：（1）设g（x）＝，则g（－x）＝＝＝－g（x），所以g（x）为奇函数，设h（x）＝cos 2x，可知h（x）为偶函数，所以f（x）＝·cos 2x为奇函数，则B、C错误；易知f（0）＝0，所以A正确，D错误.故选A. （2）当b为偶数时，f（x）恒大于0，不符合题图，所以b为奇数，当x＝－a时，f（x）＝0，从题图可知此时－a＜0，即a＞0.故选A. 【例2】　（－∞，－2） 解析： 作出函数f（x）＝的图象，如图.要使不等式f（x＋a）＞f（2a－x）在[a，a＋1]上恒成立，则x＋a＜2a－x在[a，a＋1]上恒成立，即a＞2x在x∈[a，a＋1]上恒成立，所以a＞2（a＋1），解得a＜－2.所以实数a的取值范围是（－∞，－2）. 跟踪训练 1.C　 结合题意可得：当x＜0时，f（x）＝x－2＝为幂函数，其在（－∞，0）上单调递增；当x≥0时，f（x）＝＝也为幂函数，其在[0，＋∞）上单调递增.故函数f（x）＝的大致图象如图所示.要得到y＝－f（x）的图象，只需将y＝f（x）的图象沿x轴对称即可.故选C. 2.B　 作出f（x）的图象，如图.由图象可知x1＋1＝ln x2，即x1＝2ln x2－2，所以x2－x1＝x2－2ln x2＋2，由图象可得x2∈（0，e]，设h（x）＝x－2ln x＋2，x∈（0，e].则h'（x）＝1－＝，x∈（0，e].令h'（x）＝＝0，则x＝2，当h'（x）＞0时x∈（2，e]，当h'（x）＜0时x∈（0，2），所以h（x）＝x－2ln x＋2在（0，2）上单调递减，在（2，e]上单调递增.所以h（x）在x＝2时取得最小值，h（2）＝4－2ln 2，可得x2－x1∈[4－2ln 2，＋∞）.故选B. 【例3】　（1）（0，2）　（2）4　解析：（1）对任意的x1＜x2，有＞－1，则f（x1）－f（x2）＜x2－x1，即f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2，则y＝f（x）＋x在R上是增函数.因为f（｜x－1｜）＜2－｜x－1｜，且f（1）＝1，f（｜x－1｜）＋｜x－1｜＜f（1）＋1，则｜x－1｜＜1，解得0＜x＜2. （2）因为y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x＋＋1.当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝－x－＋1＝－f（x），所以当x＞0时，f（x）＝x＋－1，此时f'（x）＝1－，当a≤1时f'（x）＝1－≥0在[1，＋∞）上恒成立，函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，当x＝1时，函数取得最小值，f（1）＝1＋a－1＝3，解得a＝3（舍），当a＞1时，x∈[1，]，f'（x）＜0，函数单调递减；x∈[，＋∞），f'（x）＞0，函数单调递增，故x＝时，函数取得最小值，f（）＝2－1＝3，解得a＝4，综上，a＝4.故选D. 【例4】　（1）BC　（2）（－1，1） 解析：（1）依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），函数f（x）的周期为4，A错误；因为函数y＝f（2－x）是偶函数，则f（2－x）＝f（2＋x），函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（2－x）＝－f（x），即f（2－x）＋f（x）＝0，函数f（x）的图象关于（1，0）对称，B正确；由f（2－x）＝f（2＋x）得f（－x）＝f（4＋x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，C正确；由f（x＋2）＋f（x）＝0得f（x＋3）＋f（1＋x）＝0，由f（2－x）＝f（2＋x）得f（3－x）＝f（1＋x），因此f（x＋3）＋f（3－x）＝0，函数f（x）的图象关于（3，0）对称，D错误.故选B、C. （2）法一　由f（x）是奇函数知f（－x）＝－f（x），所以a－＝－a＋，得2a＝＋＝2，所以a＝1，所以f（x）＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，所以－1＜1－＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1）. 法二　函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）是奇函数，所以f（0）＝a－1＝0，即a＝1，所以f（x）＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，所以－1＜1－＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1）. 跟踪训练 1.B　∵f（x）＝e｜x｜－cos x，∴f（－x）＝e｜－x｜－cos （－x）＝e｜x｜－cos x＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（）＝f（－）.当x＞0时，f（x）＝ex－cos x，则f'（x）＝ex＋sin x，当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＝ex＋sin x＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴f（0）＜f（）＜f（），即f（0）＜f（－）＜f（）. 2.B　因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，又当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（）＝f（8＋）＝f（）＝－f（－）＝－log2［－6×（－）＋2］＝－log24＝－2，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $