专题6 培优点2 概率与统计中的创新问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点2　概率与统计中的创新问题 　　概率与统计中的创新问题主要涉及概率统计中的证明问题、概率统计与数列、函数的交汇问题及概率统计中的新定义问题，考查题型多为解答题，难度中等偏上，或可作为压轴题出现. 概率与统计中的推理证明问题 【例1】　（2022·新高考Ⅰ卷20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. ①证明：R＝·； ②利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜）的估计值，并利用①的结果给出R的估计值. 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 感悟提升 　　解答概率与统计中的推理证明问题的关键是要“死抠”定义，与别的类型证明题不同，高中阶段所学的概率问题都是初等概率.解答此类题目只需依定义按部就班推导即可. 　（2024·辽宁三所重点中学第三次模拟）某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种（分别记为A种和B种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P，统计其中A种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi（i＝1，2，…，20）.设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N（M，N均大于100），每一次试验均相互独立. （1）求X1的分布列； （2）记随机变量＝Xi已知E（Xi＋Xj）＝E（Xi）＋E（Xj），D（Xi＋Xj）＝D（Xi）＋D（Xj）. ①证明：E（）＝E（X1），D（）＝D（X1）； ②该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi（i＝1，2，…，20）.数据xi（i＝1，2，…，20）的平均值＝30，方差s2＝1.采用和s2分别代替E（）和D（），给出M，N的估计值. （ 已知随机变量X服从超几何分布记为X～H（P，n，Q）（其中P为总数，Q为某类元素的个数，n为抽取的个数），则D（X）＝n（ 1－）） 概率统计与其他知识的交汇问题 考向1　概率统计与数列 【例2】　（2024·宁波“十校”联考）为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明每次试验成功的概率为p（0＜p＜1），且每次试验相互独立. （1）若进行5次试验，且p＝，求试验成功次数X的分布列以及期望； （2）若恰好成功2次后停止试验，p＝，记事件A：停止试验时试验次数不超过n（n≥2）次，事件B：停止试验时试验次数为偶数，求P（AB）.（结果用含有n的式子表示） 感悟提升 概率统计与数列交汇的常见题型 （1）求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E（Xn）的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式； （2）求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和； （3）利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限. 考向2　概率统计与函数 【例3】　（2024·邵阳第二次联考）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值； （2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数的估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； （3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x，答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为P，求概率P的最小值. 感悟提升 　　通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是解决概率统计与函数结合问题最常用的方式.解决此类问题，应注意两点： （1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差及随机事件概率的计算中涉及的变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键； （2）注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制. 　（2024·菏泽三模）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛. （1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p（ 0＜p＜），且每次是否中奖相互独立. ①记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f（p），求f（p）的极大值； ②M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120元，试求此时p的取值范围. 概率统计中的新定义问题 【例4】　若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称（ξ，η）是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机变量.设（ξ，η）的一切可能取值为（ai，bj），i，j＝1，2，…，记Pij表示（ai，bj）在Ω中出现的概率，其中Pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）]. （1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则（ξ，η）是一个二维随机变量. ①写出该二维离散型随机变量（ξ，η）的所有可能取值； ②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（结果用m，n表示）. （2）P（ξ＝ai）称为二维离散型随机变量（ξ，η）关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P（ξ＝ai）＝Pij. 感悟提升 　　解决概率统计中新定义问题的过程可以概括为“过三关”：第一关，准确转化关，即要解决新定义问题，一定要理解题目中定义的本质含义，紧扣题目所给的新定义、新运算法则、新符号等对所求问题进行恰当转化；第二关，方法选取关，对此类题可以采取特例法，从逻辑推理的角度进行转化，理解题目中定义的本质并进行推广、运算；第三关，审读题目关，严格按照新定义的要求，解答问题时要避免教材知识或者已有知识对信息的干扰，也就是突破思维定式或固有的已知信息束缚，按新定义寻求解决问题的方法. 　（2024·河南九师联盟）设离散型随机变量X和Y的分布列分别为P（X＝k）＝xk，P（Y＝k）＝yk，xk＞0，yk＞0，k＝0，1，2，…，n，xk＝yk＝1.定义D（X｜｜Y）＝xkln，用来刻画X和Y的相似程度，设X～B（n，p），0＜p＜1. （1）若n＝3，p＝，Y～B（ 3，），求D（X｜｜Y）； （2）若n＝2，且Y的分布列为 Y 0 1 2 P 求D（X｜｜Y）的最小值； （3）对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明，D（X｜｜Y）的值不可能为负数. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 培优点2概率与统计中的创新问题 【例1】解：(1)K2=200x40x90-6010 50K150x100x100 =24>6.635, 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. P(8 A) P(8 LA) (2)①证明：R=因 P8风 P (B A)P (B A) -P(B A)P (B A)' 由随忘免，证明丹-}即可， P (AB)P (AB) P风P风司 左边一鬻需？顶 P (AB)P (AB) =pAB】PAB)' P (AB)P(AB) P(8)P(B) 右边=P8PA8 F8)P8)】 P (AB)P (AB) =pB】PAB· P (A B)P(A B) 左边=右边，故R=p4B·p4回· ②由调查数据可知P41B)=品=手，P(41B)=品=六， 且P(AIB)=1-P(4|B)=,P(A|B)=1-P(4IB)=, 所以R=言X高 =6 跟踪训练 CCD0-& 解： (1)依题意，X1服从超几何分布，故X1的分布列为PX1=)= C9,k ∈N,0≤k≤100. 0 1 99 100 pckcpuckc CNCy CHOC Ct coc CHO (2)①证明：由题可知X,(i=1,2, 20)均服从完全相同的超几何分布，所以E 30 30 K)=EC)==ECo),E)=E（元BX)=òE（ X)=元×20EX)=EX), 20 20 1 20 D(X)=D(òx)=D(x)=D)=京×20D)=òDX). 故E()=EX),D(X)=品DCX). 独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 ②由①可知x的均值E(X)=E(X1)=9器. 100MNM4N-100) 由公式得X1的方差D(X) M+NM+N1）’ 5MWM4N-100】 所以D(8) (M+N2M+N1): 100y M0=30, 依题意有 5NNM:N-100=1, M+N2M+N-1) 解得N=1456,M=624, 所以可以估计M=624,N=1456. 【例2】解：(1)依题意，X~B(5,克)，则PX=0)=()5=,P(X =1)=C哈（吉）4（吉）=是， PX=2)=C号()3()2=》=最 P(X=3)=C()2(是)3=品， PCX=4)=C()（)4=最， PX=5)=（专)5=克， 故X的分布列为： ☒01234 品是】 克 故EC)=5x号=， (2)设事件“Y=n”表示前n一1次试验只成功了1次，且第n次试验成功， 故P(T=)=C1X×(号)n-2X号=号×（号）n2, 当n为偶数时， P(4B)=P(2)+P(4)+..+P(n)=吉[1·（号）0+3·（号）2++(n-1)· (号)m-2], 令=1·（号)0+3·（号）2+十(n-1)·(号)m-2, 则号S。=1·（号)2+3·（号）4+.十(n-1)·（号)” 两式相减得：号8=1十2[（号）2+（号）4++（号）n-2]-(n-1)·(号) , 则8.=号-（号）”·（器+号m）, 即P(AB)=器-（号+情）·()” 当n为奇数时，同理可得 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 P(4B)=P(2)+P(4)+.+P(n-1)=吉[1·（号）0+3·（号）2+.+(n-2)· (号)m-3] =器-（吉n十是)·（号)”-1， 综上，P(AB)= 器-传+是）层P1如为奇数， 器-传a+器)·（层尸n为偶数。 【例3】解： (1)10×(0.012+0.026+0.032+a+0.01)=1,.a=0.02 样本平均数的估计值为50×0.12+60×0.26+70×0.32+80×0.2+90×0.1=69 (2).u=69,0=10.5. PX>≥90)=PK≥4+20)≈1-09545=0.02275. 2 ∴.能参加复试的人数约为40000×0.02275=910. (3)由题意有xy=言 答对两道题的概率P=x2(1-y)十Cx(1-x)y=x2+2y-3x2y. 而x=吉，P=2+一昌 令f)=2+泰一哥(0<≤1)， 则P(x)=2x-点=， ∴.当x∈（0，)时，f(x)<0,f(x)在(0，吉)内单调递减； 当xe（,1]时，(x)>0,f(x)在（，1]内单调递增. ∴当x=专时，∫(x)mm=言.故概率P的最小值为。 跟踪训练 解：(1)由题意知，X的可能取值为0,1,2， Cac ad cid pC=2=-, 故X的分布列为 X01 2 P18 1515 25 则ECX)=0×+1×是+2×号=青， 记事件A:小王已经答对一题，事件B:小王未进入决赛， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率 Pa1w微器锷 (2)①由题意知，f(p)=C(1-p)2 =3p3-6p2+3p（0<p<星)， 则f(p)=3(3p-1)(p-1), 令f(p)=0,解得p=青或p=1(舍)， 当p∈(0，吉)时，f(p)>0,当pe(青，)时，f(p)<0, 所以f(p)在区间(0，青)内单调递增，在区间（青，）内单调递减， 所以当p=青时，f(p)有极大值，且f(p)的极大值为f(青)=青， ②由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量了， 则Y的可能取值为60,120,180,360， P(Y=60)=(1-p)3, P(Y=120)=C(1-p)2, P(Y=180)=C3知2(1-p), P(Y=360)=p3, 所以E(Y)=60(1-p)3+120C知(1-p)2+180C3知2(1-p)+360p3=60(2p3+ 3p+1), 所以9E(Y)≥1120， 即540(2p3+3p+1)≥1120 整理得2p3+3印-器≥0， 经观察可知p=青是方程2p3+3p-器=0的根， 故2p3+3即-器=2（p3-青p2)+号(p2-青p)+号(p-青)=（p-青)(2p2 +号p+9), 因为2p2+号p+2号>0恒成立， 所以由2p3+3p-器≥0可得p-青≥0，解得p≥青， 又0<p<,所以p的取值范围为[吉，寻)· 【例4】解：(1)①二维离散型随机变量(5，)的所有可能取值为(0,0)，(0， 1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1), (3,0) ②由题意得0≤m十n≤3， 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 P(ξ=m,n=n)=P(5=m|n=n)·P（n=n), 因为P(n=n)=C5(青)n(号)3-” P(5=mln=n=Cn（吉)m·(吉)3-n-m=Cgn(吉)3-%， 所以P(=m,n=n）=Cgn（)3-n…C5(青)n·（号)3-m=责CCgn=号· m(3mn· （2)证明：由定义及全概率公式知： P(=a)=P{(5=a)n[(n=b1)U(n=b2)U..U(=b,)U..]} =P{[(5=a)n(n=b)]U[(ξ=a)n(n=b2)]U.U[(5=a)n(n=b,)] U.} =P[(5=a)n(n=b)]+P[(=a)n(n=b2)]+..+P[(5=a)n(n=b)] 十. -2g-4)n=》1-氢g-7-》 跟踪训练 解：(1)因为X~B(3,青)，所以=PX=)=C跨（青）（导）3k c器k=0.1,23), 因为B(3,号)，所以=P(=)=C哈（号）.（吉)3=C$等k=0,1, 2,3), c峰岁 所以号-器=2*k=0.123》, 所以DX|IY)= h子-cg×常×2+c×音n2tcx萄×m+o 3×n23=lh2. (2)因为x=P(X=k)=Cp(1-p)2-k(k=0,1,2), 0=P(Y=0)=言，y1=P(Y=1)=号，2=P(Y=2)=言， 所似DG11n-含 =wln28+nln号+n爵 =(1-p)24m[6(1-p)2]+2p(1-p)ln[3p(1-p)]+p2n(6p2). 令f(p)=(1-p)24n[6(1-p)2]+2p(1-p)1n[3p(1-p)]+p21nm(6p2), ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 则f(p)=-2(1-p)1n[6(1-p)2]-2(1-p)+(2-4p)ln[3p(1-p)]+2 4p+2pln(6p2)+2p =(-2+4p)ln6-2ln(1-p)+2lnp+(2-4p)n3 =2lnp-2ln(1-p)+(4p-2)ln2, 令g(p)=2np-2ln(1-p)+(4p-2)n2, 则g'(p)=号+第+4ln2, 因为0<p<1,所以g'(p)>0,故g(p)在(0,1)上单调递增， 又g（寺)=0，所以当0<p<时，g(p)<0,即f(p)<0,当号<p<1时，g(p) >0,即f(p)>0, 所以f(p)在（0，)上单调递减，在(，1)上单调递增， 所以f(p)mm=f(麦)=ln唱. (3)证明：令g()=lnx-x十1，则p'(x)=是-1=签.易得当x∈(0,1)时，g '(x)>0,当x∈(1，十∞)时，9'(x)<0,故p(x)在(0,1)上单调递增，在(1， 十∞)上单调递减， 所以Vx∈(0，+∞)，p(x)≤p(1)=0, 所以lnx≤x-1,所以ln装≤表一1， 所以lnx≥1-袁 所以Dx11n-2皖2(1-专) -26e7w-含-含1-10 即DX|I)的值不可能为负. ·独家授权侵权必究·