专题6 第2讲 小题研透——概率-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第2讲　小题研透——概率 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.A　法一　如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8，故选A. 法二　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（AB）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4，所以P（C）＝P（A｜B）＝＝＝0.8，故选A. 2.BC　法一　依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N（2.1，0.12），故P（Y＞2）＝P（Y＞2.1－0.1）＝P（Y＜2.1＋0.1）≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误；因为X～N（1.8，0.12），所以P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1），因为P（X＜1.8＋0.1）≈0.841 3，所以P（X＞1.8＋0.1）≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，而P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1）＜P（X＞1.8＋0.1）＜0.2，B正确，A错误，故选B、C. 法二　由P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3，得P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈0.682 6，又Y～N（2.1，0.12），X～N（1.8，0.12），则P（X＞2）＝≈＝0.022 8＜0.5，P（Y＞2）＝0.5＋≈0.5＋0.341 3＝0.841 3＞0.8＞0.5，故选B、C. 3.ABD　对于A，因为信号的传输是相互独立的，所以采用单次传输方案依次发送1，0，1，依次收到1，0，1的概率p＝（1－β）（1－α）（1－β）＝（1－α）（1－β）2，则A正确；对于B，因为信号的传输是相互独立的，所以采用三次传输方案发送1，即发送3次1，依次收到1，0，1的概率p＝（1－β）·β（1－β）＝β（1－β）2，则B正确；对于C，因为信号的传输是相互独立的，所以采用三次传输方案发送1，译码为1包含两种情况：2次收到1，3次都收到1.而这两种情况是互斥的，所以采用三次传输方案发送1，收到译码为1的概率p＝（1－β）2β＋（1－β）3＝3β（1－β）2＋（1－β）3，则C错误；对于D，设“采用单次传输方案发送0，译码为0”为事件B，则P（B）＝1－α.设采用三次传输方案发送0，收到的信号为0的次数为X，则P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝（1－α）2α＋（1－α）3＝（1＋2α）（1－α）2.又当0＜α＜0.5时，P（X≥2）－P（B）＝（1＋2α）（1－α）2－（1－α）＝α（1－α）（1－2α）＞0，所以采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率，则D正确.故选A、B、D. 4.　解析：甲出1一定输，所以最多得3分，要得3分，就只有一种组合1－8，3－2，5－4，7－6. 得2分有三类，分别列举如下： （1）出3和出5时赢，其余输：1－6，3－2，5－4，7－8； （2）出3和出7时赢，其余输：1－4，3－2，5－8，7－6；1－8，3－2，5－6，7－4；1－6，3－2，5－8，7－4； （3）出5和出7时赢，其余输：1－2，3－8，5－4，7－6；1－4，3－8，5－2，7－6；1－8，3－4，5－2，7－6；1－6，3－8，5－2，7－4；1－8，3－6，5－2，7－4；1－6，3－8，5－4，7－2；1－8，3－6，5－4，7－2. 共12种组合满足要求，而所有组合为4！，所以甲得分不小于2的概率为＝. 【研透高考·攻重点】 【例1】　D　将5名志愿者分配到4个场馆，共有种不同的方法，其中A，B两名志愿者在同一个场馆共有种不同的方法，所以A，B两名志愿者不在同一个场馆的概率为P＝1－＝.故选D. 跟踪训练 1.C　设A表示事件“丙不是第一个出场，且甲最后出场”，B表示事件“丙不是第一个出场，且乙最后出场”.四人由随机抽签的方式确定出场次序，基本事件共有24个，事件A包含的基本事件有4个，故P（A）＝＝，同理有P（B）＝.由于事件A与事件B互斥，故丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝. 2.D　令6个挂件分别为A，A，B，B，C，C，则将这6个挂件分为3组有5种可能：①AB，AB，CC；②AC，AC，BB；③BC，BC，AA；④AA，BB，CC；⑤AB，BC，AC.再将这分成3组的挂件分给3位同学，有3＋3＋3＋＋＝21（种）情况，恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件为分组①②③，有3＋3＋3＝9（种）情况，所以恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件的概率是＝.故选D. 【例2】　（1）A　（2）BCD　解析：（1）抛掷次数为1的概率为＝，点数可能为3或4，抛掷次数为2的概率为1－＝，此时基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）共八种，其中点数之和至少为4的情况有（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）共五种，故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为×＋×＝＋＝.故选A. （2）对于A，∵n（A）＝60，n（D）＝10，n（A∪D）＝70，∴n（A∪D）＝n（A）＋n（D），∴A与D互斥，故A错误；对于B，∵n（A∪B）＝n（A）＋n（B）＝n（Ω），∴A与B互为对立，故B正确；对于C，∵P（A）＝＝，P（C）＝＝，P（A∩C）＝＝，∴P（A∩C）＝P（A）P（C）＝，∴A与C相互独立，故C正确；对于D，∵n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，∴n（B∩C）＝8，∴P（B∩C）＝＝，又∵P（B）＝＝，P（C）＝＝，∴P（B∩C）＝P（B）P（C）＝，∴B与C相互独立，故D正确.故选B、C、D. 跟踪训练 1.A　由题意得，P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，∴P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A与B相互独立，则A与也相互独立，∴P（A）＝P（A）P（）＝P（A）（1－P（B））＝×＝.故选A. 2.D　当n＝2时，AB表示一正一反，故P（AB）＝2××＝，故A正确；此时P（A）＝2××＝，P（B）＝1－P（）＝1－×＝，P（AB）＝≠＝P（A）P（B），故B正确；当n＝3时，A＋B表示并非每次都是正面朝上，故P（A＋B）＝1－P（）＝1－××＝，故C正确；此时P（AB）＝3×××＝，P（A）＝1－P（）＝1－××－××＝，P（B）＝××＋3×××＝，所以P（AB）＝＝×＝P（A）P（B），故D错误.故选D. 【例3】　（1）C　（2）B　解析：（1）据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，甲、乙同时击中目标为事件D，则P（A）＝，P（B）＝，所以P（C）＝1－P（）P（）＝1－（1－）×（1－）＝，P（DC）＝P（D）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝，则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P（D｜C）＝＝＝. （2）设A1，A2分别表示取得的这块芯片是由甲、乙线生产的，B表示取得的芯片为次品，甲线生产该芯片的次品率为p，则P（A1）＝＝，P（A2）＝，P（B｜A1）＝p，P（B｜A2）＝.由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝p＋×＝0.08，解得p＝.故选B. 跟踪训练 1.　　解析：由题意知甲选到A的概率P＝＝.记乙选择A活动为事件M，乙选了A活动再选择B活动为事件N，则P（M）＝＝，P（MN）＝＝，所以P（N｜M）＝＝＝. 2.　解析：设A＝“在甲盒中拿到红球”，B＝“在乙盒中拿到红球”.因为甲盒中有3个红球，2个黄球，所以P（A）＝，P（）＝1－＝，又乙盒中有2个红球，1个黄球，所以P（B｜A）＝，P（B｜）＝，所以P（B）＝P（AB）＋P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝. 【例4】　D　因为正态密度函数为f（x）＝，所以E（X）＝90，所以正态曲线关于直线x＝90对称，所以P（X＜70）＝P（X＞110），又P（70≤X≤110）＝0.8，所以P（X＞110）＝＝0.1，又共有50 000名学生参加这次考试，所以该市这次考试数学成绩超过110分的学生人数约为50 000×0.1＝5 000，故选D. 跟踪训练 1.D　随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，所以P（1.5≤X＜2）＝0.36，P（X＜1.5）＝（1－0.36×2）＝0.14，所以P（X＞1.5）＝1－0.14＝0.86，故选D. 2.0.01（答案不唯一，小于等于0.02的正数即可）　解析：依题意可得μ＝80，要使次品率不高于0.27％，则正品率不低于99.73％，又根据正态曲线的特征知，｜ξ－80｜＜3σ，所以ξ∈（80－3σ，80＋3σ）⊆（79.94，80.06），所以解得σ≤0.02，故σ的一个值可以为0.01. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　小题研透——概率 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 古典概型 概率模型多考查独立事件、条件概率、n重伯努利试验、互斥事件及对立事件等，而全概率公式与正态分布中的概率计算是新高考命题的热点，多以客观题形式呈现 相互独立事件的概率 条件概率与全概率公式 正态分布中的概率计算 二、真题感悟 1.（2023·全国甲卷理6题）（条件概率）某地的中学生中有60％的同学爱好滑冰，50％的同学爱好滑雪，70％的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（　　） A.0.8　　B.0.6　　C.0.5　　D.0.4 2.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷9题）（正态分布中的概率计算）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.12），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（Z＜μ＋σ）≈0.841 3）（　　） A.P（X＞2）＞0.2 B.P（X＞2）＜0.5 C.P（Y＞2）＞0.5 D.P（Y＞2）＜0.8 3.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷12题）（相互独立事件的概率）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　） A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1－α）（1－β）2 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1－β）2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1－β）2＋（1－β）3 D.当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 4.（2024·新高考Ⅰ卷14题）（古典概型的概率计算）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为　　　　. 重｜难｜排｜查 1.常用的概率公式 （1）A与B互斥，则P（AB）＝0； （2）A与B对立，则P（A）＝1－P（B）； （3）A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）·P（B）； （4）A发生的条件下，B发生的概率P（B｜A）＝＝； （5）若A1，A2，…，An是两两互斥事件且A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0（i＝1，2，…，n），则对任意事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）. 2.服从N（μ，σ2）的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法 （1）利用P（μ－σ≤X≤μ＋σ），P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ），P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）的值直接求； （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解； （3）若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2； （4）在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计. 古典概型 【例1】　（2024·湘豫名校联考）党的二十大报告提出：“深化全民阅读活动”.今天，我们思索读书的意义、发掘知识的价值、强调阅读的作用，正是为了更好地满足人民群众精神文化生活新期待.某市把图书馆、博物馆、美术馆、文化馆四个公共文化场馆面向社会免费开放，开放期间需要志愿者参与协助管理.现有A，B，C，D，E共5名志愿者，每名志愿者均参与本次志愿者服务工作，每个场馆至少需要一名志愿者，每名志愿者到各个场馆的可能性相同，则A，B两名志愿者不在同一个场馆的概率为（　　） A.　 　B.　 　C.　 　D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 求古典概型概率的注意点 （1）对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时要做到不重不漏； （2）当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率. 1.（2024·全国甲卷文4题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（　　） A. B. C. D. 2.（2024·杭州重点中学联考）第19届亚运会的吉祥物由“琮琮”“宸宸”和“莲莲”三类组成，现有印着三类吉祥物的挂件各2个（同类吉祥物完全相同，无区别）.若把这6个挂件分给3位同学，每人2个，则恰好有1位同学得到同类吉祥物挂件的概率是（　　） A. B. C. D. 互斥事件与独立事件 【例2】　（1）（2024·郑州第三次质量检测）抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛掷一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）.则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（　　） A. B. C. D. （2）（多选）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数，在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（　　） A.A与D不互斥 B.A与B互为对立 C.A与C相互独立 D.B与C相互独立 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 求相互独立事件的概率的两种方法 （1）直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解； （2）间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解.“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解. 1.（2024·日照一模）已知样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{b，c}，则P（A）＝（　　） A. B. C. D.1 2.（2024·武汉五调）抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，B＝“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（　　） A.当n＝2时，P（AB）＝ B.当n＝2时，事件A与事件B不相互独立 C.当n＝3时，P（A＋B）＝ D.当n＝3时，事件A与事件B不相互独立 条件概率与全概率公式 【例3】　（1）（2024·沈阳质量监测）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为（　　） A. B. C. D. （2）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙两线生产的芯片分别为12块、8块，且乙线生产该芯片的次品率为.现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲线生产该芯片的次品率为（　　） A. B. C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.求条件概率的常用方法 （1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝； （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点个数，即n（AB），得P（B｜A）＝. 2.应用全概率公式求概率的思路 （1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）； （2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）； （3）代入全概率公式计算. 1.（2024·天津高考13题）A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为　　　　；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为　　　　. 2.（2024·长沙新高考适应性考试）已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率为　　　　. 正态分布 【例4】　（2024·石家庄教学质量检测）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50 000名学生参加这次考试，数学成绩X近似服从正态分布，其正态密度函数为f（x）＝，x∈R且P（70≤X≤110）＝0.8，则该市这次考试数学成绩超过110分的学生人数约为（　　） A.2 000 B.3 000 C.4 000 D.5 000 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 正态分布下2类常见的概率计算 （1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1； （2）利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于[ μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个. 1.（2024·合肥第一次质量检测）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞1.5）＝（　　） A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86 2.低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选.某工厂生产的新能源汽车某一部件的质量指标ξ服从正态分布N（80，σ2）（σ＞0），检验员根据该部件的质量指标将产品分为正品和次品，其中指标ξ∈（79.94，80.06）的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于0.27％，则σ的一个值可以为　　　　. （参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997 3） 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $