专题6 第1讲 小题研透——计数原理与统计初步-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

专题六　概率与统计 第1讲　小题研透——计数原理与统计初步 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.C　对于A，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36＜50，所以亩产量的中位数不小于1 050 kg， 故A错误；对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34，所以低于1 100 kg的稻田占比为＝66％，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300，最小为1 150－950＝200，故C正确；对于D，由频数分布表可得，平均值为×（6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175）＝1 067，故D错误.故选C. 2.BD　若该组样本数据为1，2，3，4，5，8，则2，3，4，5的平均数为，1，2，3，4，5，8的平均数为，两组数据的平均数不相等，故A错误；不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数，故B正确；若该组样本数据为1，2，2，2，2，8，则2，2，2，2的标准差为0，而1，2，2，2，2，8的标准差大于0，故C错误；由对选项B的分析可知，x2，x3，x4，x5的极差为x5－x2，x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6－x1，且易得x6－x1≥x5－x2，故D正确.故选B、D. 3.B　先将丙和丁捆在一起有种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有种排列方式，最后将甲插入中间两空，有种排列方式，所以不同的排列方式共有＝24种，故选B. 4.24　112　解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24种选法. 法一（列举法）　每种选法可标记为（a，b，c，d），a，b，c，d分别表示第一、二、三、四行的数字，则所有的可能结果为：（11，22，33，44），（11，22，43，34），（11，33，22，44），（11，33，43，24），（11，42，22，34），（11，42，33，24），（21，12，33，44），（21，12，43，34），（21，33，13，44），（21，33，43，15），（21，42，13，34），（21，42，33，15），（31，12，22，44），（31，12，43，24），（31，22，13，44），（31，22，43，15），（31，42，13，24），（31，42，22，15），（40，12，22，34），（40，12，33，24），（40，22，13，34），（40，22，33，15），（40，33，13，24），（40，33，22，15），比较可知，所选方格中，（21，33，43，15）的和最大，最大为112. 法二（整体分析法）　先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112. 5.5　解析：由二项式定理知（ ＋x）10＝x10－k.记ak＝，k＝0，1，…，10. 法一　对于k＝1，2，…，10，有＝·＝.当k≤2时，＞1；当k≥3时，＜1，因此a0＜a1＜a2，a2＞a3＞…＞a10，所以展开式各项系数中的最大值为a2＝＝5. 法二　对于k＝1，2，…，10，有ak－ak－1＝（－3）＝·（ －）＝·，当k≤2时，ak－ak－1＞0；当k≥3时，ak－ak－1＜0.因此有a0＜a1＜a2，a2＞a3＞…＞a10，所以展开式各项系数中的最大值为a2＝＝5. 【研透高考·攻重点】 【例1】　（1）C　（2）D　解析：（1）根据题意，可分为两类：①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有＝4×2＝8种方法；②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有＝4×3＝12种方法，由分类加法计数原理得，共有8＋12＝20种不同的插法.故选C. （2）由题意可知，先将5人分成3组，有两类分法，第一类，各组人数分别为3，1，1，共有种分法；第二类，各组人数分别为1，2，2，共有种分法.将3组人员分配到A，B，C三个乡村学校去，共有种分法，所以不同的选派方法共有（ ＋）＝150（种）.故选D. 跟踪训练 1.C　以A为起点时，三条路线依次连接即可到达B点.共有3×2＝6种选择，自B连接到C时，在C右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有2种选择，∴以A为起点，C为终点时，共有6×2＝12种方法；同理可知，以C为起点，A为终点时，共有12种方法.∴完成该图“一笔画”的方法数为12＋12＝24种. 2.B　法一（排除法）　从7个点中任意取3个点共有种取法，因为B，D，E，F四点共线，其中任意三点都不能构成三角形，所以共可以构成－＝35－4＝31（个）不同三角形，故选B. 法二（分类法）　第一类：B，D，E，F四个点中一个点都不取，可构成＝1（个）三角形；第二类：从B，D，E，F四个点中取1个点，在A，C，G中取2个点，可构成＝12（个）三角形；第三类：从B，D，E，F四个点中取2个点，在A，C，G中取1个点，可构成＝18（个）三角形.共可以构成1＋12＋18＝31（个）三角形，故选B. 【例2】　（1）AC　（2）－40　解析：（1）根据二项式定理，（ 2x－）8的通项为Tk＋1＝28－k（－1）kx8－2k，常数项为24（－1）4＝1 120，故A正确；第四项的系数为28－3（－1）3＝－1 792，第六项的系数为28－5（－1）5＝－448，故B错误；因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误. （2）（x－2y）6的通项公式为Tr＋1＝x6－r（－2y）r＝（－2）rx6－ryr，令r＝2得，T3＝（－2）2x4y2＝60x4y2，此时60x4y2·2＝120x4y2，令r＝3得，T4＝（－2）3x3y3＝－160x3y3，此时－160x3y3·＝－160x4y2，故x4y2的系数为120－160＝－40. 跟踪训练 1.C　令x＝0，则15＝a0，∴a0＝1；令x＝1，则35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35－1＝242.故选C. 2.32　－1 080　解析：由二项式定理得（3x－y＋2z）5的展开式的通项公式为Tr＋1＝（3x－y）5－r·（2z）r，欲使得不含z，则r＝0，∴T1＝（3x－y）5，令x＝1，y＝1，则所有不含字母z的项的系数之和为25＝32；含x3yz的项是·（3x）3（－y）·2z＝－1 080x3yz，故其系数为－1 080. 3.4　解析：由（a＋b）2n的展开式的二项式系数的最大值为x，则有x＝，由（a＋b）2n＋1的展开式的二项式系数的最大值为y，则有y＝，由9x＝5y，故有9＝5，即9×＝5×，即9×＝5×，即9（n＋1）＝5（2n＋1），解得n＝4. 【例3】　（1）BCD　（2）2.5　解析：（1）设极差为t，由题中频率分布直方图可知，组距为1，共有12组，所以t≤1×12＝12，且不是一定取等号，所以A不正确；前6组频率之和为0.02＋0.04＋0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.7，前7组频率之和为0.7＋0.1＝0.8，所以75％分位数应位于[8.5，9.5）内，由8.5＋1×＝9，可以估计75％分位数为9，所以B正确；家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64＞0.5，所以C正确；由题中频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋（12＋13＋14）×0.02＝7.68（万元），又7.68＞6.5，所以D正确.综上，选B、C、D. （2）设样本数据x1，x2，…，x8的平均数为，则（xi－）2＝2，设样本数据y1，y2，…，y8的平均数为，由yi＝xi＋（－1）i（i＝1，2，…，8），则＝，所以（yi－）2＝[xi＋（－1）i－]2＝2＋（－1）i（xi－）＋1＝3＋（－1）ixi＝3＋×（－2）＝2.5. 跟踪训练 1.ACD　对于A，这5天的最高气温的平均数为＝24 ℃，最低气温的中位数为17 ℃，它们的差为7 ℃，A正确.对于B，这5天的最低气温的极差为6 ℃，B错误.对于C，这5天的最高气温的众数为26 ℃，C正确.对于D，最低气温从小到大排列为13 ℃，15 ℃，17 ℃，18 ℃，19 ℃，且5×0.4＝2，所以这5天的最低气温的第40百分位数是16 ℃，D正确.故选A、C、D. 2.168　27　解析：易知抽取的30名学生中，男生有20名，女生有10名，则用样本估计总体的平均值为＝168，估计总体的方差为s2＝×[16＋（170－168）2]＋×[25＋（164－168）2]＝27. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲　小题研透——计数原理与统计初步 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 两个计数原理、排列与组合 两个计数原理、排列与组合、二项式定理主要以选择题、填空题的形式考查，其中排列与组合时常与概率相结合；对统计图表与数字特征的考查，一般难度较小 二项式定理 统计图表与数字特征 二、真题感悟 1.（2024·新高考Ⅱ卷4题）（数据的统计分析）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理得下表： 亩产 量 [900， 950） [950， 1 000） [1 000， 1 050） [1 050， 1 100） [1 100， 1 150） [1 150， 1 200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（　　） A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80％ C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 2.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷9题）（样本的数字特征）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　） A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 3.（2022·新高考Ⅱ卷5题）（排列与组合）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　） A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 4.（2024·新高考Ⅱ卷14题）（两个计数原理）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有　　　　种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　. 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 5.（2024·全国甲卷理13题）（二项式定理）（ ＋x）10的展开式中，各项系数中的最大值为　　　　. 重｜难｜排｜查 1.排列数、组合数公式及性质 排列数 组合数 公 式 ＝n（n－1）·（n－2）·…·（n－m＋1）＝ ＝＝ 性 质 ＝n！，0！＝1， ＝n ＝1，＝，＋＝ 2.二项式系数的性质 （1）对称性：＝； （2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数递增，由对称性知，当k＞时，二项式系数递减.当n是偶数时，中间一项取得最大值，为；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，为与. 易错提醒　易混淆（a＋b）n展开式的“项的系数”与“二项式系数”. 3.用样本的数字特征估计总体 （1）平均数：①若一组数据为x1，x2，…，xn，则该组数据的平均数＝xi； ②加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个.不妨记为y1，y2，…，yk，其中yi出现的频数为fi（i＝1，2，…，k），则加权平均数为＝fiyi； ③分层随机抽样的平均数：若一组数据是由分层随机抽样所得到的，其中第一层抽取m个，即x1，x2，…，xm，平均数为，第二层抽取n个，即y1，y2，…，yn，平均数为，则x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数＝＋. （2）方差：①假设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则S2＝（xi－）2＝（－n）； ②分层随机抽样的方差：分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2，其中第一层抽取m个数据的平均数为，方差为，第二层抽取n个数据的平均数为，方差为，则该组数据的方差s2＝{m[＋（－）2]＋n[＋（－）2]}. （3）求一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据； 第2步：计算i＝n×p％； 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 4.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数与百分位数 （1）众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标； （2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的； （4）第p百分位数的求法：确定要求的p％分位数所在分组[A，B），由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以p％分位数＝A＋组距×. 两个计数原理、排列与组合 【例1】　（1）（2024·邯郸第四次调研）某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（　　） A.12　　　B.18 C.20　　　D.60 （2）为了缩小城乡教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A，B，C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法种数有（　　） A.25 B.60 C.90 D.150 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 求解排列与组合问题的方法 （1）直接法：相邻问题“捆绑法”，不相邻问题“插空法”.解决定序问题，可先不考虑顺序限制，排好后，再除以定序元素的全排列； （2）间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法求解. 1.（2024·深圳期末考试）“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，如图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A，B，C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（　　） A.6种 B.12种 C.24种 D.30种 2.（2024·太原高三模拟考试）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（　　） A.30 B.31 C.34 D.35 二项式定理 【例2】　（1）（多选）在（ 2x－）8的展开式中，下列说法正确的是（　　） A.常数项是1 120 B.第四项和第六项的系数相等 C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为256 （2）（2＋）（x－2y）6的展开式中x4y2的系数为　　　　.（用数字作答） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.求（a＋b）n的展开式中的特定项一般要应用通项公式Tk＋1＝an－kbk（k＝0，1，2，…，n），注意它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项. 2.求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解. 3.求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法. 4.求解系数和问题应用赋值法. 1.（2024·苏锡常镇四市调研）设（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋a2＋…＋a5＝（　　） A.－2　　B.－1 C.242　　D.243 2.（3x－y＋2z）5的展开式中所有不含字母z的项的系数之和为　　　　；含x3yz项的系数为　　　　. 3.（2024·连云港阶段性调研）设n为正整数，（a＋b）2n的展开式的二项式系数的最大值为x，（a＋b）2n＋1的展开式的二项式系数的最大值为y，若9x＝5y，则n＝　　　　. 统计图表与数字特征 【例3】　（1）（多选）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（　　） A.该地农户家庭年收入的极差为12 B.估计该地农户家庭年收入的75％分位数为9 C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D.估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 （2）（2024·赣州模拟改编）若一组样本数据x1，x2，…，x8的方差为2，（－1）ixi＝－2，yi＝xi＋（－1）i（i＝1，2，…，8），则样本数据y1，y2，…，y8的方差为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.关于平均数、方差的计算 样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别注意标准差是方差的算术平方根. 2.用样本的数字特征估计总体的数据分布特征 （1）估计总体集中趋势的统计量：众数、中位数、平均数； （2）用百分位数估计数据的分布特征； （3）估计总体的离散程度的统计量：极差、方差、标准差. 1.（多选）（2024·保定二模）如图是2024年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单位：℃）的折线图，则下列结论正确的是（　　） A.这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为7 ℃ B.这5天的最低气温的极差为3 ℃ C.这5天的最高气温的众数是26 ℃ D.这5天的最低气温的第40百分位数是16 ℃ 2.在调查某中学的学生身高时，已知全校共600名学生，其中有400名男生，200名女生，现从全校的学生身高中用分层随机抽样的方法抽取30名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为16，女生身高的平均数为164，方差为25，则利用样本估计总体的平均值为　　　　，估计总体的方差为　　　　. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $