专题5 培优点3 圆锥曲线中二级结论的应用-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点3　圆锥曲线中二级结论的应用 　　圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解. 椭圆、双曲线的焦点三角形 【例1】　（2023·全国甲卷文7题）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A.1　　　　B.2 C.4　　　　D.5 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 必记结论 　　焦点三角形的面积公式：P为椭圆（双曲线）上异于长轴端点的一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则：在椭圆中，＝b2·tan；在双曲线中，＝. 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A. B. C. D. 椭圆、双曲线的焦半径 【例2】　如图，F1，F2为椭圆＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 必记结论 1.若点P（x0，y0）在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右减）. 2.若点P（x0，y0）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）右支上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）. 3.焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两点，则＋＝. 已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且｜AF2｜＝2，则｜AB｜＝　　　　，cos∠F1AB＝　　　　. 切线、切点弦方程 【例3】　已知椭圆E：＋＝1，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标. 必记结论 1.已知点P（x0，y0）为椭圆（双曲线）上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为：在椭圆中＋＝1；在双曲线中－＝1. 2.若点P（x0，y0）是椭圆（双曲线）外一点，过点P（x0，y0）作椭圆（双曲线）的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是：在椭圆中＋＝1；在双曲线中－＝1. 已知椭圆C：＋y2＝1，直线l：y＝x＋3，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（　　） A.　　　　　　 B. C. D. 椭圆、双曲线的第三定义 【例4】　已知椭圆C：＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（　　） A.－ B.－ C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 必记结论 　　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，1］ D.［，1］ 圆锥曲线的垂径定理 【例5】　已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M（－12，－15），则E的方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 必记结论 1.若AB是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－. 2.若AB是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝. 椭圆＋＝1中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程为（　　） A.4x＋9y－17＝0 B.4x－9y－17＝0 C.x＋3y－2－3＝0 D.x－3y－2＋3＝0 双曲线中有关渐近线的距离 【例6】　（2024·长春模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，｜F1F2｜＝10，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则＝（　　） A.　　　B. C.　　　D.2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 必记结论 1.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b. 2.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 3.双曲线上任意一点P到两渐近线的距离乘积为定值. 　过双曲线x2－y2＝2上任意一点P（m，n）分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为（　　） A. B.1 C.2 D.4 抛物线的焦点弦 【例7】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　） A. B. C. D.2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 必记结论 　　若倾斜角为α（α≠）的直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞y2）两点，则 （1）x1x2＝，y1y2＝－p2； （2）焦半径｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝； （3）焦点弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，且＋＝； （4）S△OAB＝（O为坐标原点）. 已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则｜AB｜＋｜DE｜的最小值为（　　） A.16 B.14 C.12 D.10 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点3　圆锥曲线中二级结论的应用 【例1】　B　法一　∵·＝0，∴∠F1PF2＝90°.由题意可知b2＝1，则＝｜PF1｜·｜PF2｜＝b2·tan＝1，解得｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B. 法二　由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋＝｜F1F2｜2＝4c2.∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝＝＝2.故选B. 跟踪训练 　D　设双曲线C2的方程为－＝1（a2＞0，b2＞0），则有＋＝＝＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为tan 45°＝，即＝＝1.所以＝－＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝＝＝. 【例2】　（－，）　解析：设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由角平分线性质知，＝，于是得＝⇒m＝e2x0＝x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－，）. 跟踪训练 　　－　解析：∵a＝4，b＝2，由＋＝，∴＋＝，∴｜BF2｜＝，∴｜AB｜＝，∴｜AF1｜＝6，｜BF1｜＝，∴cos∠F1AB＝ ＝＝－. 【例3】　解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（3，y0）， 过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为＋＝1， 同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为＋＝1. 因为点P在直线PA，PB上， 所以 所以直线AB的方程为＋＝1， 则直线AB过定点M（2，0）. 跟踪训练 　C　法一　取椭圆上任意一点P，易知当过点P的直线l1与直线l平行且与椭圆C相切时，点P到直线l的距离取得最值.设直线l1的方程为y＝x＋k，与椭圆C的方程联立，得消去x得3y2－2ky＋k2－2＝0，令Δ＝4k2－12（k2－2）＝0，得k＝±，数形结合知，当k＝－时，点P到直线l的距离最大，最大值为＝.故选C. 法二　设P（x0，y0）为椭圆C上一点，则过点P的椭圆C的切线方程为＋y0y＝1，易知当切线与直线l平行时，点P到直线l的距离取得最值，所以x0＝－2y0，又P（x0，y0）在椭圆C上，所以＋＝1，即2＋＝1，得y0＝±，则点P的坐标为（ －，）或（ ，－）.易知点P的坐标为（ ，－）时，点P到直线l的距离最大，最大值为＝.故选C. 【例4】　B　如图所示，由椭圆的性质可得·＝·＝－＝－.由椭圆的对称性可得＝，＝，所以·＝－.同理可得·＝·＝·＝·＝－.所以直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（－）5＝－.故选B. 跟踪训练 　B　设P点坐标为（x0，y0），则＋＝1，＝，＝，于是·＝＝＝－.故＝－·.∵∈[－2，－1]，∴∈［，］. 【例5】　B　由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线的垂径定理得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线E的方程为－＝1. 跟踪训练 　A　设以点M（2，1）为中点的弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有两式相减得＋＝0，因为M（2，1）为中点，所以＝2，＝1，所以斜率k＝＝－＝－（ 或直接利用结论k＝－·＝－×＝－），所以所求直线方程为y－1＝－（x－2），即4x＋9y－17＝0. 【例6】　B　由｜F1F2｜＝2c＝10，得c＝5.因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，所以d1d2＝＝，所以＝. 跟踪训练 　B　双曲线x2－y2＝2的渐近线为x＋y＝0或x－y＝0，直线x＋y＝0与x－y＝0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为｜PA｜×｜PB｜＝＝1，故选B. 【例7】　C　∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知＋＝，∴＋＝＝1，∴｜BF｜＝.设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝＝，即3＋＝，∴sin2θ＝，sin θ＝，则△AOB的面积S△AOB＝＝＝，故选C. 跟踪训练 　A　 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈（0，），则直线l2的倾斜角为＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知｜AB｜＝＝，｜DE｜＝＝，∴｜AB｜＋｜DE｜＝＋＝＝≥16，当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时取等号.∴｜AB｜＋｜DE｜的最小值为16. 学科网（北京）股份有限公司 $