专题5 培优点2 圆锥曲线中的设点、设线技巧-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点2　圆锥曲线中的设点、设线技巧 【例1】　解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点， 故可设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0）. 令x＝1，则y＝±， 根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方， 故P（1，），Q（1，－）， 因为OP⊥OQ， 故1＋×（－）＝0⇒p＝， 故抛物线C的方程为y2＝x， 因为☉M与l相切，故其半径为1， 故☉M的方程为（x－2）2＋y2＝1. （2）设A1（，y1），A2（，y2），A3（，y3）， 由直线的两点式可知，直线A1A2的方程为（－）（y－y2）＝（y1－y2）（x－）， 化简可得x－（y1＋y2）y＋y1y2＝0， 因为直线A1A2与圆M相切， 所以＝1⇒（2＋y1y2）2＝1＋（y1＋y2）2， 整理得（－1）＋2y1y2＋3－＝0， 又＝x2，代入得（－1）x2＋2y1y2＋3－＝0， 同理可得（－1）x3＋2y1y3＋3－＝0， 于是直线A2A3的方程为（－1）x＋2y1y＋3－＝0， 设M到直线A2A3的距离为d， 则有d2＝＝1， 此时直线A2A3与☉M也相切， 综上，直线A2A3与☉M相切. 跟踪训练 　A　不妨设点A在第一象限，M（xM，yM），A（xA，yA），则＝（xM，yM），＝（xM－xA，yM－yA），因为＋3＝λ，所以yM－yA＋3yM＝0，得yA＝4yM＝4a，所以＝·2c·4a＝·（｜AF1｜＋｜AF2｜＋2c）·a，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝3c＋a，｜AF2｜＝3c－a.因为F1（－c，0），所以｜AF1｜＝ ＝ ＝ ＝＝xA＋a，所以3c＝xA，解得xA＝3a，所以A（3a，4a），代入双曲线C的方程得－＝1，解得b＝a，所以c＝＝a，所以双曲线C的离心率e＝＝.故选A. 【例2】　解：（1）由题意知a＋c＝b，得（a＋c）2＝3b2， 又a2＝b2＋c2，所以（a＋c）2＝3（a2－c2）， 化简得a＝2c，所以b＝c. 因为椭圆C过点P（ 1，），所以＋＝1， 所以＋＝1，解得c＝1. 所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）由（1）知，F（1，0），设直线l的方程为x＝my＋1（m＞0）， 由点P（ 1，）到直线l的距离为，得＝，解得m＝2. 联立消去x整理得16y2＋12y－9＝0，Δ＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以直线PM与直线PN的斜率之和为＋＝＋＝1－·＝0. 跟踪训练 　解：（1）由题意知2··＝1，故x2－y2＝2，所以E的方程为－＝1. 由方程得a＝b＝，c＝2， 所以E是以（－2，0），（2，0）为焦点，实轴长为2的等轴双曲线. （2）证明：当直线l1垂直于x轴时，则AB为通径，故｜AB｜＝＝2. 此时l2为x轴，此时｜CD｜为实轴长，故｜CD｜＝2， 所以｜AB｜＝｜CD｜； 当直线l1不垂直于x轴时，设l1：x＝ty＋2，l2：x＝－y＋2，t≠0，联立 消去x并整理得（t2－1）y2＋4ty＋2＝0， 因为l1与E交于两点，故t≠±1， 此时Δ＝16t2－4（t2－1）×2＝8（t2＋1）＞0， 所以｜AB｜＝｜y1－y2｜ ＝·＝， 同理，得｜CD｜＝＝， 所以｜AB｜＝｜CD｜. 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点2　圆锥曲线中的设点、设线技巧 　　解决解析几何问题，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出点与线“设”的重要性，以达到简化运算的目的. 设点的技巧 【例1】　抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M（2，0），且☉M与l相切. （1）求抛物线C和☉M的方程； （2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系，并说明理由. 感悟提升 1.由于抛物线方程中只有一个二次元，所以抛物线上动点的坐标可以用一个字母来表示. 2.椭圆与双曲线上的点可借助于三角换元设点，若常规设点，一般是用“设而不求”的思想方法解决问题. （2024·大连第一次模拟考试）设F1，F2分别是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内切圆M的半径为a（M为圆心），且∃λ∈R，使得＋3＝λ（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　） A. B. C.2 D.2 设线的技巧 【例2】　（2024·贵阳适应性考试）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆C过点P（ 1，）. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角.若点P（ 1，）到直线l的距离为，求直线PM与直线PN的斜率之和. 感悟提升 　　在圆锥曲线与直线的问题当中，设直线的方法比较多，常见有以下几种类型： （1）当题干中直接或者隐含直线过定点（x0，y0）时，可设点斜式y－y0＝k（x－x0）. 局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论； （2）当题干中含有过y轴上一定点（0，b）时，或者在解题步骤中需要x1·x2或x1＋x2，需要消掉y，保留x时，设y＝kx＋b会简化解题步骤和计算量. 局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论； （3）当题干中含有过x轴上一定点（m，0）时，或者在解题步骤中需要y1·y2或y1＋y2，需要消掉x，保留y时，设x＝ky＋m会简化解题步骤和计算量. 局限性：不能表示平行于x轴的直线，需要单独讨论. 已知实数m，n满足2mn＝1.令m＝，n＝，记动点M（x，y）的轨迹为E. （1）求E的方程，并说明E是什么曲线； （2）过点F2（2，0）作相互垂直的两条直线l1和l2，l1和l2与E分别交于点A，B和C，D，证明：｜AB｜＝｜CD｜. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $