专题5 培优点1 离心率的范围问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点1　离心率的范围问题 【例1】　C　 由题意得｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜QF1｜－｜PF2｜＝｜QF1｜＝2a，所以｜QF2｜＝4a，设∠F1PF2＝θ，｜PF2｜＝m，由余弦定理的推论可得cos θ＝＝，则m＝，则c2－5a2＞0⇒e＞，设点P（x0，y0）（x0≥a），则＝b2·（ －1），m2＝（c－x0）2＋＝（ex0－a）2，即m＝ex0－a≥c－a，所以≥c－a⇒（e＋1）（e＋1）（e－3）≤0⇒e≤3，故e∈（，3]. 跟踪训练 　B　设｜F1F2｜＝2c，双曲线C2的实轴长为2m，因为C1与C2在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，则｜MF2｜＝｜F1F2｜＝2c，由椭圆的定义可得｜MF1｜＝2a－2c，由双曲线的定义可得｜MF1｜＝2m＋2c，所以2a－2c＝2m＋2c，则a－m＝2c，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则－＝2，即－＝2，因为≤e1≤，则＝－2∈［，］，故e2∈［，5］. 【例2】　B　法一　如图，∵∠APB＝，∴∠APO＝（O是坐标原点），∴｜OP｜＝2｜OA｜＝2b.设P（m，n），则｜OP｜2＝m2＋n2＝4b2，又－＝1，∴m2（ ＋）＝5，又m2≥a2，∴5≥1＋，∴0＜≤4，≥，∴离心率e＝＝≥.故选B. 法二　如图，∵∠APB＝，∴∠APO＝（O是坐标原点），∴｜OP｜＝2｜OA｜＝2b，∴以O为圆心，以2b为半径的圆与双曲线有公共点，∴2b≥a，4b2≥a2，即4（c2－a2）≥a2，4c2≥5a2，∴离心率e＝≥.故选B. 跟踪训练 1.B　设P（x0，y0），则Q（ ，y0），因为四边形QPF1F2为平行四边形，所以｜PQ｜＝｜F1F2｜，所以－x0＝2c，即x0＝－2c＝∈（－a，a），所以－1＜＜1，所以－1＜2－e2－2e＜1，又0＜e＜1，所以－1＜e＜1. 2.B　在△PF1F2中，由正弦定理知＝，因为2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，所以2｜PF2｜＝｜PF1｜.由双曲线的定义知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，因为｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，即4a＋2a＞2c，所以e＝＜3.又e＞1，所以e∈（1，3）. 【例3】　C　 由题意知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，不妨取双曲线的渐近线为y＝x，如图.由解得或∴Q（a，b），P（－a，－b）.又A为双曲线的左顶点，∴A（－a，0），∴｜AQ｜＝，｜AP｜＝＝b.∵｜AQ｜≥2｜AP｜，∴≥2b，即4a2≥3（c2－a2），∴e2≤.又e＞1，∴e∈（ 1，］.故选C. 跟踪训练 1.C　设B1（0，－b），B2（0，b），F2（c，0），A2（a，0），所以＝（a，－b），＝（－c，－b）.因为∠B1PB2为钝角，所以与的夹角为锐角，所以·＝－ac＋b2＞0，即a2－c2－ac＞0.两边同时除以a2并化简得e2＋e－1＜0，解得＜e＜，又0＜e＜1，所以0＜e＜. 2.（ ，）　解析：依题意，对于椭圆方程，＜＝＜1，对于双曲线方程，e＝＝＝＝.不妨设t＝，则t∈（ ，1），于是f（t）＝，t∈（ ，1），由复合函数的单调性可得函数f（t）在区间（ ，1）上单调递增，故＜f（t）＜，即＜e＜，故双曲线离心率的取值范围为（ ，）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点1　离心率的范围问题 　　圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁. 借助圆锥曲线的定义 【例1】　已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上一点，PF1与C的左支交于点Q.若｜PQ｜＝｜PF2｜，则C的离心率的取值范围是（　　） A.（1，3] B.（2，3] C.（，3] D.（2，] 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 　　解此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围. 椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C2有公共的左、右焦点F1，F2，C1与C2在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率的取值范围是［，］，则双曲线C2的离心率的取值范围是（　　） A.［，5］ B.［，5］ C.［，］ D.［，＋∞） 借助平面图形的性质 【例2】　（2024·南京六校调研）已知圆C1：x2＋y2＝b2与双曲线C2：－＝1（a＞0，b＞0），若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P可以作圆C1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB＝，则双曲线C2的离心率的取值范围是（　　） A.（ 1，］ B.［，＋∞） C.（1，] D.[，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 借助平面图形的性质求离心率范围的步骤 （1）根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系； （2）将这些量结合圆锥曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式； （3）解不等式，确定离心率的取值范围. 1.已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q.若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A.（ ，1） B.（－1，1） C.（0，－1） D.（ 0，） 2.已知F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线的离心率的取值范围为（　　） A.（1，2） B.（1，3） C.（3，＋∞） D.（2，3） 借助题目中所给的不等信息 【例3】　已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧.若｜AQ｜≥2｜AP｜，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　） A.（1，] B.[，＋∞） C.（ 1，］ D.［，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 借助题目中所给的不等信息求离心率范围的步骤 （1）找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，Δ的范围等； （2）列出不等式（组），化简得到离心率的不等关系式，从而求解. 1.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　） A.（，1） B.（0，） C.（0，） D.（，1） 2.（2024·湖南九校联盟第二次联考）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）与双曲线－＝1，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为　　　　. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $