专题5 第2讲 小题研透——圆锥曲线的方程与性质-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第2讲　小题研透——圆锥曲线的方程与性质 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程（曲线的定义、求曲线方程、参数） 高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题.注意数形结合、转化与化归思想的应用 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质（离心率、双曲线的渐近线等） 二、真题感悟 1.（2024·新高考Ⅱ卷5题）（椭圆的标准方程）已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　　） A.＋＝1（y＞0） B.＋＝1（y＞0） C.＋＝1（y＞0） D.＋＝1（y＞0） 2.（2023·新高考Ⅰ卷5题）（椭圆的标准方程及性质）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 3.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷10题）（抛物线的定义及几何性质）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　） A.p＝2 B.｜MN｜＝ C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 4.（2024·新高考Ⅰ卷12题）（双曲线的标准方程及性质）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为　　　　. 重｜难｜排｜查 1.圆锥曲线的定义 （1）椭圆：｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜）； （2）双曲线：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a（0＜2a＜｜F1F2｜）； （3）抛物线：｜MF｜＝d（d为M点到准线的距离）. 2.圆锥曲线中的重要性质 （1）椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝； ②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝. （2）双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0）； ②双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为F1（0，－c），F2（0，c）. （3）抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线y2＝±2px（p＞0）的焦点坐标为（±，0），准线方程为x＝∓； ②抛物线x2＝±2py（p＞0）的焦点坐标为（0，±），准线方程为y＝∓. 易错提醒　（1）易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误；（2）已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解. 圆锥曲线的定义及标准方程 【例1】　（1）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上.若M到直线x＝－3的距离为5，则｜MF｜＝（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 （2）（2024·天津高考8题）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 求圆锥曲线标准方程的步骤 （1）设方程：确定圆锥曲线的焦点位置，设出标准方程； （2）求方程：利用待定系数法求出方程中的系数.特别地，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0），椭圆方程常设为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n），双曲线方程常设为mx2－ny2＝1（mn＞0）. 提醒　（1）双曲线的定义中注意“绝对值”；（2）确定圆锥曲线方程时需注意焦点位置. 1.（2024·江南十校联考信息卷）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2.（2024·浙江9＋1联盟联考）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，且∠NF2F1＝45°，tan∠NF1F2＝，△NF1F2的面积为10，｜O1F2｜＝8，则抛物线方程为　　　　. 椭圆、双曲线的几何性质 【例2】　（1）（2024·聊城二模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，一条渐近线的方程为y＝2x，若直线y＝kx与C在第一象限内的交点为P，且PF⊥x轴，则k＝（　　） A. B. C. D. （2）（多选）（2024·长沙新高考适应性考试）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为d1，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（　　） A.轨道的焦距为d2＋d1 B.轨道的离心率为 C.轨道的短轴长为2 D.当越大时，轨道越扁 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 感悟提升 1.椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法 求椭圆、双曲线的离心率（范围），关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值. 2.双曲线的渐近线的求法及用法 （1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得； （2）用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 1.（2024·菏泽三模）已知F（c，0）为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x＝c与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB是面积为4的直角三角形，则C的方程为（　　） A.x2－y2＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 2.（2024·广州综合测试）设B，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右顶点和上焦点，点P在C上，且＝2，则C的离心率为（　　） A. B. C. D. 抛物线的几何性质 【例3】　（2024·菏泽三模）已知抛物线C：y2＝8x，点P在C的准线上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为　　　　，若△ABP为等边三角形，则｜AB｜＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 　　利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 1.已知直线x＋2y＋2＝0与抛物线C：y2＝ax相切，则C的焦点坐标为（　　） A.（－，0） B.（－1，0） C.（，0） D.（1，0） 2.抛物线C：y2＝2px（p＞0）在其上一点处的切线方程为y－x－1＝0，点A，B为C上两动点，且｜AB｜＝6，则AB的中点M到y轴距离的取值范围为（　　） A.[2，＋∞） B.［，＋∞） C.[3，＋∞） D.［，＋∞） 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　小题研透——圆锥曲线的方程与性质 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.A　设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M为PP'的中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0）上，所以x2＋4y2＝16（y＞0），即＋＝1（y＞0），即点M的轨迹方程为＋＝1（y＞0）.故选A. 2.A　法一　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 法二　代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A. 3.AC　由于y2＝2px的焦点为（，0），直线y＝－（x－1）过焦点，所以－（－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝，B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为＝，圆心到准线l的距离d＝＋1＝＝｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝，x2＝3，所以y1＝，y2＝－2，所以｜ON｜＝＝，｜OM｜＝＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确.故选A、C. 4.　解析：法一　如图，由题意得｜AB｜＝10，｜AF2｜＝5，又AB∥y轴，故∠AF2F1＝90°，由｜AF1｜＝13，得｜F1F2｜＝12，故c＝6，由双曲线的定义知，｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得2a＝8，a＝4，故e＝＝. 法二　由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1，得y＝±，即A（c，），B（c，－），故｜AB｜＝＝10，｜AF2｜＝＝5，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝. 【研透高考·攻重点】 【例1】　（1）D　（2）C　解析：（1）因为抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程为x＝－2，点M在C上，所以点M到准线x＝－2的距离为｜MF｜，又M到直线x＝－3的距离为5，即｜MF｜＋1＝5，故｜MF｜＝4.故选D. （2）由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，得｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，＝｜PF1｜｜PF2｜＝×4a×2a＝4a2，又＝8，所以a2＝2，所以｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2＝40.又｜F1F2｜2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1，故选C. 跟踪训练 1.B　椭圆9x2＋4y2＝36化成标准方程为＋＝1，焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），依题意有所以a2＝25，b2＝20，所求椭圆方程为＋＝1.故选B. 2.y2＝32（x＋3）　解析：设F1（－c，0），F2（c，0），N（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）.由tan∠NF1F2＝，∠NF2F1＝45°，有解得x0＝c，y0＝c，由＝｜F1F2｜y0＝c2＝10，解得c＝5，则由｜O1F2｜＝8，得O1（－3，0），故抛物线方程为y2＝32（x＋3）. 【例2】　（1）C　（2）BC 解析：（1） 因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，依题意有＝2，即b＝2a⇒c＝a，又右焦点为F（c，0），且PF⊥x轴，所以P（c，），所以k＝kOP＝＝＝＝，故选C. （2）设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝，c＝，b2＝a2－c2＝d1d2，即b＝，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝＝，短轴长为2b＝2，所以A错误，B、C正确；因为e＝＝＝＝＝－1＋，所以当越大时，椭圆的离心率e越小，即椭圆越圆，所以D错误.综上，选B、C. 跟踪训练 1.B　 由△OAB为直角三角形，及双曲线的对称性知OA⊥OB，且｜OA｜＝｜OB｜，则C的渐近线方程为y＝±x，即a＝b，由△OAB的面积为4，得×2c×c＝4，解得c＝2，又a2＋b2＝c2＝4，因此a＝b＝，所以C的方程为－＝1.故选B. 2.A　由题意，得B（b，0），F2（0，c），则＝（－b，c）.设P（x，y），则＝（x，y－c）.由＝2，得所以因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，所以＝，所以e＝＝，故选A. 【例3】　8　24　解析：由已知得 F（2，0），准线方程为x＝－2，设直线AB的方程为x＝my＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x0，y0），如图1所示，联立消去x并整理得y2－8my－16＝0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，所以x1＋x2＝m（y1＋y2）＋4＝8m2＋4，所以x0＝＝4m2＋2，y0＝＝4m，即M（4m2＋2，4m），所以｜AB｜＝x1＋x2＋4＝8m2＋8.故当m＝0时，｜AB｜min＝8.若△ABP为等边三角形，则m≠0，如图2所示， 则设直线PM的方程为y－4m＝－m（x－4m2－2），即y＝－mx＋4m3＋6m，所以点P（－2，4m3＋8m），又｜PM｜＝｜AB｜，所以（4m2＋4）2＋（4m＋4m3）2＝（8m2＋8）2，解得m2＝2，所以｜AB｜＝8m2＋8＝24. 跟踪训练 1.C　依题意，联立消去x，得y2＋2ay＋2a＝0，则Δ＝4a2－8a＝0，由a≠0，所以a＝2，故抛物线C的方程为y2＝2x，则其焦点坐标为（，0）.故选C. 2.A　依题意， 因切线斜率为1，故切点必在第一象限，设切点为（，y0），由y＝求导可得y'＝，依题，＝1，化简得y0＝p，故切点为（，p），代入y－x－1＝0中，解得p＝2，故C：y2＝4x.如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则M（，），点M到y轴的距离为d＝＝－1＝－1≥－1＝2，当且仅当线段AB经过点F时，等号成立.故AB的中点M到y轴距离的取值范围为[2，＋∞）.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $