专题5 第1讲 小题研透——直线与圆-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

专题五　解析几何 第1讲　小题研透——直线与圆 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.D　化圆的方程为标准方程，得（x－1）2＋（y＋3）2＝10，所以该圆的圆心（1，－3）到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3. 2.C　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为2＝4，故选C. 3.B　 由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2，所以点（0，－2）与切点的距离为＝，所以sin＝，cos＝，所以sin α＝2sin·cos＝2××＝.故选B. 4.　解析：法一　由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 法二　易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1关于y轴对称的圆的方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心为（3，－2），半径为1，所以≤1，解得－≤k≤－，又k＝，所以－≤≤－，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 【研透高考·攻重点】 【例1】　（1）C　（2）D　解析：（1）解方程组得即直线l1，l2的交点为（1，1）.因为直线l的一个方向向量v＝（－3，2），所以直线l的斜率k＝－，则直线l的方程为y－1＝－（x－1），即2x＋3y－5＝0.故选C. （2）＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P（x，y）到定点A（1，1），B（2，0）的距离之和，如图.设点A（1，1）关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A'（x0，y0），则解得所以A'（－2，－2），则｜A'B｜＝＝2，所以＋的最小值为2.故选D. 跟踪训练 1.C　由解得即直线x＋y－3＝0，2x－y＝0的交点为（1，2）.因为所求直线与直线x－3y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－3，因此所求直线的方程为y－2＝－3（x－1），即3x＋y－5＝0.故选C. 2.　解析：∵l1∥l2，∴解得m＝－4，∴l2：2x－4y－8＝0，即x－2y－4＝0，∴l1，l2之间的距离d＝＝. 【例2】　（x－3）2＋（y－3）2＝18 解析：由△ABC的垂心G（2，2）到直线BC距离d＝，设圆E半径为r，由塞尔瓦定理可得r＋｜EG｜＝2（｜EG｜＋），由圆的几何性质可得（｜EG｜＋）2＋（）2＝r2，联立解得｜EG｜＝，r＝3，因为直线BC方程为x＋y－2＝0，所以直线EG方程为y＝x，设E（a，a），则E到直线BC距离d'＝＝2.解得a＝－1（舍去）或a＝3，所以圆E的标准方程为（x－3）2＋（y－3）2＝18. 跟踪训练 1.D　 当x≥0时，曲线为x2＋y2＝2x＋2y，即（x－1）2＋（y－1）2＝2；当x＜0时，曲线为x2＋y2＝－2x＋2y，即（x＋1）2＋（y－1）2＝2.画出图象如图，故所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积，且圆的半径为，两圆对称，即2πr2－2（πr2－××）＝3π＋2.故选D. 2.AC　圆C：（x－1）2＋y2＝1的圆心为C（1，0），半径为r＝1，对选项A，由P（4m＋3，－3m－4）得消去参数m得3x＋4y＋7＝0，所以点P在直线3x＋4y＋7＝0上，故A正确；对选项B，因为圆心C到直线3x＋4y＋7＝0的距离d＝＝2＞r，可知直线3x＋4y＋7＝0与圆C相离，结合选项A可知：点P不可能在圆C上，故B错误；对选项C，结合选项B可知｜PQ｜的最小值为d－r＝1，故C正确；对选项D，因为d＝r＋1，可知圆C上有且仅有1个点到点P的距离为1，故D错误.故选A、C. 【例3】　（1）A　（2）BC　解析：（1）设圆C2的圆心坐标为（a，b），连接AB，C1C2.因为C1（－2，3），A（0，2），B（－1，1），所以｜AC1｜＝｜BC1｜＝，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且｜AC2｜＝.可得解得或则圆心C2的坐标为（1，0）或（－2，3）（舍去）.因为圆C2的半径为，所以圆C2的方程为（x－1）2＋y2＝5.故选A. （2）对于A，由m（x＋y＋1）＋y－x＝0对于任意的m成立，可得所以x＝y＝－，直线l过定点（－，－），A错误.对于B，将定点（－，－）代入圆C的方程得（－－1）2＋（－－2）2＝＜9，可知点（－，－）在圆（x－1）2＋（y－2）2＝9的内部，所以直线l与圆C一定相交，B正确.对于C，直线l平分圆C即直线l过圆C的圆心，将圆心坐标（1，2）代入直线l的方程得m（1＋2＋1）＋2－1＝0，得m＝－，C正确.对于D，记直线l被圆C截得的弦的长为t，圆心（1，2）到直线l的距离为d，圆C的半径为r，根据弦长、半径与圆心到直线的距离之间的关系，得（）2＝r2－d2＝9－d2.又d2≤，所以t≥，D错误.故选B、C. 跟踪训练 1.D　将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得（x＋m）2＋y2＝1，即圆心为（－m，0），半径为1.圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为（0，2），半径为2.因为圆x2＋（y－2）2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或外离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈（－∞，－]∪[，＋∞）.故选D. 2.A　如图， 由圆的切点弦方程可知，切点弦AB的方程为x0x＋y0y－4·－5＝0.又P（－1，3），∴－1·x＋3y－4×－5＝0，即x－y＋1＝0.取AB中点H，连接CH，AC，则CH⊥AB，将圆C的方程化成标准方程，得（x－2）2＋y2＝9，圆心C（2，0），半径r＝3，∴B（－1，0），∴PB⊥x轴，直线x＝－1为圆的一条切线.设直线AB的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tan α＝，∴α＝.在Rt△CHB中，∠BCH＝，∴∠ACB＝2∠BCH＝.劣弧＝×3＝2π. 3.A　根据题意，设点P（x，y），由＝3可得Q（，），又点Q在圆x2＋（y－1）2＝1上，可得（）2＋（－1）2＝1，即x2＋（y－3）2＝9，所以点P既在直线y＝k（x－3）上，又在以（0，3）为圆心，半径为3的圆x2＋（y－3）2＝9上，即直线和圆有公共点，所以圆心到直线距离d＝≤3，解得－≤k≤0，所以实数k的最大值为0.故选A. 【例4】　C　设P（x，y），则＝（－x，－y），＝（2－x，4－y），由·＝－1，得－x（2－x）－y（4－y）＝－1，即x2＋y2－2x－4y＋1＝0，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以点P的轨迹是以C（1，2）为圆心，半径r＝2的圆.因为点B（－2，－4），所以kOB＝kOC＝2，所以O，B，C三点共线，且点O在B，C之间，则∠PBO＝∠PBC，所以当直线PB与圆C相切时，∠PBC最大，即tan∠PBC取最大值.｜BC｜＝＝3，当PB与圆C相切时，｜PB｜＝＝＝，所以（tan∠PBC）max＝＝＝，故选C. 跟踪训练 　A　由题意知A（－2，0），C（2，0），设P（x，y），则由｜PA｜＝｜PT｜，得｜PA｜2＝2｜PT｜2＝2（｜PC｜2－2），故（x＋2）2＋y2＝2[（x－2）2＋y2－2]，化简得（x－6）2＋y2＝36，所以满足｜PA｜＝｜PT｜的点P在以（6，0）为圆心，6为半径的圆上.由题意知，直线y＝k（x＋2）与圆（x－6）2＋y2＝36有公共点，所以d＝≤6，解得－≤k≤. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲　小题研透——直线与圆 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 直线的方程及圆的方程 考查重点是直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题，直线和圆相结合，求圆的方程或弦长、面积等，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等 直线（圆）与圆的位置关系 与圆有关的最值问题 对称问题 二、真题感悟 1.（2024·北京高考3题）（点到直线的距离）圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为（　　） A. B.2 C.3 D.3 2.（2024·全国甲卷理12题）（直线与圆的位置关系及弦长问题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　） A.1 B.2 C.4 D.2 3.（2023·新高考Ⅰ卷6题）（直线与圆相切）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　） A.1 B. C. D. 4.（2022·新高考Ⅱ卷15题）（对称问题、直线与圆的位置关系）设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是　　　　. 重｜难｜排｜查 1.两条直线平行与垂直的判定 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为零），直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为零），则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 易错提醒　直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形.在设直线方程时，如果是点斜式或斜截式时需要讨论斜率是否存在. 2.圆的方程 （1）标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心为（a，b），半径为r； （2）一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），圆心为（－，－），半径为r＝. 3.直线与圆相切问题 （1）过圆x2＋y2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2； （2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2； （3）过圆x2＋y2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2； （4）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2； （5）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）外一点P（x0，y0）引圆的切线，切点为T，则｜PT｜＝； （6）若圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则过圆外一点P（x0，y0）的切线长d＝. 直线的方程 【例1】　（1）（2024·广东六校联考）已知直线l经过直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量v＝（－3，2），则直线l的方程是（　　） A.3x－2y－1＝0 B.3x－2y＋1＝0 C.2x＋3y－5＝0 D.2x－3y＋1＝0 （2）（2024·扬州高邮调研）已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为（　　） A. B.2 C. D.2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2均存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.解决两类对称问题的关键 一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点所连线段的中点在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如（1，3）关于y＝x＋1的对称点为（3－1，1＋1），即（2，2）. 1.过两直线x＋y－3＝0，2x－y＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0垂直的直线方程为（　　） A.3x＋y＋5＝0 B.x－3y－5＝0 C.3x＋y－5＝0 D.x－3y＋5＝0 2.（2024·盐城射阳中学学情检测）两条平行直线l1：x－2y＋1＝0与l2：2x＋my＋2m＝0之间的距离为　　　　. 圆的方程 【例2】　（2024·郑州名校联盟）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为x＋y－2＝0，且｜BC｜＝2，△ABC的垂心G（2，2）在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 求圆的方程的2种方法 （1）几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程； （2）代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程. 1.（2024·深圳宝安中学期中）由曲线x2＋y2＝2｜x｜＋2y围成的图形的面积为（　　） A.2π　 　B.3π C.2π＋3　　D.3π＋2 2.（多选）（2024·贵州一模）已知点P（4m＋3，－3m－4）， 点Q在圆C：（x－1）2＋y2＝1上，则（　　） A.点P在直线3x＋4y＋7＝0上 B.点P可能在圆C上 C.｜PQ｜的最小值为1 D.圆C上有2个点到点P的距离为1 直线（圆）与圆的位置关系 【例3】　（1）已知圆C1：（x＋2）2＋（y－3）2＝5与圆C2相交于A（0，2），B（－1，1）两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为（　　） A.（x－1）2＋y2＝5 B.（x－1）2＋y2＝ C.（x－）2＋（y－）2＝5 D.（x－）2＋（y－）2＝ （2）（多选）（2024·贵阳适应性考试）已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝9，直线l：m（x＋y＋1）＋y－x＝0，m∈R，则下列说法正确的是（　　） A.直线l过定点（－1，－1） B.直线l与圆C一定相交 C.若直线l平分圆C，则m＝－ D.直线l被圆C截得的最短弦的长度为 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 直线（圆）与圆的位置关系的解题思路 （1）数形结合：讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量； （2）巧用垂直：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线与斜率的等式，求切线方程一般选择点斜式； （3）弦长公式：将弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2（其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离）. 1.圆x2＋（y－2）2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，－] B.[，＋∞） C.[－，] D.（－∞，－]∪[，＋∞） 2.（2024·贵阳质监）过点P（－1，3）作圆C：x2＋y2－4x－5＝0的两条切线，切点分别为A，B，则劣弧的长度是（　　） A.2π B. C. D.π 3.（2024·苏州3月适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k（x－3）上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最大值为（　　） A.0 B.3 C.－ D. 隐圆问题 【例4】　（2024·郑州第二次质量预测）在平面直角坐标系xOy中，设A（2，4），B（－2，－4），动点P满足·＝－1，则tan∠PBO的最大值为（　　） A. B. C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 感悟提升 发现隐圆的主要方法 （1）由定义可以判断（动点到定点的距离为定值）； （2）由两定点A，B，动点P满足·＝λ（λ是常数），求出点P的轨迹方程确定圆； （3）由两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2是定值，确定圆； （4）由两定点A，B，动点P满足＝λ（λ＞0，λ≠1），确定圆（阿波罗尼斯圆）. 已知圆C：（x－2）2＋y2＝2，直线l：y＝k（x＋2）与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若｜PA｜＝｜PT｜，则实数k的取值范围是（　　） A.［－，］ B.［－，］ C.［－，］ D.［－，］ 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $