专题4 培优点2 立体几何中的截面与交线问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点2　立体几何中的截面与交线问题 【例1】　C　易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A、D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在这两个面上的切点，所以C正确. 【例2】　　解析： 根据题意作图，如图所示，过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2.因为长方体对面平行，所以截面BFD1E为平行四边形，则＝2＝2×BD1·h＝2h，当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝，（）min＝2×＝.故四边形BFD1E面积的最小值为. 跟踪训练 1.D　 如图，取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G.由题意得GH∥EF，AH∥A1F，又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF.所以GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF，又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，所以平面AHGD1∥平面A1EF，故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形. 2.［π，］　解析： 正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心O为上、下底面的外接圆圆心的连线O1O2的中点，连接AO2，AO，OD，如图所示，设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r＝AO2＝，则R2＝r2＋1＝.①当过点D的平面过球心时，截得的截面圆最大，截面圆的半径即为球的半径，所以截面圆的面积最大为πR2＝；②当过点D的平面垂直OD时，截面圆的面积最小，该截面圆的直径为AB，即半径为＝1，所以截面圆的面积最小为π·12＝π，综上，截面面积的取值范围为［π，］. 【例3】　　解析： 由题设，将三棱锥P-ABC补全为棱长为2的正方体，O为底面中心，如图所示，若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，即D，F在以P为球心，4为半径的球面上，又OA＝＞2，OP＝3＞4，所以平面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为π；平面PBC与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为；平面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为.所以最长弧的弧长为. 跟踪训练 　C　 取PB的中点J，连接MJ，JN，由题意可得QN∥AB，QN＝AB，又因为MJ∥AB，MJ＝AB，所以MJ∥QN，MJ＝QN，所以四边形MJNQ是平行四边形，所以MQ∥JN，所以M，J，N，Q四点共面，所以平面MQN与平面PBC的交线l即为JN，直线QD与直线l所成的角即为直线QD与直线MQ所成的角，即为∠MQD，因为正三棱锥P-ABC中，PA＝6，BC＝6，所以PA＝PB＝PC＝6，AB＝AC＝BC＝6，所以QD＝MQ＝3，MD＝3，cos∠MQD＝＝＝，所以sin∠MQD＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点2　立体几何中的截面与交线问题 　　在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等），得到的平面图形，研究截面的形状及内含的数量关系，首先要确定交线.截面与交线问题是深层次考查学生直观想象及数学建模等核心素养的题型，它渗透了线、面等元素.求截面与交线问题，一是可用平面几何图形的性质，如解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用坐标法或向量运算求解. 截面问题 考向1　截面形状的确定 【例1】　一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（　　） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 立体几何中的截面类型 （1）平面截球：圆面； （2）平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形； （3）平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形； （4）平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线（单支）、抛物线. 考向2　与截面有关的计算问题 【例2】　已知长方体ABCD-A1B1C1D1的高为，两个底面均为边长为1的正方形，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 常见截面的应用 　　应用几何体中的截面可将空间问题转化为平面问题解决，由于所截几何体的位置、角度不同，大致可分为轴截面、直（斜）截面、平行于底面的截面等，通过截面将几何体中的底边长、侧棱、高、斜高、球的半径、截面圆半径等几何元素纳入到同一个平面几何图形中求解，也可利用几何体中的某些已知量求截面的面积与周长（注意交线为弧时圆的性质的应用）. 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点.则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为（　　） A.矩形 B.三角形 C.正方形 D.等腰梯形 2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，D为棱AB的中点，则过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为　　　　. 交线问题 【例3】　已知三棱锥P-ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 处理两面交线问题的方法 　　一要明确两面的类型，是平面还是曲面；二要判断哪些面之间相交，交线是直线还是曲线.若截面与多面体相交，可用线面交点法找棱线与截面的交点，再作连接两交点的线段；若截面与旋转体相交，则可用面面交线法找相交的曲线段.其中曲线段的端点一定是某一母线与截面的交点，曲线段为圆锥曲线的一部分. 　在正三棱锥P-ABC中，PA＝6，BC＝6，M，N，Q，D分别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $