专题3 培优点2 子数列问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点2　子数列问题 　　子数列问题包括数列中的奇偶项问题、两数列的公共项与并项问题，增、减项问题，是近几年高考的重点和热点，解题的一般方法是构造新数列，利用新数列的特征（等差、等比或其他数列特征）求解原数列. 数列中的奇偶项问题 【例1】　已知数列{an}满足a1＋a3＝2a2，an＋1＝数列{cn}满足cn＝a2n－1. （1）求数列{cn}和{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn. 感悟提升 1.数列中的奇、偶项问题的常见题型 （1）数列中连续两项和或积的问题（an＋an＋1＝f（n）或an·an＋1＝f（n））； （2）含有（－1）n的问题； （3）含有{a2n}，{a2n－1}的问题； （4）已知条件明确的奇偶项问题. 2.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 　（2024·安康模拟）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋2a3＝13，S6＝36. （1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＝（－1）nan＋[（－1）n＋1]2n，求{bn}的前2n项和T2n. 两数列的公共项与并项问题 【例2】　（1）若数列{4n－3}和{3n}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元素按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列{cn}，则c1＋c2＋c3＋…＋c20＝　　　　； （2）（2024·四川名校联考）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，将数列{an}与数列{2n－1}的公共项从小到大依次排列得到数列{bn}，Tn为数列{an·bn}的前n项和，则Tn＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项是等比数列. 2.解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确找出两个数列的公共项. 　已知an＝，bn＝，n∈N*，将数列{an}与数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排列，组成一个新数列{cn}，则数列{cn}的前99项和为　　　　. 数列中的增、减项问题 【例3】　（2024·滨州二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25. （1）求{an}的通项公式； （2）保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1（k＝1，2，…）之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150. 感悟提升 　　解决此类问题的关键是通过阅读理解题意，要弄清楚增加了（减少了）多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相减）即可. 　已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8. （1）求{bn}与{an}的通项公式； （2）若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 培优点2子数列问题 3an,n为奇数， 【例1】解： (1)由an+1= an+2,n为偶数， 得a2=3a1,a3=a2十2=3a1+2, 因为a1十3=2a2,即a十3a1+2=6a1, 解得a1=1, 由Cn=a2n-1,得C1=a1=1,Cn+1=Q2m+1 又a2k=3a2k-1,a2k+1=a2k+2,k∈N, 故a2k+1=3a2k-1+2,所以Ck+1=3Ck十2，即cn+1=3Cn十2， 所以cn+1十1=3(cn+1), 又c1+1=2,所以数列{cn十1}是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以cn十1=23”-1，所以cn=23n-1-1, 则a2m-1=23”-1-1,故a2m=3a2m-1=23”-3, n-1 232-1,n为奇数， 所以an= 232-3,n为偶数， (2)当n为偶数时，Sn=(a1十a3十…十an-1)+（a2十a4十…十an)=4(a1十a3+… +a-)=4(a+a+…+g)=4x[2(1-32)-21-432-2n-4: 2 1-3 当n为奇数时，S=5+1-a+1=43宁-2(n+1）-4-(23空-3)=23”-2n- 3, 综上所述， n 432-2n-4,n为偶数， Sn n+1 232-2n-3,n为奇数. 跟踪训练 解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 由a2十2a3=13,S6=36, 3a1+5d=13, a1=1, 得6a+622d=36,解得7 d=2, 所以am=2n-1. (2)由(1)得bn=(-1)m(2n-1)+[(-1)"+1]2", 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 当n为奇数时，bn=(-1)n(2n-1)十[(-1)n+1]2"=-(2n-1), 当n为偶数时，bn=(-1)"(2n-1)+[(-1)"+1]2"=(2n-1)+2"+1, 所以Tn=(a2-a)+(a4-a3)+…+(a2m-a2m-1)十(23+25+…+22m+1)=2n十 23(1-40)=23-8+2. 1-4 3 【例2】(1)660(2)(n-1)·2+2+4 解析：（1)设an=4n-3,bn=3”,a20=77,令bn<77,则n=1,2,3,所以b1= 3,b2=9,b3=27.在新数列{cm}的前20项中，因为a3=9与b2=9为公共项，所以前 20项为数列{an}中的18项以及b1,b3.故T20=a1+a2十a3十…十a18十b1十b3=18×1+ 18×17 2 ×4+3+27=660. (2)由题意知，数列{an}的前n项和Sn=n2十n,当n=1时，a1=2;当n≥2时，an= Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+n-1]=2n.a1=2也满足an=2n,所以an=2n,n∈N*, 所以数列{an}的各项为2,4,6,8,10，…，又数列{2n-}的各项为 1,2,4,8,16,…,数列{an}与数列{2”-}的公共项从小到大依次排列得到数列 {bn},所以bn=2”,所以ambn=n2+1,所以Tn=1×22+2X23+3X24+…+n×2m+1 ①，2Tn=1X23+2X24+…十(n-1)×2+1十nX2+2②，则①-②得，-Tm=(22 十2+2+…+2*)-nX2+:-2×(12）-mX22=（1-）X2-4,则 1-2 Tn=(n-1)2+2+4. 跟踪训练 99 199 解析：因为数列{2n一1}是正奇数数列，对于数列{(n十1)2-1}，当n为奇 数时，(n十1)2-1为奇数，当n为偶数时，(n十1)2-1为偶数，所以数列{2n一1} 与{(n十1)2-1}的公共项为奇数，令n=2k-1(k∈N*),则(n十1)2-1=42- 1 1 1,故cm= n64n2-12n-2之221，所 1 99 199 【例3】解：(1)因为{an}为等差数列，则S=5a3=25,即a3=5, 可得d=a4-a3=2,a=a-2d=1, 所以an=1+2(n-1)=2n-1. (2)因为在ak与a+1(k=1,2,…)之间插入2-1个3， 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 可知（k≥2)在数列{b}中对应的项数为n=k+2”+2+十2=k+1一2- -=2 1-2 -1+k-1, 当k=8时，则n=27+7=135, 即a8=b135: 当k=9时，则n=28+8=264, 即a=b264; 由题意可知：b136=b137=…=b150=3, 所以10=5+3（150-8)=8(1+15）十426=490. 2 跟踪训练 解：(1)Sn=n2+n,.当n≥2且n∈N时，bn=Sm-Sm-1=2n. 又b1=S1=2也符合上式，∴.bn=2n. ,'a1=b1=2,a4=b8=16, .等比数列{an}的公比为2， ∴.an=2" (2),41=2,a2=4,a3=8,a4=16,a5=32,b25=50, ∴.c1+c2+…+c20=(b1十b2十…+b25)-(a1+a2+…+a5)=S25-(2+22+…+ 29）=25+25-2(1二2）-650-62-58 1-2 独家授权侵权必究