专题3 培优点1 数列的递推关系-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点1　数列的递推关系 　　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用. 利用an与Sn的关系 【例1】　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4an－3，则Sn＝（　　） A.4［（）n－1］ B.4［（）n－1］ C.3［（）n－1］ D.4（3n－1） （2）（多选）已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和.则下列四个结论中正确的是（　　） A.a1＝2 B.数列{an}的通项公式为an＝ C.S3＝ D.数列{an}为递减数列 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 涉及Sn与an关系问题的求解思路 　　根据所求结果的不同要求，将问题向不同的方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 1.数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），若{an}是递增数列，则λ的取值范围为（　　） A.（0，＋∞） B.（，＋∞） C.（1，＋∞） D.（－，＋∞） 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且5an＋1＋Sn＋16＝0.则an＝　　　　. 构造辅助数列 【例2】　（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a7＝　　　　； （2）已知数列{an}满足a1＝1，＝10an（an＞0），则an＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.求形如an＋1＝pan＋q（p≠1）的递推公式的通项，可采用以下两种方法： （1）待定系数法：设an－λ＝p（an－1－λ），用待定系数法可求出λ＝，进而构造新的等比数列{an－λ}，求出通项.其中λ为方程λ＝pλ＋q的解； （2）由an＋1＝pan＋q及an＝pan－1＋q，两式相减得an＋1－an＝p（an－an－1），所以{an＋1－an}是首项为a2－a1，公比为p的等比数列，先求an＋1－an，再求an. 2.形如an＋1＝pan＋q（n）（p≠1）的递归式，等号两边同除以pn＋1，得＝＋，令bn＝，得bn＋1＝bn＋，先求bn，再求an. 3.形如an＋1＝p（p＞0，an＞0）的递归式，等号两边取对数有lg an＋1＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，则bn＋1＝qbn＋lg p，同上得bn，再求an. 1.数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋1－2Sn＝1－n，且S1＝3，则数列{an}的通项公式是　　　　. 2.数列{an}满足an＝an＋1－，且a1＝，若an＜，则n的最小值为　　　　. 累加、累乘法 【例3】　（1）已知数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝2，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝（　　） A.2n－3 B.3n－2 C.－2n＋3 D.3n＋2 （2）（2024·太原高三年级模拟考试）已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足S1＝2，3Sn＝（n＋2）an，则Sn＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.an－an－1＝f（n）型，可用“累加法”求an，即an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1. 2.＝f（n）型，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1. 　设数列{an}是首项为1的正项数列，且（n＋1）－n＋an＋1·an＝0，则它的通项公式an＝（　　） A. B. C.n D.n2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点1　数列的递推关系 【例1】　（1）C　（2）ACD　解析：（1）当n＝1时，S1＝4a1－3，得a1＝S1＝1，当n≥2时，Sn＝4（Sn－Sn－1）－3，化简得Sn＝Sn－1＋1，即Sn＋3＝（Sn－1＋3）（n≥2），又S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为的等比数列，所以Sn＋3＝4×（）n－1，所以Sn＝4×（）n－1－3＝3［（）n－1］，故选C. （2）对于A，令n＝1，则a1＝2×1＝2，所以A正确；对于B，当n≥2时，由a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，得a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1＝2n－2，两式相减得（2n－1）an＝2，所以an＝，a1＝2满足此式，所以an＝，所以B错误；对于C，因为an＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝2＋＋＝，所以C正确；对于D，因为an＋1－an＝－＝2（－）＝＜0（n∈N*），所以an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列，所以D正确. 跟踪训练 1.B　∵数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝λn2＋2n＋1（λ∈R），∴a1＝λ＋3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λn2＋2n＋1－[λ（n－1）2＋2（n－1）＋1]＝2λn－λ＋2，∴a2＝3λ＋2.显然，从第二项开始，{an}是以2λ为公差的等差数列.又{an}是递增数列，∴2λ＞0，且a2－a1＝2λ－1＞0，得λ＞，故选B. 2.－4·（）n　解析：当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－，由5an＋1＋Sn＋16＝0　①，得5an＋Sn－1＋16＝0（n≥2）　②，①－②得5an＋1＝4an（n≥2），∵a2＝－≠0，∴an≠0，∴＝（n≥2），又＝，∴{an}是首项为－，公比为的等比数列，∴an＝－·（）n－1＝－4·（）n. 【例2】　（1）　（2）10×（ 解析：（1）易知an≠0，由an＋1＝，得＝＋，所以是首项为1，公差为的等差数列，所以＝＋（n－1）×＝，an＝，所以a7＝. （2）等式两边取以10为底的对数可得2lg an＋1＝lg an＋1，即lg an＋1－1＝（lg an－1），所以数列{lg an－1}是以lg a1－1＝－1为首项，为公比的等比数列，所以lg an－1＝（－1）×（）n－1＝－（）n－1，即lg an＝1－（）n－1，即an＝10×（. 跟踪训练 1.an＝　解析：∵Sn＋1－2Sn＝1－n，∴Sn＋1－（n＋1）＝2（Sn－n），且S1－1＝2≠0，∴＝2，∴{Sn－n}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴Sn－n＝2·2n－1＝2n，Sn＝n＋2n.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋2n－（n－1＋2n－1）＝2n－1＋1，又a1＝3不满足上式，∴an＝ 2.4　解析：数列{an}满足an＝an＋1－，即an＋1－an＝，两边同时除以可得－＝1，又a1＝，所以数列是等差数列，其首项为1，公差为1，所以＝1＋（n－1）×1＝n，所以an＝n·.令an＜，即n·＜，当n＝1，2，3时，an＞；当n＝4时，4×＝＜；n≥5时，n·（）n＜，所以使an＜的n的最小值为4. 【例3】　（1）B　（2） 解析：（1）nan＋1－（n＋1）an＝2，两边同除n（n＋1）得－＝＝2（－），所以－a1＝2（1－＋－＋…＋－），即－a1＝2（1－），化简得an＝（2＋a1）n－2，因为a1＝1，所以an＝3n－2. （2）因为3Sn＝（n＋2）an，则当n≥2时，3Sn＝（n＋2）（Sn－Sn－1），化简得（n－1）Sn＝（n＋2）Sn－1，即＝，所以当n≥2时，······…·＝××××××…×，即＝.因为S1＝2，所以Sn＝，当n＝1时也成立. 跟踪训练 　B　由（n＋1）－n＋an＋1·an＝0，则[（n＋1）an＋1－nan]（an＋1＋an）＝0，又数列{an}为正项数列，即an＞0，且a1＝1，所以（n＋1）an＋1－nan＝0，即＝，所以an＝··…··a1＝××…××1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $