专题3 第2讲 大题专攻——数列中的综合问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第2讲　大题专攻——数列中的综合问题 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 等差、等比数列基本量的计算 解答题会考查等差、等比数列的判定与证明，数列求和等问题，注意与不等式的交汇考查 等差、等比数列的判定及应用 数列通项及求和的综合问题 二、真题感悟 1.（2023·新高考Ⅰ卷20题）（等差数列基本量的计算）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. （1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； （2）若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 2.（2024·全国甲卷理18题）（数列求和）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝（－1）n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 重｜难｜排｜查 1.等差、等比数列的判断与证明 方法 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q（q≠0，an≠0） 通项公式法 an＝a1＋（n－1）d an＝a1·qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1（n≥2） ＝an－1an＋1（n≥2，an≠0） 前n项和法 Sn＝an2＋bn （a，b为常数） Sn＝kqn－k （k≠0，q≠0，1） 2.数列求和的常用方法 （1）公式法；（2）分组求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项相消法. 3.常见的裂项技巧 （1）＝－； （2）＝； （3）＝； （4）＝－. 数列的判断与证明 【例1】　（2024·扬州第二次调研）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－4an＋1，a1＝－1. （1）证明：数列{2an＋1－an}为等比数列； （2）求数列{an}的前n项和. 感悟提升 证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法 （1）证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an（n∈N*）为一常数； ②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1（n≥2）. （2）证明数列{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明（n∈N*）为一非零常数； ②利用等比中项，即证明＝an－1an＋1（n≥2）. 提醒　证明{an}不是等差（比）数列可用特值法. 　（2024·辽宁二模）如果数列{xn}，{yn}，其中yn∈Z，对任意正整数n都有｜xn－yn｜＜，则称数列{yn}为数列{xn}的“接近数列”.已知数列{bn}为数列{an}的“接近数列”. （1）若an＝2n＋（n∈N*），求b1，b2，b3的值； （2）若数列{an}是等差数列，且公差为d（d∈Z），求证：数列{bn}是等差数列. 数列求和 考向1　分组转化法求和 【例2】　已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝2，－2an＋1＝＋2an. （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝（－1）nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20. 感悟提升 1.分组转化法求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差（等比）数列或可求前n项和的数列求和. 2.分组转化法求和的常见类型 考向2　裂项相消法求和 【例3】　（2024·温州高三统一测试）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6－a3＝56，S6－S3＝112. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 感悟提升 裂项相消法求数列前n项和的策略 （1）基本步骤： （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 考向3　错位相减法求和 【例4】　在各项均为正数的数列{an}中，a1＝，且{2nan}是等差数列，{}是等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{an}的前n项和为Sn，证明：≤Sn＜2（n∈N*）. 感悟提升 错位相减法求数列{anbn}前n项和的策略 （1）适用条件：若{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn； （2）基本步骤： 　已知公差为正数的等差数列{an}中，a1，a4，a7＋12成等比数列，数列{an}的前n项和为Sn，满足S3＝15. （1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； （2）若　　　　，求数列{bn}的前n项和Tn. 在①bn＝＋，②bn＝，③bn＝（an－1）·2n－1这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第2讲大题专攻一数列中的综合问题 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.解：（1)3a2=3a1十a3,∴.3(a2-a1)=a3, ∴.3d=a1+2d,a1=d,则an=nd(d>1), b,=n+1 d S,=a+a十as=6d,I=b十b+b,=9 6d叶吕=21.整理得2-78计3=0， 即(2d-1)(d-3)=0,解得d=3或d=2 （舍去). ∴.an=3n,n∈N (2)若{bn}为等差数列， 则6+6，=26，即2+2=26 aa3 a21 整理得a1-3ad+2P=0. 解得a1=d或a=2d. 当a=d时，a,=d,b,=十n-_n+1 nd , w-2a+80婴子g =99 d 整理得50d-d-51=0, 郁得 50或d=-1(舍去)： 当a1=2d时，an=(n十1)d,bn= n2+nn (n+1)d d' 9 S9-T9=2 (2d+100a)- 991,99 2d d )=99. 整理得51P-d-50=0, 解得d= 50 57或d=1, 独家授权侵权必究 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 .d>1,∴.此时无解 综上可知，d=50 1 2.解：(1)因为4Sn=3an十4，① 所以当n≥2时，4Sm-1=3a,-1+4,② 则当n≥2时，①-②得4an=3an一3an-1,即an=-3an-1. 当n=1时，由4Sw=3an十4得4a1=3a1+4,所以a1=4≠0， 所以数列{an}是以4为首项，一3为公比的等比数列， 所以an=4×（-3)n-1. (2)法一（错位相减法）因为bn=（一1)n-lnan=（-1)-n4（-3)m-1=4n3” -1, 所以Tn=4X30+8×31+12×32+…+4n3-1, 所以3Tn=4×31+8×32+12×33+…+4n3", 两式相减得-21=4+4×(3+32+…+3)一4m3"=4+4×3(1-3”1) 1-3 4n3"=-2+（2-4n)3", 所以Tn=1+(2n-1)3”. 法二（裂项相消法）bn=(一1)n-1nan=(一1)”-n4(-3)m-1=4n3-1, 令bn=(kn+b)3"-[k(n-1)+b]3m-1, 则bn=(n+b)3"-[k(n-1)+b]3-1=3m-[3m+3b-k(n-1)-b]=(2m+ 2b+k)3"-, 2k=4, k=2, 所以2b十k=0,解得b=-1, 即bn=(2n-1)3”-[2(n-1)-1]3"-1=（2n-1)3"-（2n-3)3”-1, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=1×3-(-1)×30+3×32-1×31+5×33-3×32+ +(2n-1)3"-(2n-3)3"-1=(2n-1)3"-(-1)×30=(2n-1)3m+1. 【研透高考·攻重点】 【例1】解：(1)证明：Sn=an-4an+1,n∈N, 当n≥2时，Sm-1=am-1一4an, 两式相减得an=an一am-1一4an+1十4an, 即4an+1=4an一a-1,则有2(2an+1-an）=2an一an-1 独家授权侵权必究 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 当n=1时，S1=a1一4a2,则a2=0,即2a2-a1=1≠0， 所以数列{2an+1一an}是以1为首项， 为公比的等比数列。 1 (2）由(1)得，2a,+1-a,=2则2a,+12a,=l,所以数列2a是等差数 列， 于是2”-lan=n-2,解得an= n-2 2n-1 两2-4x1 2” 2n-1 跟踪训练 解：1)由题：令n=1,则1a,-b1< 即1骨61<宁故号名解吕 6 又b1∈Z,则b1=3, 同理可得b2=5,b3=7. 2)证明：由期底每1-A<号则a6<a+a-61<a+号 从而an+1-an-1<bn+1-bn<an+1一an+l, 即-1<bn+1-bn-d<1, 因为bn∈Z,d∈Z,所以bn+1一bn-d=0,即bn+1-bn=d,故数列{bn}是等差数列. 【例2】解：(1)因为a+1-2an+1=a+2a, 所以(a+1十an)(an+1-an-2)=0, 因为{an}是各项均为正数的数列，所以an+1一an=2, 所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以an=2n(n∈N). (2)法一bn=（-1)"an=(-1)".2n, 则bn十bn+1=(-1)n+12, 所以b1+b2+b3十…+b20 =(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b19十b20) 独家授权侵权必究 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 =2+2+.+2 =20. 10个 法二bn=(-1)”an=(-1)n-2n, 则b1+b2十b3+…+b20 =(b1+b3+…+b19)+(b2+b4+…+b20) =-2×(1+3+…+19)+2×(2+4+…+20) =-2×10x1+19）+2×10×(2+20） 2 2 =-200+220=20. 【例3】解：(1)设等比数列{a}的公比为g(q≠0)， 由题意可知，a6-a3=a3(g-1)=56,① S6-S=a4十a5+a6=a4(1+q+q)=a3q(1+q十q)=112, ② 显然g≠1，an≠0， 则②÷①得，9(1+g十q2) a3(q3-1) q-1=2, 解得g=2,将g=2代入①式得，3=8， 所以an=a3*g-3=8×2m-3=2”. (2)由(1)可知，a1=2,所以S=0,（1-g）=2×(1-2"）=21-2, 1-q 1-2 an 2" 1 11 所以6.S51(21-2(2m-2)2‘21-22-2 所以2[2222+2-222 1 1 1 1 1 1 )+( 24-225-2 )十…十 【例4】解：(1)对等差数列{2”an},其首项为2a1=1,设其公差为d,则2”an=1 1+(n-1)d +(n-1)d,即an= 2” 对等比数列，其首项为= 1=2设其公比为9，则= n 29,则a=29 独家授权侵权必究 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 分别令n=2,n=3, 1+d2 22 得1+2d=3q, 231 d=1, 1 解得 =1或 (舍去)， 91 6 (nEN'). 2)证明：=1×分+2x宁+3x分++n()，@ 2=1×(分+2×(++m-1)孕叶n(分，@ -2 1- 2*1-142 2n*1, 得5，=2-n+2 2· 图为0 2”>0,所以S,<2, 1 因为{an}各项均为正数，所以Sn≥S=a= 故8<2 跟踪训练 解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0), a2=a1(a2+12), 依题意，可得 a1+a2+a3=15, 独家授权侵权必究 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5ZXXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 则 (a+3d)2=a1(a1+6d+12), a1+d=5, a1=3, 解得 d=2, 数列{an}的通项公式为an=3十2(n一1)=2n十1. S=n(a,+a,）-n(3+2n+1) 2 2 =+2n- (2)选0b.=5+2, n 由(1)可知：an=2n+1,Sm=n2+2n, :,=S4+20=n+2n+21=n+2+2t, n ..Tn=b1+62+63++bn-1+6n -n(3+n*2）+2(1-4) 1-4 =n（n+5）+8(4-1) 2 3 1 选②bm=Sn' 由(1)可知：Sn=n2+2n. 、1 .Tm=b1+b2十b3+…+bn-1+bn x}骨x写子x兮专xn1中1 11) nn+2 1,111 311 1 3 2n+3 2 n1224 2nt1n24 2 Cn+D(0t2) 选③bn=（am-1)2-1, 由(1)可知：an=2n十1， .bn=(an-1)2-1=n2" 独家授权侵权必究 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 .Tm=b1+b2+b3+…十bm-1+bm=1×21+2X22+3×23+…+(n-1)2"-1+n2”, 则2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)2"+n2+1, 两式相减，得-Tw=2十22+23+…十2一n2n+1 =2(1-2") 1-2 -n-2+1=(1-n)2+1-2, ∴.Tm=(n-1)2+1+2. 独家授权侵权必究 独家授权侵权必究