专题2 培优点4 三角函数与解三角形中的最值（范围）问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点4　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 　　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题主要考查三角函数式、角、边长、周长及面积的最值（范围）问题，常利用三角函数的单调性（有界性）、基本不等式等求解. 三角函数中的最值（范围）问题 【例1】　已知函数f（x）＝（2sin x－cos x）·cos x＋sin2x. （1）设x∈（0，π），求不等式f（x）≤1的解集； （2）若当x∈［，］时，不等式m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围. 感悟提升 求三角函数式的最值（范围）问题的注意点 （1）把三角函数式正确地化简成单一函数形式； （2）根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式的范围. 　函数f（x）＝2sin（x＋）＋cos 2x的最大值为（　　） A.1＋　　B. C.2　　D.3 解三角形中的最值（范围）问题 【例2】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知（a＋b）（b－a）＝ab，且cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C. （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）求的取值范围. 感悟提升 解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤 （1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围； （2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； （3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝1，cos A＝. （1）求角B的大小； （2）如图，D为△ABC外一点，AB＝BD，∠ABC＝∠ABD，求的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点4　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 【例1】　解：（1）f（x）＝（2sin x－cos x）·cos x＋sin2x＝2sin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin（2x－）， 因为f（x）≤1，所以sin（2x－）≤， 所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 又x∈（0，π），所以f（x）≤1的解集为x｜0＜x≤或≤x＜π. （2）不等式m≥f（x）恒成立，等价于m≥f（x）max. 因为x∈［，］，所以≤2x－≤. 故当2x－＝，即x＝时，f（x）取得最大值，最大值为f（）＝2. 所以m≥2，即实数m的取值范围为[2，＋∞）. 跟踪训练 　B　f（x）＝2sin（x＋）＋cos 2x＝2sin（x＋）＋sin［2（x＋）］，令θ＝x＋，g（θ）＝2sin θ＋sin 2θ，所以g'（θ）＝2cos θ＋2cos 2θ＝2cos θ＋2（2cos2θ－1）＝4cos2θ＋2cos θ－2＝2（2cos θ－1）（cos θ＋1），因为cos θ＋1≥0恒成立，所以令2cos θ－1＞0，解得θ∈（2kπ－，2kπ＋）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递增，令2cos θ－1＜0，解得θ∈（2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递减，所以当θ＝2kπ＋（k∈Z）时，g（θ）取得最大值，所以g（θ）max＝g（）＝2×＋＝，即f（x）的最大值为.故选B. 【例2】　解：（1）证明：（a＋b）（b－a）＝ab，即b2－a2＝ab， ① 因为cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C，所以sin Asin B＝sin2C，由正弦定理得，×＝（）2， 其中R为△ABC外接圆的半径，所以ab＝c2， ② 由①②得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2， 所以△ABC是直角三角形. （2）由（1）知B＝，所以sin C＝sin（－A）＝cos A. 根据正弦定理，得＝ ＝sin A＋cos A＝sin（A＋）. 因为c＜b，所以ac＜ab＝c2，所以a＜c， 所以0＜A＜，所以＜A＋＜， 所以＜sin（A＋）＜1， 所以1＜sin（A＋）＜， 即＝＋1∈（2，1＋）. 所以的取值范围是（2，1＋）. 跟踪训练 　解：（1）因为a＝1，所以cos A＝， 由正弦定理＝＝， 可得cos A＝， 整理可得2sin Bcos A＝2sin C－sin A， 又因为sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A，化简可得sin A＝2sin Acos B， 而sin A≠0，则cos B＝，又B∈（0，π）， 则B＝. （2）在△BCD中，由＝可得sin∠CDB＝， 在△ABC中，由＝可得sin∠CAB＝，所以＝， 设AB＝BD＝t（t＞0），由余弦定理CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠CBD， AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos∠CBA， 可得CD2＝t2＋1＋t，AC2＝t2＋1－t， 因此＝＝1＋≤1＋＝3，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立， 所以的最大值为， 此时AB＝BD＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $