专题2 第1讲 小题研透——三角函数的图象与性质-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

专题二　三角函数与解三角形 第1讲　小题研透——三角函数的图象与性质 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.D　由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D. 2.BC　A选项，令f（x）＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f（x）零点，令g（x）＝sin（2x－）＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g（x）零点，显然f（x），g（x）零点不同，A选项错误；B选项，显然f（x）max＝g（x）max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f（x），g（x）的周期均为＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f（x）的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，g（x）的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝＋，k∈Z，显然f（x），g（x）图象的对称轴不同，D选项错误.故选B、C. 3.－　解析：由题图设点A（x1，），B（x2，），则｜AB｜＝x2－x1＝.由题图可知其中k∈Z，则ω（x2－x1）＝，解得ω＝4.因为函数f（x）的图象过点（，0），所以4×＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，所以f（x）＝sin（4x＋2kπ－）＝sin（4x－＋2kπ）＝sin（4x－），k∈Z.故f（π）＝sin（4π－）＝sin＝－. 【研透高考·攻重点】 【例1】　（1）B　（2）A　 解析：（1）法一　根据诱导公式有sin 310°＝cos（90°－310°）＝cos（－220°），cos 310°＝sin（90°－310°）＝sin（－220°），所以α＝－220°＋k·360°，k∈Z，又因为0°＜α＜360°，所以α＝－220°＋360°＝140°，故选B. 法二（排除法）　因为sin 310°＜0，cos 310°＞0，所以点A在第二象限，排除C、D；又因为cos 130°＝－sin 40°，sin 310°＝－sin 50°，排除A.故选B. （2）由cos α＝tan α＝，得cos2α＝sin α.又cos2α＋sin2α＝1，所以＋cos4α＝＋sin2α＝＋sin2α＝1＋sin α＋sin2α＝1＋cos2α＋sin2α＝2. 跟踪训练 　C　因为0＜α＜，所以－＜α－＜，又sin（α－）＝，所以cos（α－）＝＝，sin（－α）＝sin（＋－α）＝cos（－α）＝cos（α－）＝.故选C. 【例2】　（1）C　（2）ABD　解析：（1）因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C. （2）对于A，由题图可得，A＝2，最小正周期T＝2×（π－π）＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ）.由“五点作图法”知点（－，0）为第一个点，所以－×2＋φ＝0，所以φ＝.所以f（x）＝2sin（2x＋）＝2cos（2x－），故A正确；对于B，由f（x）＝2sin（2x＋）＞1可得sin（2x＋）＞，所以2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋（k∈Z），解得x∈（kπ，kπ＋）（k∈Z），故B正确；对于C，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得y＝2sin［2（x－）＋］＝2sin 2x的图象.由2x＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），而方程＋＝（k∈Z）无解，所以直线x＝不是该函数图象的对称轴，故C错误；对于D，因为f（－x）＝2sin（－2x＋）＝－2cos 2x＝g（x），所以函数f（x）与g（x）＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称，故D正确.综上所述，选A、B、D. 跟踪训练 1.C　将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得y＝f（x－）＝sin［ω（x－）＋φ］＝sin（ωx－ω＋φ）的图象，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin（x－ω＋φ）的图象，由于得到的函数的图象与y＝cos x图象重合，故ω＝2，－ω＋φ＝＋2kπ（k∈Z），所以φ＝＋2kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ＝，故选C. 2.A　由题图可知，A＝B＝2，∵f（0）＝2sin φ＋2＝3，∴sin φ＝.∵0＜φ＜π，且点（0，3）的横坐标x＝0在f（x）的一个递减区间内，∴φ＝.根据五点作图法可知，×ω＋＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x＋）＋2，f（φ）＝2sin（2×＋）＋2＝2sin＋2＝4，故选A. 【例3】　（1）AC　（2）　解析：（1）f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋）＝sin（2x＋π）＝－sin 2x.对于A，f（x－）＝－sin 2（x－）＝－sin（2x－）＝cos 2x，故函数f（x－）为偶函数，选项A正确；对于B，令2x＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故曲线y＝f（x）的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，选项B错误；对于C，令t＝2x，则当x∈（，）时，t＝2x∈（，π），因为y＝sin t在（，π）上单调递减，所以y＝－sin t在（，π）上单调递增，即f（x）在（，）上单调递增，故选项C正确；对于D，函数f（x）＝－sin 2x的最小值为－，故选项D错误.综上所述，选A、C. （2）因为函数f（x）＝2sin（3x＋φ）图象的对称轴为x＝，所以3×＋φ＝kπ＋（k∈Z），所以φ＝kπ－（k∈Z），因为－π＜φ＜0，所以k＝0，φ＝－，所以函数f（x）＝2sin（3x－），当x∈[0，t]时，3x－∈［－，3t－］，因为函数f（x）的最小值为－，所以－＜3t－≤，解得0＜t≤，所以t的最大值为. 跟踪训练 1.A　由f（x）的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f（x）＝sin（2x＋π）＝－sin 2x.当x∈［－，］时，2x∈［－，］，sin 2x∈［－，］，－sin 2x∈［－，］，所以f（x）min＝－，故选A. 2.［kπ－，kπ＋］（k∈Z） 解析：f（x）＝asin ax＋acos ax＋b＝asin（ax＋）＋b.因为a＞0，且函数f（x）的值域为[－1，3]，则解得所以f（x）＝2sin（2x＋）＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），因此，函数f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲　小题研透——三角函数的图象与性质 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 图象变换（三角函数图象的平移、伸缩变换） 主要以选择题、填空题的形式考查三角函数的图象变换及解析式，利用三角函数的性质求参数、最值、值域、单调区间及对称性，也可能出现在解答题的一问，难度中等偏下 图象识别（辨别函数图象、求解析式中参数值） 图象、性质应用（判断零点个数、解不等式、考查最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性等） 二、真题感悟 1.（2023·全国乙卷理6题）（三角函数的图象与性质）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 2.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷9题）（三角函数的图象与性质）对于函数f（x）＝sin 2x和g（x）＝sin（2x－），下列说法中正确的有（　　） A.f（x）与g（x）有相同的零点 B.f（x）与g（x）有相同的最大值 C.f（x）与g（x）有相同的最小正周期 D.f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴 3.（2023·新高考Ⅱ卷16题）（三角函数的图象与性质）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　　　. 重｜难｜排｜查 1.正弦、余弦、正切函数的单调性及对称性 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象的对称性 对称中心 （kπ，0），k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋ ，k∈Z 直线x＝kπ， k∈Z 无对称轴 单调性 单调递增区间：［2kπ－，2kπ＋ ］，k∈Z； 单调递减区间： ［2kπ＋，2kπ＋ ］，k∈Z 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z； 单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 单调递 增区间： （kπ－， kπ＋）， k∈Z； 无单调递 减区间 最值 当x＝2kπ－，k∈Z时，y取最小值－1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，y取最大值1 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，y取最小值－1；当x＝2kπ，k∈Z时，y取最大值1 无最值 易错提醒　y＝tan x在整个定义域内不单调. 2.三角函数图象的两种常见变换 （1）y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）； （2）y＝sin xy＝sin ωx y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）. 易错提醒　无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化. 3.与三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）； （3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）. 三角函数的定义与诱导公式 【例1】　（1）（2024·乌鲁木齐第二次质量监测）已知角α（0°＜α＜360°）的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边上A点坐标为（sin 310°，cos 310°），则α＝（　　） A.130° B.140° C.220° D.230° （2）（2024·湖北六校新高考联盟学校联考）若实数α满足cos α＝tan α，则＋cos4α＝（　　） A.2　　　　B. C.　　　　D.1 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 利用公式进行化简求值的策略 （1）利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤：去负—脱周—化锐； （2）利用同角三角函数的关系化简的原则：化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等. 　（2024·上饶清源学校段考）已知0＜α＜，且sin（α－）＝，则sin（－α）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 三角函数的图象与解析式 【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　） A.3　　　　B.4 C.6　　　　D.8 （2）（多选）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）＝2cos（2x－） B.满足f（x）＞1的x的取值范围为（kπ，kπ＋）（k∈Z） C.将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象的一条对称轴为直线x＝ D.函数f（x）与g（x）＝－2cos 2x的图象关于直线x＝对称 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 由“图”定“式”找“对应”的方法 　　求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）解析式的方法： （1）最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝； （2）T定ω：由周期的求解公式T＝，可得｜ω｜＝； （3）点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”. 提醒　由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象时，需平移个单位长度，而不是｜φ｜个单位长度. 1.设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与y＝cos x图象重合，则（　　） A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝ C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝ 2.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（x）的图象关于点（，2）中心对称，则f（φ）＝（　　） A.4　　　　B.3 C.2　　　　D.0 三角函数的性质及应用 【例3】　（1）（多选）（2024·九省联考）已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（　　） A.函数f（x－）为偶函数 B.曲线y＝f（x）的对称轴为直线x＝kπ，k∈Z C.f（x）在区间（，）上单调递增 D.f（x）的最小值为－2 （2）（2024·合肥第一次教学质量检测）已知函数f（x）＝2sin（3x＋φ）（－π＜φ＜0）图象的一条对称轴为x＝，当x∈[0，t]时，f（x）的最小值为－，则t的最大值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 研究三角函数性质的思路 （1）化简转化：将函数解析式进行化简，转化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，通过整体代换，结合正弦函数y＝sin x的性质求解； （2）三类问题： ①求单调区间：将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数的单调递增（减）区间，求出x的范围即为原函数的单调递增（减）区间； ②求函数在闭区间上的最值：先根据x所在的区间求出ωx＋φ的取值范围，再结合正弦函数的图象确定函数的最值； ③判断对称轴或对称中心：可根据对称轴经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是y＝Asin（ωx＋φ）的零点进行判断. 提醒　尽量把ω化成ω＞0的形式，避免出现错误. 1.（2024·天津高考7题）已知函数f（x）＝sin 3（ωx＋）的最小正周期为π，则f（x）在［－，］的最小值为（　　） A.－ B.－ C.0 D. 2.已知函数f（x）＝asin ax＋acos ax＋b（a＞0）的值域为[－1，3]，则f（x）的单调递增区间为　　　　. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $