专题1 第3讲 小题研透——平面向量-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

第3讲　小题研透——平面向量 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 平面向量的线性运算及基本定理（共线向量定理） 本部分以考查与平面向量基本定理有关的线性运算、向量数量积的运算、向量的夹角及模为主.单独命题时以选择、填空题考查，难度中等偏下，有时也在解答题中突出向量作为预备知识的工具作用，难度中等偏下 平面向量的数量积及其应用（平面向量的夹角（垂直）、模） 与向量有关的最值（范围）问题 二、真题感悟 1.（2022·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的线性运算）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　） A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 2.（2024·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的数量积及垂直）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A.－2　　B.－1 C.1　　D.2 3.（2022·新高考Ⅱ卷4题）（由平面向量的夹角求参数）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　） A.－6 B.－5 C.5 D.6 4.（2023·新高考Ⅱ卷13题）（求平面向量的模）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　. 重｜难｜排｜查 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.向量平行的坐标表示 （1）如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（b≠0），则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0； （2）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为（x2－x1）（y3－y1）－（x3－x1）（y2－y1）＝0. 3.向量数量积的应用 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）： （1）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0； （2）求解夹角问题，常利用夹角公式：cos θ＝＝（其中θ为a与b的夹角）； （3）求模长问题，常利用模长公式：｜a｜＝＝或｜｜＝. 易错提醒　找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视. 平面向量的线性运算 【例1】　（1）在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，M为BC的中点，则＝（　　） A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ （2）如图，BE，CD分别是△ABC的边AC，AB上的中线，BE与CD交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则x＋y＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.对平面向量加法运算抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法运算抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化. 2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比. 1.已知向量a＝（1，0），b＝（2，1）.若ka－b与a＋2b共线，则k＝　　　　；若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，则实数m的值为　　　　. 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋（b－2c）＋c＝0，则△ABC的形状为　　　　三角形. 平面向量的数量积运算 【例2】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　） A. B. C. D.1 （2）在菱形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC和CD的中点，且·＝4，则·＝（　　） A.1 B. C.2 D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 平面向量数量积问题的解题方法 （1）借“底”数字化：要先选取一组合适的基底（一般用已知的向量表示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解； （2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决. 　（2024·兰州市高三诊断考试）在等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则cos＜，＞＝　　　　. 平面向量中的最值（范围）问题 【例3】　（1）已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且＜a，c＞＝，若b2－8b·c＋15＝0，则｜a－b｜的最小值为　　　　； （2）（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　　　；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 平面向量中最值（范围）问题的求解思路 （1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值（范围）问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； （2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. 1.（2024·石家庄教学质量检测）在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是（　　） A.［－，－］ B.［－，］ C.［－，］ D.［－，－］ 2.（2024·湖南教研联盟第二次联考）设＝（1，0），＝（0，2），对满足条件｜－－｜＝2｜－｜的点C（x，y），O为坐标原点，｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则实数m的取值范围为（　　） A.（－∞，－7） B.[13，＋∞） C.（13，＋∞） D.（－∞，－7）∪[13，＋∞） 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　小题研透——平面向量 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.B　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 2.D　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D. 3.C　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 4.　解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝. 【研透高考·攻重点】 【例1】　（1）B　（2）　解析：（1） 如图，因为在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，所以AB∥CD，AD＝BC.因为M为BC的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋＋＝＋.故选B. （2）由题意知，点F是△ABC的重心，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝＋＝a＋b，∴x＝y＝，x＋y＝. 跟踪训练 1.－　　解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－.∵＝2a＋3b＝（8，3），＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴∥，即＝，解得m＝. 2.等边　解析：∵a＋（b－2c）＋c＝0，∴a＋（b－2c）＋c（－）＝0，即（a－c）＋（b－c）＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形. 【例2】　（1）B　（2）B　解析：（1）因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B. （2） 作出图形如图，选择一组不共线的向量，作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，所以·＝·（＋）＝·＋＝4，所以·＝2.所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝·＋－＝×2＝，故选B. 跟踪训练 　－　解析： 如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－. 【例3】　（1）－1　（2）　－ 解析：（1）由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝，∴｜a－b｜min＝－1＝－1. （2） 以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，1），所以＝（－，1），＝（－1，0），＝（0，1），因为＝λ＋μ，所以（－，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B（1，0），E（，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（≤a≤1），则G（，），所以＝（a，3－3a），＝（，），所以·＝a·＋（3－3a）·＝5a2－6a＋＝5（a－）2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－. 跟踪训练 1.A　 如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈［－，－］，故选A. 2.B　由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $