精品解析：上海市金山中学2026届高三上学期11月学科素养数学试题

2025-2026学年上海市金山中学高三年级上学期学科素养数学试卷 2025.11 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知全集， ，则________． 【答案】； 【解析】 【分析】根据集合的补集定义计算即可. 【详解】因为全集， ， 所以. 故答案为： 2. 已知数列是等差数列.若的值为__________. 【答案】2700 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式求出答案. 【详解】因为，根据公式， 可得. 故答案为：2700 3. 设随机变量的分布，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由分布列求随机变量的均值，再由均值的性质求. 【详解】由题意，， 所以. 故答案为：2 4. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式及常数项可得，进而写出常数项即可. 【详解】由题设，二项展开式通项为， 由第四项是常数项，即时，，故， 所以常数项为. 故答案为：160 5. 不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式解法即可求得结果. 【详解】等价于，即， 得到,解得：， 故不等式的解集为. 故答案为： 6. 函数的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 7. 如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】利用棱锥、棱柱的体积公式求、，即可得结果. 【详解】令，棱柱的高为， 由题意，， 所以. 故答案为： 8. 4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法.（用数字作答） 【答案】1440 【解析】 【分析】先确定甲的位置，再确定乙的位置，最后确定剩下两人的位置，最后再根据分步乘法原理即可得出答案. 【详解】因为甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐， 则甲、乙两人不能同时坐在1 与8位置或2 与7位置或3 与6位置或4 与5， 先确定甲的位置有种方法，再确定乙的位置有的位置，再确定余下两人的位置有种排法， 由分步乘法计数原理可得共有种不同的作法. 故答案为：. 9. 设且，满足，则的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用条件推得，将表示后转化为圆上的点到原点的距离即可. 【详解】设， 由可得，故得. 由，可得， 即复数对应的点在以点为圆心，半径为2的圆上. 所以， 代表点到原点距离的倍， 由图知点到原点距离的取值范围为， 即的取值范围为. 故答案为：. 10. 如图，相距米的，之间是一条小路（，可看作两条平行直线），为测量点到的距离（，在点的同侧），某研究小组在一侧东边选择点，作为测量起始位置，与交于点，从点出发向西走米到达，测得，继续向西走米到达点，与交于点，继续向西走米到达点，测得，则___. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的公式，可解出，再根据正弦定理可得出，再利用直角三角形的性质求解距离即可. 【详解】由题意知相距米的，之间是一条小路， 所以，，，， 所以，则， 在中根据正弦定理知，解得， 由，得到. 故答案为： 11. 抛物线的焦点为，准线为，A，B是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最小值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】设，，连接AF、BF，根据抛物线的定义及梯形中位线的性质，可得，根据余弦定理及基本不等式，可得，代入所求，即可得答案. 【详解】设，，连接AF、BF， 由抛物线定义，得，， 在梯形ABPQ中，，即， 在中，由余弦定理得，， 配方得，， 又∵，∴， 得到， 则，所以的最小值是1． 故答案为：1 12. 已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系取则，设，结合已知条件可得，，利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围. 【详解】解：因为，所以， 则，所以，于是有， 因为，所以 则如图所示，在平面直角坐标系中， 则，设， 因为，所以，则，即， 因为，所以 则，即，解得， 则 因为 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，，当时，，所以 故的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】根据已知条件,甲、乙能破译的概率分别是, 所以两人都成功破译的概率是. 故选:A. 14. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数的性质判断即可. 【详解】由，且，得，即充分性成立. 因为，所以，由，得，则，即必要性成立， 故“”是“”的充要条件. 故选：C 15. 设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设，则，根据复数的运算法则，可得，，根据是实数，结合复数的除法法则，化简可得，化简整理，代入所求，即可得答案. 【详解】由题意，设，则， ∴，， ∵是实数， ∴，即， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：A 16. 设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形的三边之间的关系得出相应不等式，再代入通项公式计算出符合题意的正整数即可. 【详解】∵长为，，的线段均能构成三角形， ∴， ① 当时，有，即， 又，∴，即恒成立； ② 当时，有，即， ∴，因为，易知随着的增大而增大，所以； 则有，整理可得， 结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及， 可知当，，不合题意； 当时，，当时，， 当时，，因此可得， ③ 当时，有，即， 当时，显然成立，当时，， 因为，易知随着的增大而增大，所以， 因此即可，即，所以； 结合数列的函数特性以及指数函数和一次函数增长速度不同，以及，可得， 综上可得 ∴满足条件的n有2个． 故选：B． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站播台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 挑战活动参与人数 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况. （1）从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； （2）从该校高一年级和高二年级中各随机选取2名学生，求这4名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； （3）假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 已知，当数据，，，，的方差最小时，写出，，的取值.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）或或. 【解析】 【分析】（1）根据题意找出符合题意的情况，利用古典概型即可求解； （2）由题可得高一、高二随机选取1名学生参与“徽设计”的概率，然后根据独立事件乘法公式可得. （3）先求出数据，，，，的平均数为8.2，进而结合方差的公式及特点求解即可. 【小问1详解】 设“从5项活动中随机选择1项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半”， 根据题意，5项活动中，参与的人数大于该校总人数的一半的有：史探秘，日海报，徽设计， 则． 【小问2详解】 从该校高一年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 从高二年级中随机选取1名学生参与“徽设计”的概率为， 设“从高一年级随机选取2名学生，高二年级随机选取2名学生，这4名学生中恰有2名学生参与徽设计”， 则． 【小问3详解】 由， 则数据，，，，的平均数为 ， 则数据，，，，的方差为 ， 则的值集中在8.2附近时方差最小，又，， 此时的值为（任意分配），此情况相对更集中，其他情况较分散， 则或或. 18. 如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的侧面积． 【答案】（1） ∵、分别为、的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 在中，，， 又，∴， ∵平面，平面，∴平面， 又∵，平面CMN，平面CMN， ∴平面平面PAB． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明面面平行，需根据判定定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明平面，平面； （2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥的三个侧面的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，平面，平面， 由（1）可知，∴、， ∵，，，， ∴，，， 由（1）可知， 在中，， ∴， 又， 在中，，∴边上的高， ∴， ∴三棱锥的侧面积. 19. 已知函数. （1）若存在极小值，且极小值为0，求； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据的情况分类讨论，求函数的极小值，令讨论单调性即可求解； （2）由恒成立，得，令，利用导数研究单调性求最小值即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，所以函数无极值， 当时，，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 令，所以， 由有，有， 所以在单调递增，在单调递减，且， 所以. 【小问2详解】 因为不等式恒成立，即，得， 即. 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 20. 已知双曲线． （1）求的离心率和实轴长； （2）设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与的直线、与双曲线交于两点，求的面积的取值范围； （3）过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和实轴定义直接求解； （2）设，，直线与双曲线联立后解得，同理解得，求出和，根据求出即可求解； （3）设切线方程为，与双曲线联立和化简得关于的方程，据此即可求解. 【小问1详解】 由题意，，则， ∴，． 【小问2详解】 设，， 则直线与双曲线联立后解得， 同理解得， 故，同理， 又由于，所以， 故S的取值范围为； 【小问3详解】 设切线方程为， 与双曲线联立后得， 由，得，且， 化简得关于k的方程，该方程也要有两个不同的实根， 于是根据，得到且， 故且，根据韦达定理， 得t的取值范围为． 21. 已知函数的定义域为，且，． （1），求A与； （2）证明：函数是偶函数且是周期函数； （3）若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明在区间上有个零点，且是等差数列． 【答案】（1），； （2） 由（1）得，， ，令，可得，即， 已知函数的定义域为， 函数为偶函数； 令，， ①， 把替换为得，②， 式①加②得， 把替换为得， ，即． 函数是一个周期为的周期函数． （3） 由(1)得，， 在中， 令，可得，解得， 在上是减函数， ，，故， 在上有且仅有一个零点． 在中， 令，则，解得． 在区间上有且仅有一个零点， 又是偶函数， 在上有且仅有一个零点， 在一个周期内有且仅有2个零点． ， 在内的零点为和， ，，， 对任意，在上有且仅有两个零点： ，． 在上有个零点： ，，，，…，，， 其中， 是等差数列． 【解析】 【分析】（1）利用已知递推式，运用赋值法结合三角函数性质计算求解； （2）利用已知递推式及（1）结论，运用函数奇偶性及周期性定义证明函数奇偶性及周期性； （3）利用已知递推式，运用赋值法结合零点存在定理及函数奇偶性求出函数在一个周期内的零点个数及位置，再利用函数周期性及等差数列的定义及性质证明结论． 【小问1详解】 ， 令，，可得， ，， ， ，解得． 由得，即，解得， ，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市金山中学高三年级上学期学科素养数学试卷 2025.11 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 已知全集， ，则________． 2. 已知数列是等差数列.若的值为__________. 3. 设随机变量的分布，则_________. 4. 在的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为________. 5. 不等式的解集是__________. 6. 函数的值域为___________． 7. 如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则______ 8. 4个人围坐在如图所示的8张椅子中的4张椅子上聚餐，其中甲、乙两人不能相对（如1 与8 叫做相对）而坐，共有__________种不同的坐法.（用数字作答） 9. 设且，满足，则的取值范围为__． 10. 如图，相距米的，之间是一条小路（，可看作两条平行直线），为测量点到的距离（，在点的同侧），某研究小组在一侧东边选择点，作为测量起始位置，与交于点，从点出发向西走米到达，测得，继续向西走米到达点，与交于点，继续向西走米到达点，测得，则___. 11. 抛物线的焦点为，准线为，A，B是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最小值是________． 12. 已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. 1 16. 设，数列，数列．设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无数个 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“站播台”、“史探秘”、“日海报”、“徽设计”、“帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动.为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表： 挑战活动参与人数 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 高一 80 45 55 75 45 高二 40 60 60 80 40 高三 15 50 40 20 30 通过样本估计该校全体学生参与活动的情况. （1）从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率； （2）从该校高一年级和高二年级中各随机选取2名学生，求这4名学生中恰有2名学生参与“徽设计”的概率； （3）假设高一某班参加挑战活动的情况如下： 挑战活动 站播台 史探秘 日海报 徽设计 帽设计 参与人数 7 9 已知，当数据，，，，的方差最小时，写出，，的取值.（结论不要求证明） 18. 如图所示，在四棱锥中，，，平面，，，设M、N分别为PD、AD的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的侧面积． 19. 已知函数. （1）若存在极小值，且极小值为0，求； （2）若不等式恒成立，求的取值范围. 20. 已知双曲线． （1）求的离心率和实轴长； （2）设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与的直线、与双曲线交于两点，求的面积的取值范围； （3）过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 21. 已知函数的定义域为，且，． （1），求A与； （2）证明：函数是偶函数且是周期函数； （3）若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明在区间上有个零点，且是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $