方法14 “1”的代换-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

方法14　“1”的代换 　　自然数1是人们最早用于计数的单位，数的发展从1开始.对于一些复杂的数学问题，直接解决有困难时，可尝试根据题目特点，对隐藏的“1”进行合理的数学变形，巧妙利用“1”变化多端的表达形式，或构造有关“1”的各类表达形式，突破题目的难点，从而解决问题. 【例1】　（“1”的代换）若tan θ＝－2，则＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　＝ ＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝＝＝＝. 训练1　已知＝2，则cos2α＋sin αcos α＝（　　） A. B. C. D.－ 解析：A　因为＝＝2，所以tan α＝，则cos2α＋sin αcos α＝＝＝.故选A. 【例2】　（“1”的转换）若a2＋b2＝c2＋d2＝1，且ac＋bd＝0，则ab＋cd＝0. 解析：设sin α＝a，cos α＝b，sin β＝c，cos β＝d.因为ac＋bd＝0，所以ac＋bd＝sin αsin β＋cos α·cos β＝cos（α－β）＝0.ab＋cd＝sin αcos α＋sin βcos β＝（sin 2α＋sin 2β）＝sin（α＋β）cos（α－β），因为cos（α－β）＝0，所以ab＋cd＝0. 训练2　已知2x2－xy＋y2＝1（x，y∈R），则x＋y的最大值为. 解析：联系已知条件，将“1”灵活转换，得（x＋y）2＝＝1＋∈［0，］，其中s＝3（）－1∈R.另外，分子、分母同除的过程中要考虑s＝0和x＝0的情况. 【例3】　（“1”的构造）已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，证明：＋＋≥0，并指出等号成立的条件. 证明：若xyz＝0，则不等式显然成立，且等号成立的条件为x＝y＝z＝0. 若xyz≠0，则可将原不等式变形为＋＋≥0， 构造“1”进行代换，得＋1＋＋1＋＋1≥3， 即＋＋＋＋＋≥3， 化简得＋＋≥3. 因为x＋y＋z＝0，故xy，yz，xz三个数中有且仅有一个正数，不妨设yz＞0， 则＋≥＝＞. 又＋－3＝≥0， 故原不等式成立，且等号成立的条件为x＝1，y＝z＝－. 训练3　已知对任意正实数x，y，z，xy＋yz＋xz＝1，确定M的最大值，使得＋＋≥M. 解：原不等式可变形为＋＋≥M， 因为x，y，z＞0， 可得（＋＋）（x＋yz＋y＋xz＋z＋xy）≥（x＋y＋z）2， 化简得＋＋≥＝， 当且仅当＝＝时等号成立，即x＝y＝z＝. 由（x＋y＋z）2≥3（yz＋xz＋xy）， 有x＋y＋z≥， 当且仅当x＝y＝z＝时成立. 下面证明函数f（u）＝（u≥3）单调递增. 事实上，令u＞v≥， f（u）＞f（v）⇔＞⇔u2v＋u2－uv2－v2＞0⇔（u－v）（uv＋u＋v）＞0⇔u－v＞0， 于是f（u）≥f（）＝. 故＋＋≥≥， 因此，Mmax＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $