方法13 累差累商-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

方法13　累差累商 　　所谓累差迭加法，是指由形如a1＝a，an－an －1＝f（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法；所谓累商迭乘法，是指由形如a1＝a，＝g（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法. 　　利用累差迭加法、累商迭乘法来求解数学问题时，若呈现的递推关系是不等式关系，也可以利用构造法解决.已知形如a1＝a，an＋1－an＜f（n）的递推关系，则an＜a＋f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）；已知形如a1＝a，＜g（n）的递推关系，则an＜ag（1）g（2）…g（n－1）. 【例1】　（构造等差型）已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2×3n＋1，a1＝3，求数列{an}的通项公式. 解：an＋1＝3an＋2×3n＋1两边同除以3n＋1，得＝＋＋， 则－＝＋，故当n≥2时， ＝（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋…＋（＋）＋＝＋（＋＋＋…＋）＋1＝＋＋1＝＋－， 则an＝×3n＋×3n－（n≥2）. 当n＝1时，也满足上式. 综上，an＝×3n＋×3n－. 训练1　设数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝（n∈N*），a1＝，则an＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由nan＋1－（n＋1）an＝，得－＝＝－.当n≥2时，－＝－，…，－＝－，由累差迭加法可得－a1＝－.因为a1＝，所以＝1－＝，所以an＝（n≥2）.当n＝1时，也满足上式.综上知an＝，故选C. 【例2】　（构造等比型）设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对于其中任意三个连续的项an－1，an，an＋1，都有an＝（n≥2），则{an}的通项公式an＝（　　） A.3－ B.3＋ C.3n＋2 D.3n－2 解析：A　当n≥2时，an＝，则2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1，（n＋1）·（an＋1－an）＝（n－1）（an－an－1），所以＝.设bn＝an＋1－an，即＝，则··…·＝··…·，得＝，所以bn＝b1.因为b1＝a2－a1＝1，所以bn＝（n≥2）.当n＝1时，也满足上式，所以bn＝.an＋1－an＝bn＝＝2（－）.（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝2（－＋－＋…＋1－）＝2（1－），即an－a1＝2（1－），则an＝3－（n≥2）.当n＝1时，也满足上式，所以an＝3－. 训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝，a1＝1，n∈N*，则{an}的通项公式为an＝（　　） A.n B.2n－1 C.3n－2 D.－2n＋3 解析：B　因为an＋1＝，所以（2n－1）an＋1＝4Sn－1　①，（2n－3）an＝4Sn－1－1（n≥2）　②， ①－②得（2n－1）an＋1－（2n－3）an＝4an，整理得＝（n≥2），则an＝···…···a1＝···…···1＝2n－1（n≥2）.当n＝1时，也满足上式.所以an＝2n－1，故选B. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $