方法11 倒置变换-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

方法11　倒置变换 　　所谓倒置变换，就是通过取倒数来改变代数式的结构，从而降低问题难度，简化解题过程，使较复杂的问题迎刃而解. 　　倒置变换的目的一般有三类：（1）将代数式转化为熟悉的式子，在解不等式时经常碰到；（2）均衡式子结构，在数列求通项时应用较多；（3）简化式子结构，经常应用于研究函数的性质. 　　在使用此方法时需注意以下两点：（1）考虑取倒数后分母是否可能为零，对于这种情况，先讨论取倒数前分子为零是否符合题意，当分子不为零时再取倒数；（2）考虑取倒数前后的式子是否等价，特别是不等式取倒数后，不等号是否要改变方向. 【例1】　（转为熟知）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），则满足an＞的n的最大值为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 解析：C　因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列.所以＝1＋4（n－1）＝4n－3，所以an＝，由an＞，即＞，即0＜4n－3＜37，解得＜n＜10，因为n∈N*，所以n的最大值为9.故选C. 训练1　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*，求数列{an}的通项公式. 解：由题意知an≠0，等式两边取倒数， 得＝＝＋1，即＋1＝2（＋1）， 所以数列{＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 即＋1＝2n，所以an＝. 【例2】　（转化结构）求函数y＝（x＞1）的值域. 解：由题意知x－1≠0. 将y＝两边取倒数，得＝， 令t＝x－1，t＞0，则＝＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝2时，等号成立， 得0＜y≤. 所以函数的值域为（0，］. 训练2　函数f（x）＝，x∈[0，2π]的值域为[－1，0]. 解析：由题f（x）＝＝＝ ＝ ， 当x＝时sin x＝1，即f（x）＝0；当x≠时sin x≠1，即－1≤sin x＜1，上式两边取倒数得到＝＝ －＝ －＝－.令则m2＋n2＝1（m≠1），因为表示圆m2＋n2＝1上（除点（1，0）外）的动点P（m，n）与定点Q（1，1）连线的斜率，所以≥0，即≥1，故≤－1，即－1≤f（x）＜0，综上f（x）的值域为[－1，0]. 【例3】　（简化结构）若关于x的方程kx2（x＋2）－｜x｜＝0有四个不同的实数根，求实数k的取值范围. 解：显然x＝0为方程的一个根. 当x≠0时，由kx2（x＋2）＝｜x｜约去｜x｜后，分离变量得k＝， 两边取倒数得＝（x＋2）｜x｜，根据函数y＝与y＝（x＋2）｜x｜（x≠0）的图象有三个交点， 可得0＜＜1，则k＞1. 故实数k的取值范围为（1，＋∞）. 训练3　若关于x的方程kx2（x＋4）＋｜x｜＝0有三个不同的实数根，则实数k＝－. 解析：显然x＝0为方程的一个根.当x≠0时，分离参数，约去｜x｜后取倒数，转化为函数y＝与y＝－（x＋4）｜x｜（x≠0）的图象有两个交点.数形结合可得＝－4，故k＝－. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $