方法6 整体考虑-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

方法6　整体考虑 　　整体考虑，就是对于一个数学问题，要着眼整体，胸怀全局.通过对局部与整体的对比、联想、分析，挖掘和发现局部与整体的内在联系，有目的、有意识地整体处理，从而简洁、高效地解决问题.整体考虑主要包括整体换元、整体复原、整体构造等. 【例1】　（整体换元）已知直线y＝kx＋4交椭圆＋y2＝1于M，N两点，O是坐标原点，且直线OM，ON的斜率k1，k2满足k1＋k2＝2，则该直线的方程为y＝－15x＋4. 解析：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组得＋y2＝（ ）2，整理并齐次化处理，可得15（ ）2＋2k（ ）＋4－k2＝0.显然该方程的两根就是k1＝，k2＝，所以＋＝－＝2，解得k＝－15，则所求直线方程为y＝－15x＋4. 训练1　已知＋＝1（a＞0，b＞0），则2a＋4b的最小值为1＋2. 解析：设则＋＝1（m＞0，n＞1），2a＋4b＝m＋3n－3.因为m＋3n＝（m＋3n）（ ＋）＝＋＋4≥4＋2，当且仅当m＝n＝＋1时等号成立，所以（2a＋4b）min＝1＋2. 【例2】　（整体复原）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（　　） A.8π B.4π C.2π D.π 解析：A　将“阿基米德多面体”补全为正方体，如图所示.则图中“阿基米德多面体”的两个顶点E，F分别为正方体两棱AB，BB1的中点，由题知EF＝，易知BE⊥BF，BE＝BF，可得BE＝BF＝1，所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即正方体ABCD-A1B1C1D1的棱切球，棱切球的直径为该正方体的面对角线长，为2，因此该多面体的外接球的半径为，所以其表面积为S＝4π×（）2＝8π.故选A. 训练2　如图，在四面体A-BCD中，AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则该四面体的外接球半径为. 解析：将四面体A-BCD补形，复原到长方体中，如图，设补形所得长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则解得x2＋y2＋z2＝77＝（2R外接球）2，所以外接球的半径为. 【例3】　（整体构造）若对任意实数x，恒有acos x＋bcos 2x＋1≥0成立，则（a＋b）max＝2. 解析：因为a＋b中a，b系数相同，不妨令cos x＝cos 2x＝2cos2x－1，于是取x＝π，则有（a＋b）·（ －）＋1≥0，即a＋b≤2；下面检验a＋b＝2是否能取到：当a＋b＝2时，acos x＋bcos 2x＋1＝2bcos2x＋（2－b）cos x＋1－b≥0恒成立，即b（2cos2x－cos x－1）＋2cos x＋1＝（2cos x＋1）·[b（cos x－1）＋1]≥0恒成立，故cos x＝＝－，解得b＝，a＝，此时对任意实数x，恒有acos x＋bcos 2x＋1≥0成立，所以（a＋b）max＝2. 训练3　已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an－（n∈N*），且0＜an≤.设数列{}的前n项和为Sn，证明：＜≤. 证明：因为an＋1＝an－，所以＝an－an＋1，Sn＝（a1－a2）＋（a2－a3）＋…＋（an－an＋1）＝a1－an＋1， 由an＋1＝an（1－an）知－＝. 因为0＜an≤，所以1＜－≤2，即n＜－≤2n， 于是n＋2＜≤2（n＋1），即≤an＋1＜. 从而证得＜Sn≤，即＜≤. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $