方法3 正难则反-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

方法3　正难则反 　　正难则反是数学解题的重要方法及技巧.当一些问题正面解决比较繁杂，或需要考虑的因素多，或解题思路不明朗时，可以考虑其对立面，即从问题的反面出发破解问题. 【例1】　（正难则反）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（　　） A.360 B.288 C.216 D.96 解析：B　6位同学站成一排，3位女生中有且只有2位女生相邻的排法有＝432种，其中男生甲站两端的有＝144种，符合条件的排法共有432－144＝288种，故选B. 训练1　有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（　　） A.234 B.346 C.350 D.363 解析：B　－17－－＝346.故选B. 【例2】　（补集思想）若二次函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围为. 解析：如果在区间[－1，1]内没有值满足f（c）＞0，则⇒ ⇒⇒⇒p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围，故实数p的取值范围为. 训练2　若“∃x∈（0，π），sin 2x－ksin x＜0”为假命题，则k的取值范围为（　　） A.（－∞，－2] B.（－∞，2] C.（－∞，－2） D.（－∞，2） 解析：A　依题意知，命题“∃x∈（0，π），sin 2x－ksin x＜0”为假命题，则“∀x∈（0，π），sin 2x－ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x，解得k≤－2，所以k的取值范围为（－∞，－2]. 【例3】　（反证法）设整数集合A＝{a1，a2，…，a100}，其中1≤a1＜a2＜…＜a100≤205.已知对于任意i，j（1≤i≤j≤100），若i＋j∈A，则ai＋aj∈A.证明：任意x∈{101，102，…，200}，x∉A. 证明：假设存在x0∈{101，102，…，200}，且x0∈A.记x0＝100＋s（1≤s≤100），因为100＋s∈A，所以a100＋as∈A，这与a100是最大值矛盾，所以假设不成立，因此任意x∈{101，102，…，200}，x∉A. 训练3　已知△ABC为锐角三角形，SA⊥平面ABC，点A在平面SBC内的射影为H.求证：H不是△SBC的垂心. 证明：假设H是△SBC的垂心.如图，连接BH并延长，交SC于点D，则BD⊥SC， 由于点A在平面SBC内的射影为H，所以AH⊥SC，又BD∩AH＝H，BD，AH⊂平面ABH，所以SC⊥平面ABH， 又AB⊂平面ABH，所以AB⊥SC，而AB⊥SA，SA∩SC＝S，SA，SC⊂平面SAC，所以AB⊥平面SAC， 又AC⊂平面SAC，所以AB⊥AC，这与△ABC为锐角三角形相矛盾，所以H不是△SBC的垂心. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $