专题7 培优点2 函数的构造问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点2　函数的构造问题 　　构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）解决原函数的一种行之有效的解题手段. 导数中的函数构造 考向1　利用f（x）与xn构造函数 【例1】　设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 解析：构造函数F（x）＝，则F'（x）＝，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，则F'（x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递增.根据f（1）＝0可得F（1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 感悟提升 利用f（x）与xn构造函数的技巧 （1）对于f'（x）g（x）－f（x）g'（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝； （2）对于xf'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝xnf（x）； （3）对于xf'（x）－nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝. 　设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）. 解析：构造函数F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，则F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）. 考向2　利用f（x）与enx构造函数 【例2】　已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　） A.f（2）＞e2f（0），f（2 024）＞e2 024f（0） B.f（2）＜e2f（0），f（2 024）＞e2 024f（0） C.f（2）＞e2f（0），f（2 024）＜e2 024f（0） D.f（2）＜e2f（0），f（2 024）＜e2 024f（0） 解析：D　构造F（x）＝，则F'（x）＝，又导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，F（x）在R上单调递减，根据单调性可知选D. 感悟提升 利用f（x）与enx构造函数的技巧 （1）对于f'（x）＋f（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝exf（x）； （2）对于f'（x）－f（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝； （3）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝enxf（x）； （4）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝. 　已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝4，则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，1） C.（0，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：D　设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所以f（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以y＝g（x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f（1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以x＞1.故选D. 考向3　利用f（x）与sin x，cos x构造函数 【例3】　偶函数f（x）的定义域为（－，），其导函数为f'（x），若对任意的x∈［0，），有f'（x）·cos x＜f（x）sin x成立，则关于x的不等式2f（x）＜的解集为（－，－）∪（，）. 解析：令g（x）＝f（x）cos x，x∈（－，），∴g（－x）＝f（－x）cos（－x）＝f（x）cos x＝g（x），∴g（x）为偶函数，又g'（x）＝f'（x）cos x－f（x）sin x，∴当x∈［0，）时，g'（x）＜0，即g（x）在［0，）上单调递减，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（－，0］上单调递增，不等式2f（x）＜可化为f（x）cos x＜f（）cos ，即g（x）＜g（），则解得－＜x＜－或＜x＜. 感悟提升 利用f（x）与sin x，cos x构造函数的技巧 （1）对于 f'（x）sin x＋f（x）cos x＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝f（x）sin x； （2）对于f'（x）sin x－f（x）cos x＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝； （3）对于f'（x）cos x＋f（x）sin x＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝； （4）对于f'（x）cos x－f（x）sin x＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝f（x）cos x. 　定义在区间（0，）上的函数f（x），f'（x）是其导函数，恒有f（x）＞f'（x）tan x成立，则（　　） A.f（）＞f（） B.f（1）＞2f（）sin 1 C.f（）＜f（） D.f（）＜f（） 解析：A　因为x∈（0，），所以sin x＞0，cos x＞0.由f（x）＞f'（x）tan x，得f（x）cos x－f'（x）sin x＞0.设F（x）＝，则F'（x）＝＜0，所以F（x）在区间（0，）上单调递减，所以F（）＞F（），即f（）＞f（）.同理B、C、D错误.故选A. 函数的同构问题 【例4】　（1）若对于0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为（　B　） A. B.1 C.e D.2e （2）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，＋∞），不等式eλx－≥0恒成立，则λ的最小值为. 解析：（1）∵x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2，∴－≤－，即≤，又0＜x1＜x2＜a，令φ（x）＝，∴φ（x）在（0，a）上单调递增，φ'（x）＝，当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ'（x）＜0，∴φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故a≤1，∴a的最大值为1. （2）eλx－≥0（λ＞0，x＞0）⇔λxeλx－xln x≥0⇔λxeλx≥xln x⇔λxeλx≥eln xln x，令f（x）＝xex.上述不等式可等价转化为f（λx）≥f（ln x），易知f（x）在R上是增函数，所以λx≥ln x，所以λ≥.令h（x）＝，则h'（x）＝，当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，当x∈（e，＋∞）时，h'（x）＜0，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，则h（x）max＝h（e）＝，即λ≥. 感悟提升 　　函数的同构问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有变量分离同构和指对跨阶同构. （1）变量分离同构：含有地位相等的两个变量的不等式（方程），关键在于对不等式（方程）两边变形或先放缩再变形，使不等式（方程）两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题； （2）指对跨阶同构：①和、差型（ea±a＞b±ln b）； （ⅰ）同左构造形式：ea±a＞eln b±ln b，构造函数f（x）＝ex±x； （ⅱ）同右构造形式：ea±ln ea＞b±ln b，构造函数f（x）＝x±ln x. ②积型（aea≤bln b）： （ⅰ）同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f（x）＝xex； （ⅱ）同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f（x）＝xln x； （ⅲ）取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln（ln b）（b＞1），构造函数f（x）＝x＋ln x. ③商型：（≤）： （ⅰ）同左构造形式：≤，构造函数f（x）＝； （ⅱ）同右构造形式：≤，构造函数f（x）＝； （ⅲ）取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln（ln b）（b＞1），构造函数f（x）＝x－ln x. 1.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c 解析：D　令f（x）＝（x＞0），则f'（x）＝，所以当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.a＝＝＝f（e2），b＝＝＝＝f（4），c＝＝＝f（e），因为e＜4＜e2，所以a＜b＜c.故选D. 2.已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是（　　） A.x＞y B.x＞ln y C.x＜y D.x＜ln y 解析：B　原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－ln ex＞y－ln y.令g（x）＝x－ln x，则不等式ex－ln ex＞y－ln y，等价于g（ex）＞g（y），因为g'（x）＝，所以当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＝＞0，所以g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，因为x＞0，所以ex＞1.若y∈（1，＋∞），由g（ex）＞g（y），有ex＞y，若y∈（0，1]，恒有ex＞y.综上所述，ex＞y，即x＞ln y.故选B. 1.已知α，β∈［－，］，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是（　　） A.α＞β B.α2＞β2 C.α＜β D.α＋β＞0 解析：B　构造函数f（x）＝xsin x，则f'（x）＝sin x＋xcos x.当x∈［0，］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，当x∈［－，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又f（x）为偶函数，∴αsin α－βsin β＞0⇔αsin α＞βsin β⇔f（α）＞f（β）⇔f（｜α｜）＞f（｜β｜）⇔｜α｜＞｜β｜⇔α2＞β2，故选B. 2.若2x－2y＜3－x－3－y，则（　　） A.ln（y－x＋1）＞0 B.ln（y－x＋1）＜0 C.ln｜x－y｜＞0 D.ln｜x－y｜＜0 解析：A　由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－＜2y－.设f（x）＝2x－，则f（x）＜f（y）.因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－在R上为增函数，所以f（x）＝2x－在R上为增函数，则由f（x）＜f（y），得x＜y，所以y－x＞0，所以y－x＋1＞1，所以ln（y－x＋1）＞0，故选A. 3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（－1）＝0，当x＜0时，xf'（x）＋f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A.（－∞，－1）∪（0，1） B.（－1，0）∪（1，＋∞） C.（－∞，－1）∪（－1，0） D.（0，1）∪（1，＋∞） 解析：B　构造函数F（x）＝xf（x），当x＜0时，F'（x）＝f（x）＋xf'（x）＜0，F（x）单调递减.又f（－1）＝0，则F（－1）＝0，所以当－1＜x＜0时，F（x）＜0，所以当－1＜x＜0时，f（x）＞0.因为f（x）为奇函数，所以F（x）＝xf（x）为偶函数，所以当x＞1时，F（x）＞0，所以当x＞1时，f（x）＞0.综上可知，f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（1，＋∞），故选B. 4.已知aln 2＝2ln a，bln 3＝3ln b，cln 5＝5ln c，且a，b，c∈（0，e），则（　　） A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析：A　由已知得＝，＝，＝，令f（x）＝（x∈（0，e）），则f'（x）＝＞0（x∈（0，e）），故f（c）－f（a）＝－＝＜0，且a，c∈（0，e），所以c＜a.f（a）－f（b）＝－＝＜0，且a，b∈（0，e），所以a＜b，所以c＜a＜b. 5.已知函数f（x）满足xf'（x）ln x＋f（x）＞0（其中f'（x）是f（x）的导函数），若a＝f（），b＝f（e），c＝f（e2），则下列选项中正确的是（　　） A.a＜2b＜4c B.2b＜4c＜a C.4c＜2b＜a D.a＜4c＜2b 解析：A　因为xf'（x）ln x＋f（x）＞0（x＞0），所以f'（x）ln x＋f（x）＞0，所以[f（x）ln x]'＞0.令g（x）＝f（x）ln x，则g'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，从而g（）＜g（e）＜g（e2），即f（）ln ＜f（e）ln e＜f（e2）ln e2，即f（）＜f（e）＜2f（e2），所以a＜b＜2c，即a＜2b＜4c，故选A. 6.（2024·邵阳第二次联考）已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数.若f（1）＝e，且f'（x）＋ex＜f（x）在R上恒成立，则不等式f（x）＜（2－x）ex的解集为（　　） A.（－∞，2） B.（2，＋∞） C.（－∞，1） D.（1，＋∞） 解析：D　设函数g（x）＝＋x，可得g'（x）＝＋1＝＜0，所以函数g（x）在R上单调递减，由f（x）＜（2－x）·ex，可得f（x）＋xex＜2ex，即＋x＜2＝＋1，可得g（x）＜g（1），所以x＞1，即不等式f（x）＜（2－x）ex的解集为（1，＋∞）.故选D. 7.设a，b都是正数，若aea＋1＋b＜bln b（其中e是自然对数的底数），则（　　） A.ab＞e B.b＞ea＋1 C.ab＜e D.b＜ea＋1 解析：B　由已知aea＋1＋b＜bln b，移项整理得aea＋1＜bln，两边同时除以e得aea＜ln，为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶”得aea＝ea·ln ea，故ea·ln ea＜ln.设f（x）＝x·ln x，则有f（ea）＜f（），因为a＞0，所以ea＞1.因为b（ln b－1）＞0，b＞0，所以ln b＞1，故b＞e，＞1，当x＞1时，f'（x）＝1＋ln x＞0，f（x）单调递增，所以ea＜，即ea＋1＜b. 8.（多选）已知定义在［0，）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（0）＝0，f'（x）cos x＋f（x）sin x＜0，则下列判断中正确的是（　　） A.f（）＜f（） B.f（ln ）＞0 C.f（）＞f（） D.f（）＞f（） 解析：CD　令g（x）＝，x∈［0，），则g'（x）＝，因为f'（x）cos x＋f（x）sin x＜0，所以g'（x）＝＜0在［0，）上恒成立，因此函数g（x）＝在［0，）上单调递减，故g（）＞g（），即＞，即f（）＞f（），故A错误；又f（0）＝0，所以g（0）＝＝0，所以g（x）＝≤0在［0，）上恒成立，因为0＝ln 1＜ln ＜ln e＝1＜，所以f（ln ）＜0，故B错误；又g（）＞g（），所以＞，即f（）＞f（），故C正确；又g（）＞g（），所以＞，即f（）＞f（），故D正确.故选C、D. 9.已知函数f（x）＝ex－aln（ax－a）＋a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（0，e2）. 解析：因为f（x）＝ex－aln（ax－a）＋a＞0（a＞0）恒成立，所以＞ln（x－1）＋ln a－1，所以ex－ln a＋x－ln a＞ln（x－1）＋x－1，即ex－ln a＋x－ln a＞eln（x－1）＋ln（x－1）.令g（x）＝ex＋x，易得g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以x－ln a＞ln（x－1），则有－ln a＞ln（x－1）－x.因为ln（x－1）－x≤x－2－x＝－2，所以－ln a＞－2，解得0＜a＜e2.所以实数a的取值范围为（0，e2）. 10.（2024·长沙调研）已知对任意x1，x2∈（0，＋∞），且当x1＜x2时，都有＜1＋，则a的取值范围是（－∞，2]. 解析：因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），且当x1＜x2时，＜1＋恒成立，所以aln x2－aln x1＜x2－x1＋恒成立，即aln x2－aln x1＜x2－x1＋－恒成立，即aln x2－x2＋＜aln x1－x1＋①恒成立，令f（x）＝aln x－x＋，x∈（0，＋∞），由①式可得当x1＜x2时，f（x2）＜f（x1），所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝－≤0在（0，＋∞）上恒成立，所以x2－ax＋1≥0在（0，＋∞）上恒成立，所以a≤x＋在（0，＋∞）上恒成立，又x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，所以a≤2. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $