专题7 培优点1 抽象函数与嵌套函数-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 培优点1抽象函数与嵌套函数 抽象函数与嵌套函数是高考数学的难点，特别是抽象函数是近几年高考的热点，抽象函数与函 数的单调性、奇偶性、周期性、对称性相结合的题目往往难度大，综合性强， 类型]抽象函数 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数，在处理 此类问题时，可以通过赋值法把握函数特殊点的特征，或者将函数模型化让抽象函数的性质“显 现”出来 【例1】(1)函数f(x)的定义域为R,x,y∈R,f(x+1)·f(y+1)=f(x十y)-f(x y),若f(0)≠0，则f(2024)=(A) A.-2 B.-4 C.2 D.4 (2)已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)十f(y)=2十f(x十y),且当x>0时，f (x)>2,f(3)=5,则不等式f(a2-2a-2)<3的解集为{a|-1<a<3}. 解析：(1)法一（常规解法）令x=y=0,则[f(1)]2=f(0)一f(0)=0,所以f(1)=0.令 x=0,y=x,则f(1)f(x+1)=f(0十x)一f(0一x)=0,所以f(x)=f(一x).令y=一x,则 f(x+1)·f(1-x)=f(0)一f(2x).令y=x,则f(x+1)·f(x+1)=f(2x)一f(0).所以 f(x十1)f(1-x)=一f(x十1)f(x+1),若f(x十1)=0恒成立，则与题设条件f(0)≠0矛 盾，所以f(x+1)不恒为0，所以f(1一x)=一f(x+1),所以f(x)=一f(2一x).又f(x)= f(-x),所以f(-x)=-f(2-x),所以f(x)=-f(2十x)=-[-f(4+x)]=f(x+4), 所以4为f(x)的-个周期，所以f(2024)=f(0).令x=y=1,得f(2)f(2)=f(2)一f (0),又f(2)=一f(0),所以f(0)f(0)=一2f(0),结合f(0)≠0得f(0)=-2,所 以f(2024)=一2，故选A. 法二（模型解法）因为cos(x十y)-cos(x一y)=一2 sin xsiny,所以-2cos(x+受)cos(y+ 受)=cos(x+y)-cos(x-y),所以-2cos(x+变)·[-2cos(y+受)]=-2cos(x+y) [-2cos(x一y)].由此联想构造函数，令f(x)=-2cos受，检验得x,y∈R,f(x+1)f(y+ 1)=f(x十y)-f(x一y),且(0)≠0，符合题意，所以f(2024)=-2cos1012π=-2，故选 A. (2)法一（常规解法）设<x2,则2->0，当x>0时，f(x)>2,f(x2-)>2, 则f(x2)=f几(x2一1)+]=f(x2一)+f(x)一2>2+f()一2=f(:),即f(x2)>f 1/8 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (x),∴.f(x)为增函数..f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=[f(1)十f(1)-2]十 (1)-2=3f(1)-4,又f(3)=5,f(1)=3.f(a2-2a-2)<f(1),.a2-2a- 2<1,即a2-2a-3<0,解得不等式的解集为{a|一1<a<3}. 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=2+f(x+y)，即f(x十y)=f(x)+f(y)-2,可设函 数f(x)=x+2(k≠0)，由f(3)=5,得3k+2=5,k=1,即f(x)=x十2，满足当x>0时，f (x)>2,则不等式f(a2-2a-2)<3可化为a2-2a-2+2<3,即a2-2a-3<0,解得- 1<a<3,故不等式的解集为{a|-1<a<3}. 感悟提升 解决抽象函数问题的常用方法 (1)常规解法：①取特殊值代入求值，如令x=0,1,2,3,； ②通过函数式得到柚象函数的性质： (i)通过f(x)一f(x2)的变换判断单调性； (iⅱ)令式子中出现f(x)和f(一x),判断函数的奇偶性； (i)换x为x十T确定函数是否具有周期性. (2)模型解法：结合具体函数，使得抽象函数具体化，常见的有： ①f(x±y)=f(x)±f(y)干b→f(x)=kx十b(k≠0)； ②r）-fx)r)或r(停)-得-可x)=叫 ®r+)=f)fy）或fx-)=0-f)=ar(a>0且a≠1）： ④f(xy)=f(x)+f(y)或f(音)=f(x)-f(y)或f(xm)=mf(x)→f(x)=logox(a>0且 a≠1)； ⑤f(x+y)+f(x-y)=af(x)·f(y)→f(x)=Acos ax(Aoω≠0)； @r+)=-rw)=m ⑦f(x+y)=f(x)+f(y)+2ay-c→f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 口跟踪训练 1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)= A.2 B.3 C.6 D.9 2/8 eo, 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：C法一（常规解法）f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=3f(-1)十6，f(0)=f(0) +f(0)+0,f(0)=0,又f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)-2=f(-1)，所以f(-3) =6. 法二（模型解法）由f(x十y)=f(x)+f(y)+2xy,设函数f(x)=x2+bx,又由f(1)=2, 得b=1,所以f(x)=x2十x,f(-3)=6. 2.（多选) (2024·九省联考)函数f(x)的定义域为R,f()≠0，若f(x十y)+f(x)f(y) =4y,则下列选项正确的有(） A.f(-)=0 B.f()=-2 C.函数f(x十)是增函数 D.函数f(x一)是奇函数 解析：ABD令x=,y=0,f(支)+f()f(0)=0,f(吉)[1+f(0)]=0,又f( 克)0，f(0)=-1,令x=,y=-,f(0)+f()…f(-)=-1,f(是)f( )=0,f(-)=0,故A正确：令y=-克，f(x-)=-2x,f(x)=-2x-1,f( )=-2,故B正确：f(x十)=-2(x+)-1=-2x-2是减函数，故C错误；f(x- 是)=一2(x-)一1=一2x,其图象关于原点对称，f(x-支)为奇函数，故D正确。 类型2嵌套函数 [x+2ax<0, 【例2】已知函数f(x)= {x2-xx≥0，若函数y=f(x))有8个不同的零点，则a的取 值范围为( A.(0,8) B.(0,+∞) C.[8,+∞) D.(8,十∞) 解析：D当a≤0时，f(x)是R上的增函数，f(x)=0有唯一解x=0,此时f(f(x))=0不 可能有8个解.当a>0时，令f(x)=t,则由f(f(x))=f(t)=0,得1=-2a,t2=0,t3=a. 因为函数y=f(f(x))有8个不同的零点，所以直线y=一2a,y=0,y=a与函数f(x)的图象共 有8个交点，作出f(x)的图象，如图所示.因为a>0,所以2a>a,所以直线y=a与函数f(x) 的图象有2个交点，直线y=0与函数f(x)的图象有3个交点，所以直线y=一2a与函数f(x)的 图象有8-2-3=3（个）交点，所以-2a>-号，得a>8.故选D. 3/8 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 2a 1=0 -2a -2a a219=-2a 感悟提升 破解嵌套函数零点个数问题的主要步骤 (1)换元解套，转化为t=g(x)与y=f(t)的零点； (2)依次解方程，令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 口跟踪训练 2x-1x≤1， 1.已知函数f)={血K-1)x>1,则方程ffx)）=1的根的个数为(） A.7 B.5 C.3 D.2 解析：A令u=f(x),先解方程f(u)=1.当u≤1时，则f(u)=2u一1=1，解得41=1；当 u>1时，则f(u)=|ln(u-1)|=1,所以ln(u-1)=1或1n(u-1)=-1,解得2=1+ 合，=1十e.如图所示，作出函数f(x)的图象，由图知，直线u=1,u=1+日，u=1+e与u=f (x)图象的交点个数分别为3,2,2，所以方程f(f(x))=1的根的个数为3+2十2=7.故选A. u=l+e u=1+ u=1 2.设函数f(x)=x2+acos x,a∈R,非空集合M={x|f(x)=0,x∈R}.若集合N={x|f(f (x))=0,x∈R},且M=N,则实数a=0 解析：因为M={x|f(x)=0,x∈R,N={xIf(f(x))=0,x∈R},且M=N,即任意x∈ M,都有x∈N,因为f(x)=0,f(f(x))=0,所以f(0)=0,即02+acos0=0,所以0+a= 0,所以a=0. 跟踪检测·提素能 强化训练素养达成 1.已知函数f(x)对任意的x,y∈R,总有f(x十y)=f(x)+f(y),若x∈（一∞，0）时，f (x)>0,且f(1)=一号，则当x∈[-3,1]时，f(x)的最大值为() A.0 B.号 C.1 D.2 4/8 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：D法一（常规解法）令x=y=0,则f(0)=∫(0)+f(0),得(0)=0，令y=- x,则f(0)=f(x)十f(一x),所以f(一x)=一f(x),所以f(x)为奇函数，任取x1,2∈ R,且<x2,则1一x2<0,f(x1一2)>0，所以f(x1)一f(x2)=f(x1一x2)十x2]一f(x2)=f (一2)十f(x2)一f(x2)=f(1一x2)>0,所以f()>f(x2),所以f(x)在R上单调递 减，所以当x∈[-3,1]时，f(x)的最大值为f(-3)，因为f(1)=-号，所以f(-1)=号.则 有f(-3)=∫(-1)+f(-2)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=3×号=2，故选D. 法二（模型解法）由f(x+y)=∫(x)+f(y)，可设∫(x)=,又f(1)=一号，所以k=一 号，所以f(x)=-号，验证知满足条件，则当x∈[-3,1]时，f(x)=一号x的最大值为f(一 3)=2,故选D. 2.已知函数f(x)是定义域为(0，+∞)的增函数，满足f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y), 若f(x)+f(x一3)≤1，则x的取值范围为() A.[3,4) B.[4,5) C.(3,4] D.(4,5] 解析：C法一（常规解法）f(x)+f(x一3)=几x(x一3)]≤1=f(4),又f(x)是定义域为 0<xx-3)≤4， (0,+0)的增函数，x-3>0, →3<x≤4，∴x的取值范围为(3,4]. x>0 法二（模型解法）由f(xy)=f(x)+f(y)，可设函数f(x)=logx(a>0,且a≠1).由f (4)=1,得a=4,则f(x)=log4,由f(x)+f(x-3)≤1，得log4+log4(x-3)≤1，即 |xx-3)≤4， log4[x(x-3)]≤1，故 x-3>0, 解得3<x≤4，故x的取值范围为(3,4]. x>0, 3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十1)是偶函数，f(x一1)是奇函数，则() A.f(0)=0 B.f(3)=0 C.f(1)=0 D.f(3)=0 解析：D因为函数f(x十1)为偶函数，则f(1-x)=∫(1+x),令t=x可得f(1一t)=f (1十t),所以f(1十x)=f(1-x)，因为函数f(x-1)为奇函数，则f(-x-1)=-f(x- 1),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，关于点（一1,0）对称，又因为函数f(x)的定 义域为R,f(-1)=0,则f(3)=f(-1)=0,f(1),f(支)，f(0)的值都不确定，故选D. 5/8 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (传-1x≤0， 4.已知函数f(x)= (-2+2x,x>0,若ff())+3≥0，则实数t的取值范围是() A.[3,+∞) B.(-∞，-2] C.(-∞，3] D.[-2,+∞) 解析：D画出f(x)的图象如图所示，由f(f(t)）+3≥0得f(f(t))≥-3，令-x2+2x=- 3得x=3,由图可得f(1)≤3，令（)-1≤3，变形得（寺）≤4=（)-2，解得t≥-2，故 选D. 3-2-10 Igxx>0, 5.已知fw)={2x≤0，则函数=2)-/(x)+1的零点个数是（） A.3 B.5 C.7 D.8 解析：B函数y=2(x)-3f(x)+1=[2f(x)-1][f(x)-1]的零点，即方程f(x)=和 gxx>0, (x)=1的根，函数f(x)={2slx≤0 的图象如图所示，由图可得方程f(x)=吉和f(x)= 1共有5个根，即函数y=2fP(x)一3f(x)十1有5个零点，故选B. -2-1012345678910 6.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意1，x2∈R都有f(:十x2)=100f(x1)f(x2),则下列 结论一定正确的是() A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.存在常数k,对任意x∈R,都有f(x+1)=对(x) D.对任意m∈R,存在xo∈R,使得f(xo)=m 6/8 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.zXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：C令f(x)=10r-2,因为f(十2)=10+xx2,100f()f(2)=100×10+xz4=1 0+x2,所以f(x)=10-2满足f(十2)=100f(x)f(x2).对于A,因为f(x)=10-2不是 偶函数，故A错误；对于B,因为f(x)=10-2不是周期函数，故B错误；对于C,令x1=x,2 =1,则f(x十1)=100f(x)f(1),令k=100f(1),所以存在常数k,对任意x∈R,都有f(x +1)=f(x),故C正确；对于D,因为f(x)=10-2>0,故m<0时，不存在xo∈R,使得f (xo)=m,故D错误， |ex≤0， 7.已知函数f(x)={nx,x>0,8(x)=x-3,方程f(g(x)）=-3一g(x)有2个不同的根， 分别是1,2，则1十2=（) A.0 B.3 C.6 D.9 解析：B令g(x)=x-3=t,则f(g(x))=-3-g(x)即f(t)=一3-t,由题意知直线y= 一3一t与曲线y=f(t)有2个交点，设交点横坐标分别为t,t2(t1<0<t2),则t1,t2满足e1= 3一t,n2=-3一t2,则ne1=t=一3一e1,易知关于m的方程lnm=一3一m只有1个根，所以 t2=e1,从而t1十2=一3.不妨设x1一3=t1,x2一3=t2,则1一3十x2一3=一3，所以01十x2=3,故 选B. 8.(多选)(2024·新乡第三次模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2十6)=f(一2x), 且f(x-1)+f(x+1)=f(-2),若f(号)=1，则() A.f(2024)=1 B.f(x)的图象关于直线x=一3对称 C.f(x)是周期函数 2025 D.点（-1)财(k-含)=2025 解析：BCD由f(x-1)+f(x+1)=f(一2)，得f(x+1)+f(x+3)=f(-2),则f(x 1)=f(x十3)，即f(x)=f(x十4)，因此f(x)是周期为4的周期函数，C正确；令x=一1， 得f(-2)+f(0)=f(-2),则f(0)=0,因此f(2024)=f(0)=0,A错误；由f(2x+ 6)=f(-2x),得f(x+6)=f(-x),则f(-x)=f[(x-12)十6]=f(x一6)，因此f(x) 的图象关于直线x=一3对称，B正确；由f(x十6)=f(一x),得f(x)的图象关于直线x=3对 称，因此直线x=-3+4n及x=3+4n(n∈Z)均为f(x)图象的对称轴，从而f(一2)=f(0) 0,f()=f()=1,令x=多，得f(是-1)+f(是+1)=0，即f(是)=-f()=-1, 7/8 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2025 则f()=f(2)=f(号)=-1，故点（-1)财(k-支)=-f()+2f(是)-3f() +4(号)-.-2025f(9)=(1-2-3+4)+.+(2021-2022-2023+2024)+2025 =2025,D正确. nx-2,x>0, 9.已知fx)={2-支x≤0，则满足2ff(m）)+1=2/m+1的实数m的取值范围为二 ∞，-1]U(0,e2] 解析：令t=f(m)，则2f(t)+1=2+1,所以f(t)=2-支，当>0时，f(t)=n1-2=2-克 无解；当t0时，f(t)=2-恒成立，所以f(m)=t≤0.当m>0时，nm-2≤0，解得0<m ≤e2；当m≤0时，2m-专≤0，解得m≤-1.综上所述，实数m的取值范围是(-∞，一1]U(0, e2]. 10.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R,f(x+1)为偶函数，g(x)的图象关于点(1,0) 中心对称，若f(x)+g(x)=x2-1,则f(2)g(2)=2. 解析：在f(x)十g(x)=x2-1中，令x=2,得f(2)十g(2)=3.因为f(x十1)是偶函数，所 以f(x)的图象关于直线x=1对称，即f(x)=f(2-x)①，因为g(x)的图象关于点(1,0) 中心对称，所以函数g(x十1)是奇函数，即g(一x十1)=一g(x十1)，用1一x代替x得g(x) =-g(-x+2)②，将①②代入f(x)+g(x)=x2+1得f(2-x)一g(2-x)=x2-1.令x= 0,得f(2)-g(2)=-1,结合f(2)+g(2)=3,解得f(2)=1,g(2)=2,所以f(2)g (2)=2. 8/8