专题7 第3讲 小题研透——导数的简单应用-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

第3讲　小题研透——导数的简单应用 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 导数的几何意义 在选择、填空题中会继续考查切线方程的求法及应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值及应用，注意构造法的应用 求函数单调性 求函数极值 求函数最值（与不等式结合转化求解） 二、真题感悟 1.（2024·全国甲卷理6题）（导数的几何意义）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：A　f'（x）＝，所以f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 2.（2023·新高考Ⅱ卷6题）（函数单调性的应用）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 解析：C　法一　由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C. 3.（多选）（2024·新高考Ⅰ卷10题）（求函数的单调区间、极值）设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　） A.x＝3是f（x）的极小值点 B.当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C.当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D.当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） 解析：ACD　对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）＝2（x－1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈（1，3）时，f'（x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，故函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；对C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）上单调递减，所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－1）＜0，C正确；对D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x）－f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2－2x）＞0，D正确.故选A、C、D. 4.（2024·新高考Ⅰ卷13题）（导数的几何意义）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ln 2. 解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，则切点为（－，a＋ln），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln＝0，故a＝ln 2. 重｜难｜排｜查 1.四个易误导数公式 （1）（sin x）'＝cos x； （2）（cos x）'＝－sin x； （3）（ax）'＝axln a（a＞0，且a≠1）； （4）（logax）'＝（a＞0，且a≠1，x＞0）. 2.利用导数研究函数的单调性 （1）若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义域内解（或证明）不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0； （2）若已知函数的单调性，则转化为不等式f'（x）≥0或f'（x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解. 3.利用导数研究函数的极值、最值 （1）若f'（x0）＝0且在x0附近左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，则f（x0）为函数f（x）的极大值；若在x0附近左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0，则f（x0）为函数f（x）的极小值； （2）设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 4.常用结论 （1）在某区间内f'（x）＞0（f'（x）＜0）是函数f（x）在此区间上单调递增（减）的充分不必要条件； （2）可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是对∀x∈（a，b），都有f'（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零； （3）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 导数的几何意义 【例1】　（1）（2024·福建适应性练习卷）已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln（－x）的切线，则（　　） A.k＝，b＝0 B.k＝1，b＝0 C.k＝，b＝－1 D.k＝1，b＝－1 （2）已知函数f（x）＝，若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为ax－y＝0，则x0的值为　　. 答案：（1）A　（2）2 解析：（1）法一　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点坐标为（x1，y1），直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln（－x）的切点坐标为（x2，y2），对y＝ln x求导得y'＝，对y＝－ln（－x）求导得y'＝－·（－1）＝－，所以有得得所以k＝＝.故选A. 法二　对于A，对y＝ln x求导得y'＝，令＝k＝，得x＝e，又ln e＝1，所以曲线y＝ln x在点（e，1）处的切线方程为y－1＝（x－e），即y＝x，同理得曲线y＝－ln（－x）在点（－e，－1）处的切线方程为y＝x，故A正确，故选A. （2）因为函数f（x）＝，求导得f'（x）＝，依题意得消去a得，＝，而＞0，解得x0＝2. 感悟提升 求曲线y＝f（x）的切线方程的三种类型及方法 （1）已知切点P（x0，y0），求切线方程：求出切线的斜率f'（x0），由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P（x0，y0），通过方程k＝f'（x0）解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点（非切点），求切线方程：设切点为P（x0，y0），利用导数求得切线斜率f'（x0），再由斜率公式求得切线斜率，列方程（组）解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 提醒　求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点. 1.（2024·邯郸第四次调研）设函数f（x）＝x＋的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为（　　） A.y＝－x B.y＝－x－1 C.y＝0 D.y＝x－1 解析：C　令x＋＝0，即x（x＋2）＋1＝0，即（x＋1）2＝0，解得x＝－1，故P（－1，0），f'（x）＝1－，则f'（－1）＝1－＝0，则其切线方程为：y－f（1）＝f'（－1）（x＋1），即y＝0.故选C. 2.（2024·山东新高考联合质量测评）过点（3，0）作曲线f（x）＝xex的两条切线，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1＋x2＝（　　） A.－3 B.－ C. D.3 解析：D　因为f（x）＝xex，所以f'（x）＝（x＋1）ex，设切点坐标为（x0，x0），所以f'（x0）＝（x0＋1），所以切线方程为y－x0＝（x0＋1）（x－x0），所以－x0＝（x0＋1）（3－x0），即（－＋3x0＋3）＝0，依题意关于x0的方程（－＋3x0＋3）＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－＋3x0＋3＝0有两个不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3.故选D. 利用导数研究函数的单调性 【例2】　（1）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的单调递减区间为（　D　） A.（0，4） B.（－∞，1），（，4） C.（0，） D.（0，1），（4，＋∞） （2）（2024·贵阳适应性考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且y＝f'（x）＋ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a－1），则实数a的取值范围是（　D　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.（，1） D.（－∞，）∪（1，＋∞） 解析：（1）由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后减再增的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f（x），即g'（x）＝＜0，则函数g（x）＝的单调递减区间为（0，1），（4，＋∞）.故选D. （2）因为f（x）为R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x），对等式两边求导有f'（x）＝－f'（－x）　①.因为y＝f'（x）＋ex是偶函数，所以f'（x）＋ex＝f'（－x）＋e－x　②.由①②得f'（x）＝（e－x－ex）＝.当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f（a）＞f（2a－1），所以｜a｜＜｜2a－1｜，得a＞1或a＜，故选D. 感悟提升 利用导数研究函数单调性的三个关键点 （1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； （3）已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 1.已知函数f（x）＝xex－，则（　　） A.f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递减 B.f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上先递减再递增 C.f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减 D.f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上先递减再递增 解析：C　由f（x）＝xex－可得，f（－x）＝－xe－x－＝xex－＝f（x），故f（x）为偶函数，所以A、B错误；由f'（x）＝ex－e－x＋x·（ex＋e－x），当x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，0）上单调递减，所以C正确，D错误，故选C. 2.若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则实数m的取值范围为（，1）. 解析：由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.若函数f（x）＝－ln x在区间（m，m＋）上不单调，则需满足0≤m＜1＜m＋，解得＜m＜1，所以实数m的取值范围为（，1）. 利用导数研究函数的极值与最值 【例3】　（1）（2024·扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　C　） A.（－2，＋∞） B.（－，＋∞） C.（－∞，－2） D.（－∞，－） （2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2），则x2－2x1的最大值为－4. 解析：（1）函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，f'（x）＞0，此时f'（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'（x）＝aeax＋2＝0，解得x＝ln（－），当x＞ln（－）时，f'（x）＞0，当x＜ln（－）时，f'（x）＜0，故x＝ln（－）是f（x）＝eax＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，∴ln（－）＞0⇒ln（－）＜0⇒0＜－＜1，解得a＜－2.故选C. （2）设f（x1）＝g（x2）＝m，m∈R，则x1＝，x2＝m－2，x2－2x1＝m－2－2.令h（x）＝x－2－2，则h'（x）＝1－，令h'（x）＞0，解得x＜0，所以h（x）在（－∞，0）上单调递增，令h'（x）＜0，解得x＞0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递减，h（x）max＝h（0）＝－4，所以x2－2x1的最大值为－4. 感悟提升 利用导数研究函数极值与最值的方法 （1）若求极值，则先求方程f'（x）＝0的根，再检查f'（x）在方程根的左右函数值的符号； （2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f'（x）＝0根的大小或存在情况来求解； （3）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较，从而得到函数的最值. 1.（2024·江西名校联考）已知函数f（x）＝x3－ax2＋x＋1没有极值点，则a的取值范围是（　　） A.（－，） B.[－，] C.（－∞，－） D.[，＋∞） 解析：B　f'（x）＝3x2－2ax＋1，是开口向上的二次函数，因为函数f（x）＝x3－ax2＋x＋1没有极值点，则f'（x）≥0，所以Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤ ，所以a的取值范围是[－，].故选B. 2.（2024·南京、盐城一模）用min{x，y}表示x，y中的最小数.已知函数f（x）＝，则min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为（　　） A. B. C. D.ln 2 解析：C　∵f（x）＝，∴f'（x）＝，根据导数易知f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；由题意令f（x）＝f（x＋ln 2），即＝，解得x＝ln 2；作出图象，则min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为两函数图象交点处函数值，为.故选C. 1.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝a，＝1－a，则实数a的值为（　　） A.－2　　　B.－ C.　　　D.2 解析：D　＝－·＝－a，则－a＝1－a，解得a＝2.故选D. 2.（2024·岳阳质量监测）函数f（x）＝6＋12x－x3的极小值点为（　　） A.（4，－10） B.（－2，－10） C.4 D.－2 解析：D　函数f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，且f'（x）＝12－3x2＝3（2－x）（2＋x），所以当－2＜x＜2时，f'（x）＞0，当x＜－2或x＞2时f'（x）＜0，所以f（x）在（－2，2）上单调递增，在（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝－2处取得极小值，在x＝2处取得极大值，即极小值点为－2，极大值点为2. 3.（2024·上饶一模）已知函数f（x）＝xex，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）的导函数为f'（x）＝（x－1）ex B.f（x）在（－1，＋∞）上单调递减 C.f（x）的最小值为－ D.f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x 解析：C　f（x）＝xex⇒f'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞－1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以当x＝－1时，函数f（x）的最小值为－，因此A、B错误，C正确；因为f'（0）＝1，f（0）＝0，所以f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x，因此D错误.故选C. 4.（多选）函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.－3是函数y＝f（x）的极值点 B.－1是函数y＝f（x）的最小值点 C.y＝f（x）在区间（－3，1）上单调递增 D.y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 解析：AC　根据导函数图象可知：当x∈（－∞，－3）时，f'（x）＜0，当x∈（－3，1）时，f'（x）≥0，∴函数y＝f（x）在（－∞，－3）上单调递减，在（－3，1）上单调递增，故A、C正确；∵f（x）在（－3，1）上单调递增，∴－1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确.故选A、C. 5.函数f（x）＝x3－aln x的图象在点（1，f（1））处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则实数a＝5. 解析：f'（x）＝3x2－，因为函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以f'（1）＝3－a＝－2，即a＝5. 6.若函数f（x）＝ex－ax－1（a∈R）为增函数，则g（x）＝2ln x＋x2－（a＋2）x的单调递增区间为（0，＋∞）. 解析：由题可得f'（x）＝ex－a≥0恒成立，又ex∈（0，＋∞），所以a≤0.函数g（x）的定义域为（0，＋∞），g'（x）＝＋2x－（a＋2），x＞0，又2x＋≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，由a≤0得a＋2≤2，则g'（x）＞0，故g（x）的单调递增区间为（0，＋∞）. 7.已知函数f（x）＝xln x，g（x）＝x2＋ax（a∈R），直线l与f（x）的图象相切于点A（1，0），若直线l与g（x）的图象也相切，则a＝（　　） A.0 B.－1 C.3 D.－1或3 解析：D　f'（x）＝1＋ln x，则f'（1）＝1＋ln 1＝1，易知f（1）＝0，所以直线l的方程为y＝x－1.因为直线l与g（x）的图象也相切，所以方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋（a－1）x＋1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（a－1）2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. 8.设a∈R，若函数y＝x＋aln x在（，e）上有极值点，则实数a的取值范围为（　　） A.（，e）　　　　　　 B.（－e，－） C.（－∞，） D.（－∞，－e）∪（－，0） 解析：B　函数y＝f（x）＝x＋aln x在（，e）上有极值点，则f'（x）在（，e）上有零点.f'（x）＝1＋＝（x＞0），令g（x）＝x＋a，则g（x）的零点即为f'（x）的零点，且函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以（＋a）（e＋a）＜0，解得－e＜a＜－.所以实数a的取值范围为（－e，－）.故选B. 9.（2024·南通、如皋、连云港联考）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R，有f'（x）－f（x）＞0，则“x＜2”是“exf（x＋1）＞e4f（2x－3）”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 解析：A　因为f'（x）－f（x）＞0，所以＞0.令g（x）＝，则g'（x）＝＞0，所以g（x）在R上单调递增.exf（x＋1）＞e4f（2x－3）⇔＞⇔g（x＋1）＞g（2x－3）⇔x＋1＞2x－3⇔x＜4，所以“x＜2”是“exf（x＋1）＞e4f（2x－3）”的充分不必要条件，故选A. 10.设函数f（x）＝xsin x，若x1，x2∈［－，］，且f（x1）＜f（x2），则下列不等式恒成立的是（　　） A.x1＜x2 B.x1＞x2 C.x1＋x2＜0 D.＜ 解析：D　由于f（－x）＝（－x）sin（－x）＝xsin x＝f（x），且定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，当x∈［0，］时，f'（x）＝sin x＋xcos x≥0，故函数f（x）在［0，］上单调递增，结合函数为偶函数可知，函数f（x）在［－，0］上单调递减，所以f（x1）＜f（x2）等价于｜x1｜＜｜x2｜，即＜.故选D. 11.（2024·东北三省四市教研联合体模拟）在同一平面直角坐标系内，函数y＝f（x）及其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（　　） A.函数y＝f（x）·ex的最大值为1 B.函数y＝f（x）·ex的最小值为1 C.函数y＝的最大值为1 D.函数y＝的最小值为1 解析：C　由导数与函数单调性的关系得f（x）的图象为实曲线，f'（x）的图象为虚曲线，且当x＜0时，f（x）＜f'（x），当x＞0时，f（x）＞f'（x），设g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝（f（x）＋f'（x））ex＞0，∴g（x）在R上单调递增，故A、B错误；设h（x）＝，则h'（x）＝＝，则h（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴h（x）在x＝0处有最大值h（0）＝＝1，故C正确，D错误.故选C. 12.（多选）（2024·金丽衢十二校第二次联考）设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若∀x∈R，均有xf'（x）＝（x＋1）f（x），则（　　） A.f（0）＝0 B.f″（－2）＝0（f″（x）为f（x）的二阶导数） C.f（2）＜2f（1） D.x＝－1是函数f（x）的极大值点 解析：AB　由∀x∈R，xf'（x）＝（x＋1）f（x），令x＝0，则0＝（0＋1）f（0），∴f（0）＝0，A正确；当x≠0时，由xf'（x）＝（x＋1）f（x）得xf'（x）－f（x）＝xf（x），故＝，即［］'＝，则＝ex，则f（x）＝xex，f'（x）＝ex＋xex，f″（x）＝ex＋ex＋xex＝ex（2＋x），故f″（－2）＝ex（2－2）＝0，B正确；令g（x）＝（x＞0），g'（x）＝ex＞0，故g（x）在（0，＋∞）上单调递增，故＞，即f（2）＞2f（1），C错误；由于f'（x）＝ex＋xex，令f'（x）＞0，∴ex（1＋x）＞0，即得x＞－1，令f'（x）＜0，∴ex（1＋x）＜0，即得x＜－1，故f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，故x＝－1是函数f（x）的极小值点，D错误.故选A、B. 13.（2024·上饶一模）若函数f（x）＝x3－ax2＋6x在区间（1，3）上单调递增，则a的取值范围为（－∞，6]. 解析：因为f（x）＝x3－ax2＋6x，所以f'（x）＝3x2－ax＋6，因为函数f（x）＝x3－ax2＋6x在区间（1，3）上单调递增，所以f'（x）＝3x2－ax＋6≥0在（1，3）上恒成立，即x∈（1，3）时，a≤3x＋恒成立，因为3x＋≥2＝6，当且仅当x＝时等号成立，即（3x＋）min＝6，所以a≤6. 14.已知函数f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R），g（x）＝x2＋（2－a）ln x，若f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则实数a的取值范围是（－∞，）∪（2，＋∞）　. 解析：若f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R）无极值，则f'（x）＝3x2－2x＋a≥0恒成立，即Δ＝4－12a≤0，解得a≥；若g（x）＝x2＋（2－a）ln x无极值，则g'（x）＝≥0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以2－a≥0，即a≤2.所以f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则或解得a∈（－∞，）∪（2，＋∞）. 15.（2024·成都模拟）已知函数g（x）＝的图象与函数f（x）＝aln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为（e2，e）. 解析：函数f（x）＝aln x的定义域为（0，＋∞），可得f'（x）＝，由g'（x）＝，设曲线f（x）＝aln x与曲线g（x）＝的公共点为（x0，y0），由于在公共点处有共同的切线，所以＝，所以x0＝4a2（a＞0），由f（x0）＝g（x0），可得aln x0＝，联立可得解得x0＝e2，所以y0＝e，所以公共点坐标为（e2，e）. 16.（多选）已知函数f（x）＝aln x＋x2－（a＋2）x，其中a∈R且a≠0，则（　　） A.当a＝2时，f（x）无极值点 B.当f（x）有且仅有1个零点时，a＞0 C.当a＝2时，曲线f（x）在x＝2处的切线方程为y＝x－6＋2ln 2 D.当a＞0时，f（a）≥f（1） 解析：ACD　f'（x）＝＋2x－（a＋2）＝，x＞0.当a＝2时，f'（x）＝≥0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故f（x）无极值点，A正确；当a＜0时，2x－a＞0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，f（1）＝－a－1，当x→0＋，f（x）→＋∞，当x→＋∞，f（x）→＋∞，当f（1）＝0即a＝－1时，f（x）有且仅有1个零点；当a＜－1时，f（x）无零点；当－1＜a＜0时，f（x）有2个零点.当a＞0，令f'（x）＝0，解得x＝1或，当x→0＋，f（x）→－∞，当x→＋∞，f（x）→＋∞，①当a＝2时，由A项分析可知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，此时有且仅有1个零点，②当0＜a＜2时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，当a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，f（1）＝－a－1＜0，f（）＝aln－－a＜0，则当a＞2或0＜a＜2时，f（x）在（0，＋∞）上有且仅有1个零点，综上，当f（x）有且仅有1个零点时，a＞0或a＝－1，B错误；当a＝2时，f（2）＝2ln 2－4，f'（2）＝1，所以f（x）在x＝2处的切线方程为y＝x－6＋2ln 2，C正确；当a＞0时，f（a）－f（1）＝aln a－2a＋a＋1＝aln a－a＋1，记h（a）＝aln a－a＋1，h'（a）＝ln a，令h'（a）＞0，解得a＞1，则h（a）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h（a）≥h（1）＝0，即f（a）≥f（1），D正确. 17.若曲线f（x，y）＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）＝0的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为①②④. ①y＝x2－2｜x｜；②y＝3sin x＋4cos x；③3x2－xy＋1＝0；④x2＋y2－x－｜x｜－1＝0. 解析：①y＝x2－2｜x｜＝在x＝－1和x＝1处的切线都是y＝－1，故①有“自公切线”；②y＝3sin x＋4cos x＝5sin（x＋φ），其中cos φ＝，sin φ＝，此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故②有“自公切线”；③3x2－xy＋1＝0，即y＝3x＋（x≠0），则y'＝3－，假设此函数有“自公切线”，设切点分别为A（x1，3x1＋），B（x2，3x2＋），且x1≠x2，所以切线的斜率k＝3－＝3－，解得x2＝－x1，则B（－x1，－3x1－），故k＝3－＝，化简得3x1＋＝3x1－，无解，所以③没有“自公切线”；④x2＋y2－x－｜x｜－1＝0，当x≥0，则（x－1）2＋y2＝2，当x＜0，则x2＋y2＝1，表示的图形如图，由于圆（x－1）2＋y2＝2与圆x2＋y2＝1相交，有公切线，所以④有“自公切线”. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $