专题6 培优点1 体育比赛与闯关-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点1　体育比赛与闯关 　　此类问题主要涉及体育比赛或闯关问题中的2n－1局n胜制、连胜制及比分差距制等，考查题型既有选择、填空题也有解答题，难度中等偏上. 2n－1局n胜制 【例1】　为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响. （1）求甲班在项目A中获胜的概率； （2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望. 解：（1）记事件A＝“甲班在项目A中获胜”，则P（A）＝××＋×（ ）2××＋×（ ）2×（ ）2×＝， 所以甲班在项目A中获胜的概率为. （2）记事件B＝“甲班在项目B中获胜”， 则P（B）＝（ ）3＋×（ ）4＋×（ ）5＝. X的可能取值为0，1，2， 则P（X＝0）＝P（）＝P（）P（）＝×＝， P（X＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝， P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E（X）＝0×＋1×＋2×＝.所以甲班获胜的项目个数的数学期望为. 感悟提升 1.一旦某方获得n次胜利即终止比赛，若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到n胜，如：乒乓球、篮球、斯诺克比赛等. 2.看成n重伯努利试验，利用二项分布的公式求解：P（甲胜）＝pn（1－p）n－1＋pn＋1（1－p）n－2＋…＋p2n－1. 　（2024·聊城二模）甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为. 解析：根据题意，设甲获胜为事件A，比赛进行两局为事件B，P（A）＝×＋×××＝，P（AB）＝××＝，故P（B｜A）＝＝＝＝. 连胜制 【例2】　甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 解：（1）甲连胜四场的概率为. （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为；乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝. （3）丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 感悟提升 　　连胜制的规则特点是：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有达到m场某方连胜. 　某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人连胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为，且每局比赛相互独立.则比赛进行四局结束的概率为. 解析：比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙连胜；第一局乙获胜，后三局丙连胜，第一局甲获胜，后三局丙连胜的概率P1＝×××＝，第一局乙获胜，后三局丙连胜的概率P2＝×××＝，故比赛进行四局结束的概率P＝P1＋P2＝＋＝. 比分差距制 【例3】　为了贯彻党的二十大提出的基础教育发展方针，全面落实“五育并举”的战略目标，某市举办2024年秋季高中生乒乓球比赛活动，本次活动乒乓球单打按国际比赛规则，即首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为.如果在一局比赛中，由乙同学先发球. （1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率； （2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望. 解：（1）甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝×（ ）2×（ ）2＋（ ）2××＝. （2）设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3. P（X＝0）＝（ ）2×＝， P（X＝1）＝×（ ）2×＋（ ）2×＝， P（X＝2）＝×（ ）2×＋（ ）2×＝， P（X＝3）＝（ ）2×＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 感悟提升 1.规定某方比对方多m分即终止比赛. 2.根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m. 3.实例：如乒乓球和羽毛球的小局比赛. （2024·江西重点中学协作体联考）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源.为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：D　三队中选一队与丙比赛，丙输，×，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一队得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（ 概率是（ ）2）时，丙得6分，其他3队分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，（1）若甲乙，甲丁两场比赛中甲一平一输，则一平一输的概率是（ ）2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是；（2）若甲乙，甲丁两场比赛中甲两场均平，概率是（ ）2，乙丁这场比赛无论结果如何均符合题意；（3）若甲乙，甲丁两场比赛中甲都输，概率是（ ）2，乙丁这场比赛只能平，概率是.综上，概率为××（ ）2×［×（ ）2×＋（ ）2＋（ ）2×］＝，D正确.故选D. 1.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的赢得比赛（单局中无平局）.若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比赛的概率为（　　） A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：C　甲、乙打满4局比赛的胜负情况如图所示， 由树状图可知，胜负情况共有16种，其中甲赢得比赛的情况有5种，故所求概率P＝. 2.甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知甲每局获胜的概率为，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　要使甲在第5局终止比赛并获胜，可分为2类情况：①甲前2局均失败，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p1＝（ 1－）×（ 1－）×××＝；②甲第1局胜，第2局负，后3局中连胜，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p2＝×（ 1－）×××＝.所以甲在第5局终止比赛并获胜的概率为p＝p1＋p2＝＋＝. 3.（2024·黄冈二模）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1＋p2＝，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E（X）＝16，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为（　　） A.27　　　　B.24 C.32　　　　D.28 解析：A　设每一轮训练过关的概率为p，则p＝＋××p2×（1－p2）＋××p1×（1－p1）＝－3＋2p1p2（p1＋p2）＝－3＋2p1p2×＝－3＋p1p2.又0＜p1p2≤（ ）2＝，当且仅当p1＝p2＝时等号成立.函数y＝－3x2＋x的图象的开口向下，对称轴为直线x＝，所以0＜－3＋p1p2≤－3×（ ）2＋×＝，依题意，知X～B（n，p），则E（X）＝n（ －3＋p1p2）＝16，n＝≥＝27，所以至少需要27轮.故选A. 4.（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛.下列说法正确的是（　　） A.k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 B.k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为 C.在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k D.随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近 解析：BCD　对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为××＝，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为·（）4＋·（）4＝，乙赢得比赛的概率为·（）4＋·（）4＝，故B正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为2k×＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛中，甲赢得比赛的概率为·［1－·（）2k］，故随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近，故D正确. 5.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是0.18. 解析：甲队以4∶1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4∶1获胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18. 6.（2024·郑州第二次质量预测）有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲、乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. （1）求前3局比赛甲都取胜的概率； （2）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望. 解：（1）前3局比赛甲都获胜的概率为P＝××＝. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3， 其中，X＝0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则P（X＝0）＝×＝； X＝1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢，或者第1局乙赢，且第2局乙输， 则P（X＝1）＝×＋×＝； X＝2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输， 则P（X＝2）＝××＝； X＝3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢， 则P（X＝3）＝××＝. 综上，X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故X的数学期望为E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 7.（2024·河南五市第一次联考）某档电视节目举行了关于迎奥运知识竞赛活动，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方净胜2分结束，且多得2分的一方最终胜出.已知甲、乙两名选手分在同一组，两人都参与每一次抢题，且每次抢到题的概率都为.甲、乙两人每道题答对的概率分别为，，并且每道题两人答对与否相互独立，假设准备的竞赛题足够多. （1）求第二题答完比赛结束的概率； （2）求知识竞赛结束时，抢答题目总数X的期望E（X）. 解：（1）由条件，每次抢答题，甲得1分的概率为P甲＝×＋×＝， 每次抢答题乙得1分的概率为P乙＝1－P甲＝1－＝， 若第二题答完比赛结束，则前两次答题甲得2分或者乙得2分， 因此第二题答完比赛结束事件发生的概率P＝（ ）2＋（ ）2＝. （2）根据题意，竞赛结束时抢答题目的总数X的所有可能取值为2，4，6，8，…，2n，…（n∈N*）， 记pn＝P（X＝2n）， 由（1）知，当X＝2时，p1＝P（X＝2）＝，且pn＋1＝pn（n∈N*）， 则X的分布列可表示为： X 2 4 6 … 2n … P p1 p2 p3 … pn … ∴E（X）＝2p1＋4p2＋6p3＋8p4＋…＋2n·pn＋…＝＋4×p1＋6×p2＋8×p3＋…＋2n×pn－1＋…＝＋[4p1＋6p2＋8p3＋…＋2n·pn－1＋（2n＋2）·pn＋…]＝＋[（2p1＋4p2＋6p3＋…＋2n·pn＋…）＋2（p1＋p2＋p3＋…＋pn＋…）]＝＋[E（X）＋2]，解得E（X）＝. 8.（2024·茂名第二次综合测试）在一场球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p（0＜p＜1），且不同对阵的结果相互独立. （1）若p＝0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁. ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望. （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 解：（1）①记“甲获得第四名”为事件A， 则P（A）＝（1－0.6）2＝0.16. ②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X， 则X的所有可能取值为2，3，4. 连败两局：P（X＝2）＝（1－0.6）2＝0.16. X＝3可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， P（X＝3）＝0.62＋（1－0.6）×0.6×（1－0.6）＋0.6×（1－0.6）×（1－0.6）＝0.552， P（X＝4）＝（1－0.6）×0.6×0.6＋0.6×（1－0.6）×0.6＝0.288， 故X的分布列如下： X 2 3 4 P 0.16 0.552 0.288 故数学期望E（X）＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128. （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率为p3＋p（1－p）p2＋（1－p）p3＝（3－2p）p3. 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2. 因为（3－2p）p3－p2＝p2（3p－2p2－1）＝p2（2p－1）（1－p），且0＜p＜1， 所以p∈（ ，1）时，（3－2p）p3＞p2，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； p∈（ 0，）时，（3－2p）p3＜p2，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； p＝时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $