专题6 第4讲 大题专攻——成对数据的统计分析-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

第4讲　大题专攻——成对数据的统计分析 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 回归分析及预测 高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查经验回归方程的求解与运用、独立性检验等问题，常与概率综合考查，难度中等 独立性检验 二、真题感悟 1.（2024·全国甲卷理17题）（独立性检验）某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率，如果＞p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247） 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 解：（1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 K2＝＝4.687 5. 因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知＝＝0.64， 又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57， 所以＞p＋1.65， 所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 2.（2022·全国乙卷理19题）（回归分析、样本相关系数）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4. （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附：相关系数r＝，≈1.377. 解：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积＝＝＝0.06， 估计该林区这种树木平均一棵的材积量＝＝＝0.39. （2）（xi－）（yi－）＝xiyi－10＝0.013 4， （xi－）2＝－10（）2＝0.002， （yi－）2＝－10（）2＝0.094 8， 所以＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77， 所以样本相关系数r＝≈≈0.97. （3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以＝， 所以Y＝＝1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 重｜难｜排｜查 1.求经验回归方程 （1）收集样本数据，设为（xi，yi）（i＝1，2，…，n）（数据一般由题目给出）； （2）作出散点图，确定x，y具有线性相关关系（也可用样本相关系数r判断）； （3）把数据制成表格，并列出xi，yi，xiyi，； （4）计算，，，xiyi； （5）代入公式计算，的值； （6）确定经验回归方程＝x＋； （7）利用决定系数R2或残差分析判断拟合效果. 2.独立性检验的一般步骤 （1）根据样本数据列出2×2列联表； （2）计算随机变量χ2的观测值，查表确定临界值xα； （3）如果χ2≥xα，就推断“X与Y不独立”，这种推断犯错误的概率不超过P（χ2≥xα）；否则不能推断“X与Y不独立”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y不独立”. 回归分析及预测 【例1】　（2024·郑州第三次质量检测）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2020—2024年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（yi%）： 　　年份 年份代码　　　 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 xi 1 2 3 4 5 yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2020—2024年年份代码xi与yi的样本相关系数（精确到0.01）； （2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程； （3）预测2028年的酸雨区面积占国土面积的百分比. 附：样本相关系数r＝，≈6. 经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： ＝，＝－，xiyi＝70.6，＝113.69. 解：（1）由已知可得，＝＝3， ＝＝5.1， 由题可列下表： xi－ －2 －1 0 1 2 yi－ 1.3 0.4 －0.1 －0.3 －1.3 （xi－）（yi－）＝－5.9，＝，＝， r＝＝≈≈－0.98. （2）由问题（1）知，y与x的样本相关系数r≈－0.98，｜r｜接近1，所以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用一元线性回归模型进行描述. 由问题（1）知，＝＝＝－0.59， ＝－＝5.1－（－0.59）×3＝6.87， 所求经验回归方程为＝－0.59x＋6.87. （3）令x＝9，则＝－0.59×9＋6.87＝1.56，预测2028年的酸雨区面积占国土面积的百分比为1.56%. 感悟提升 　　回归分析通常用来判断两组数据之间的关系，解此类题时要清楚： （1）若两个变量呈现线性相关关系，可直接通过计算公式求回归方程； （2）若两个变量呈现非线性相关关系，解题时可利用化归与转化思想，通过恰当的变换，将其转化为线性相关关系，再求回归方程； （3）利用回归方程可以进行预测与估计，但要注意回归方程表示的是两组数据之间的相关关系，并不是函数关系，所以利用该方程求出的值是估计值，而不是一个确定的值. 　（2024·温州二模）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x（万元）与年收益y（万元）的8组数据： x 10 20 30 40 50 60 70 80 y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4 （1）用y＝bln x＋a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求出回归方程； （2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%.2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值.（精确到0.1万元） 附：①经验回归直线＝v＋中斜率和截距的最小二乘估计分别为： ＝，＝－·. ② yi ln xi （ln xi）2 yiln xi 161 29 20 400 109 603 ③ln 2≈0.7，ln 5≈1.6. 解：（1）＝，＝， ＝＝＝5， ∴＝－＝－5×＝2， ∴＝5ln x＋2. （2）设投入食品淀粉的资金为x万元，投入药用淀粉的资金为（200－x）万元，年收益为f（x）， ∴f（x）＝5ln x＋2＋（200－x）＝5ln x－x＋22， f'（x）＝－＝0⇒x＝50， 当0＜x＜50时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当50＜x＜200时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. ∴f（x）max＝f（50）＝5ln 50－5＋22＝5（2ln 5＋ln 2）＋17≈36.5. 独立性检验 【例2】　（2024·保定二模）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. （1）根据图中数据，估计强化训练后的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与成绩的中位数（中位数精确到0.01）； （2）我们规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”. 强化训练 是否优秀 合计 优秀人数 非优秀人数 强化训练前 强化训练后 合计 将上面的表格补充完整，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？ 解：（1）强化训练后的平均成绩约为 55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋85×0.32＋95×0.28＝81.4. 由于前三列概率之和为0.04＋0.16＋0.2＝0.4， 设中位数为80＋x，则0.032x＝0.1， 解得x＝3.125，所以中位数约为83.13. （2）零假设为H0：跳水运动员是否优秀与强化训练无关. 补充完整的表格为 强化训练 是否优秀 合计 优秀人数 非优秀人数 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 则χ2＝＝8＞7.879＝x0.005， 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关. 感悟提升 解决独立性检验问题的关键是过好三关 （1）假设关：假设两个分类变量无关； （2）公式关：把相关数据代入独立性检验公式求χ2的观测值； （3）对比关：将求出的χ2的观测值与临界值比对，进行准确判断. 　（2024·开封第三次质量检测）某学校有A，B两家餐厅，A餐厅有2种套餐选择，B餐厅有4种套餐选择，且这6种套餐各不相同.A餐厅距离教学楼相比于B餐厅要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生选择餐厅用餐的情况如下： 男 女 在A餐厅用餐 40 20 在B餐厅用餐 15 25 （1）以题中所给频率作为概率，求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率； （2）依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为性别与选择餐厅之间有关联？ 附：χ2＝. α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 解：（1）由表中数据可得，选择A餐厅的概率为＝，选择B餐厅的概率为＝， 设事件A1：甲、乙两名同学去A餐厅用餐， 事件B1：甲、乙两名同学去B餐厅用餐， 事件A：甲、乙两名同学选择同一套餐用餐， P（A1）＝（）2，P（B1）＝（）2，P（A｜A1）＝，P（A｜B1）＝， 则P（A）＝P（A1）P（A｜A1）＋P（B1）P（A｜B1）＝（）2×＋（）2×＝， 故甲、乙两名同学选择同一套餐的概率为. （2）根据数据可得列联表： 餐厅 性别 合计 男 女 在A餐厅用餐 40 20 60 在B餐厅用餐 15 25 40 合计 55 45 100 零假设为H0：认为性别与选择餐厅之间无关， 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈8.249＞7.879＝x0.005， 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以推断H0不成立，即性别与选择餐厅之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 1.（2024·湘潭质量检测）2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加. 长跑 短跑 男同学 30 10 女同学 a 10 若采用分层随机抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名. （1）求a的值以及该班同学选择长跑的概率； （2）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别有关？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解：（1）因为采用分层随机抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名，所以男女同学的比例为2∶1，则＝2，故a＝10， 该班同学选择长跑的概率为＝. （2）依题意，完善2×2列联表，如下， 性别 跑步项目类别 合计 长跑 短跑 男同学 30 10 40 女同学 10 10 20 合计 40 20 60 零假设为H0：选择跑步项目类别与学生性别无关， χ2＝＝＝3.75＜6.635＝x0.01， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断出H0不成立， 因此可以认为H0成立，即认为选择跑步项目类别与学生性别无关. 2.（2024·石家庄质量检测）在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（3≤x≤15）（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据. x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 企业研究人员建立了y与x的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下： 经验回归方程①：＝＋173；经验回归方程②：＝68x－160. 其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差＝观测值－预测值）； （1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为y关于x的经验回归方程，并说明理由； x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 （2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件.每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元.若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为X，总利润为Y. （ⅰ）求Y与X的关系式，并求E（X）和E（Y）； （ⅱ）记该月的成本利润率为p，在（1）中选择的经验回归方程下，求p的估计值.（结果保留2位小数） 附：成本利润率＝. 解：（1）经验回归方程②的残差数据如下表： x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 20 －18 －21 21 经验回归方程②的残差图如图所示： 经验回归方程①更适宜作为y关于x的经验回归方程. （以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分）： 理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小. 理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄. 理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近x轴. （2）（ⅰ）由题意知，每件产品为优等品的概率P0＝＝0.6， 则X～B（12，0.6），因此E（X）＝12×0.6＝7.2， 由Y＝20X＋15×（12－X）＝5X＋180， 则E（Y）＝5E（X）＋180＝216. （ⅱ）由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值＝＋173＝749（万元）， 则p＝≈0.29. 3.（2024·湖南常德模拟）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表： 时间x（天） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 每天普及的人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310 （1）从这9天的数据中任选4天的数据，以X表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求X的分布列和数学期望； （2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的经验回归方程. 参考数据：＝yi＝190，（xi－）2＝60， （yi－）2＝55 482，（xi－）（yi－）＝1 800. 解：（1）每天普及人数不少于240人的天数为3，则X的所有可能取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. （2）设原来数据的样本中心点为（，），去掉第5天的数据后样本中心点为（'，'）， '＝（1＋2＋3＋4＋6＋7＋8＋9）＝5，'＝x5＝5＝， '＝（9－y5）＝（9×190－203）＝， 故＝ ＝ ＝ ＝＝＝30， ＝'－'＝－30×5＝， 所以＝30x＋. 4.（2024·河南九师联盟）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物.它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重.城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源.某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3）.检测人员采集了50天的数据，制成2×2列联表（部分数据缺失）： PM2.5的平均浓度 燃油车日流量 合计 燃油车日流量x＜1 500 燃油车日流量x≥1 500 PM2.5的平均浓度y＜100 16 24 PM2.5的平均浓度y≥100 20 合计 22 （1）完成上面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆有关联？ （2）经计算得y与x之间的经验回归方程为＝0.12x－73.86，且这50天的燃油车的日流量x的标准差Sx＝249，PM2.5的平均浓度y的标准差Sy＝36.若样本相关系数r满足｜r｜≥0.75，则判定所求经验回归方程有价值；否则判定其无价值. ①判断该经验回归方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量x满足＝1.23×108，试求这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）. 参考数据：×1.23＝0.024 6，2492＝62 001，≈1 548.55. 解：（1）2×2列联表如下： PM2.5的平均浓度 燃油车日流量 合计 燃油车日流量x＜1 500 燃油车日流量x≥1 500 PM2.5的平均浓度y＜100 16 8 24 PM2.5的平均浓度y≥100 6 20 26 合计 22 28 50 零假设为H0：PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆无关联. 根据列联表中的数据，计算得 χ2＝≈9.624＞7.879＝x0.005， 所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆有关联. （2）①由题意，得＝＝0.12， 得（xi－）（yi－）＝0.12（xi－）2， 由Sx＝＝249， Sy＝＝36， 得r＝ ＝ ＝0.12×＝0.12×＝0.83＞0.75， 所以该经验回归方程有价值. ②因为Sx＝＝249， 即＝249， 所以＝≈1 548.55， 又＝0.12－73.86≈0.12×1 548.55－73.86＝111.966≈112.0. 故可推算出这50天PM2.5平均浓度y的平均数约为112.0 μg/m3. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $