专题5 培优点3 圆锥曲线中二级结论的应用-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点3　圆锥曲线中二级结论的应用 　　圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解. 椭圆、双曲线的焦点三角形 【例1】　（2023·全国甲卷文7题）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A.1　　　　B.2 C.4　　　　D.5 解析：B　法一　∵·＝0，∴∠F1PF2＝90°.由题意可知b2＝1，则＝｜PF1｜·｜PF2｜＝b2·tan＝1，解得｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B. 法二　由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋＝｜F1F2｜2＝4c2.∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝＝＝2.故选B. 必记结论 　　焦点三角形的面积公式：P为椭圆（双曲线）上异于长轴端点的一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则：在椭圆中，＝b2·tan；在双曲线中，＝. 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） A. B. C. D. 解析：D　设双曲线C2的方程为－＝1（a2＞0，b2＞0），则有＋＝＝＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为tan 45°＝，即＝＝1.所以＝－＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝＝＝. 椭圆、双曲线的焦半径 【例2】　如图，F1，F2为椭圆＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是（－，）. 解析：设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由角平分线性质知，＝，于是得＝⇒m＝e2x0＝x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－，）. 必记结论 1.若点P（x0，y0）在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右减）. 2.若点P（x0，y0）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）右支上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）. 3.焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两点，则＋＝. 已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且｜AF2｜＝2，则｜AB｜＝，cos∠F1AB＝－. 解析：∵a＝4，b＝2，由＋＝，∴＋＝，∴｜BF2｜＝，∴｜AB｜＝，∴｜AF1｜＝6，｜BF1｜＝，∴cos∠F1AB＝＝＝－. 切线、切点弦方程 【例3】　已知椭圆E：＋＝1，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（3，y0）， 过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为＋＝1， 同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为＋＝1. 因为点P在直线PA，PB上， 所以 所以直线AB的方程为＋＝1， 则直线AB过定点M（2，0）. 必记结论 1.已知点P（x0，y0）为椭圆（双曲线）上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为：在椭圆中＋＝1；在双曲线中－＝1. 2.若点P（x0，y0）是椭圆（双曲线）外一点，过点P（x0，y0）作椭圆（双曲线）的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是：在椭圆中＋＝1；在双曲线中－＝1. 已知椭圆C：＋y2＝1，直线l：y＝x＋3，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　法一　取椭圆上任意一点P，易知当过点P的直线l1与直线l平行且与椭圆C相切时，点P到直线l的距离取得最值.设直线l1的方程为y＝x＋k，与椭圆C的方程联立，得消去x得3y2－2ky＋k2－2＝0，令Δ＝4k2－12（k2－2）＝0，得k＝±，数形结合知，当k＝－时，点P到直线l的距离最大，最大值为＝.故选C. 法二　设P（x0，y0）为椭圆C上一点，则过点P的椭圆C的切线方程为＋y0y＝1，易知当切线与直线l平行时，点P到直线l的距离取得最值，所以x0＝－2y0，又P（x0，y0）在椭圆C上，所以＋＝1，即2＋＝1，得y0＝±，则点P的坐标为（ －，）或（ ，－）.易知点P的坐标为（ ，－）时，点P到直线l的距离最大，最大值为＝.故选C. 椭圆、双曲线的第三定义 【例4】　已知椭圆C：＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：B　如图所示，由椭圆的性质可得·＝·＝－＝－.由椭圆的对称性可得＝，＝，所以·＝－.同理可得·＝·＝·＝·＝－.所以直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（－）5＝－.故选B. 必记结论 　　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝. 椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，1］ D.［，1］ 解析：B　设P点坐标为（x0，y0），则＋＝1，＝，＝，于是·＝＝＝－.故＝－·.∵∈[－2，－1]，∴∈［，］. 圆锥曲线的垂径定理 【例5】　已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M（－12，－15），则E的方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：B　由题意可知kAB＝＝1，kMO＝＝，由双曲线的垂径定理得kMO·kAB＝，即＝，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线E的方程为－＝1. 必记结论 1.若AB是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－. 2.若AB是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝. 椭圆＋＝1中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程为（　　） A.4x＋9y－17＝0 B.4x－9y－17＝0 C.x＋3y－2－3＝0 D.x－3y－2＋3＝0 解析：A　设以点M（2，1）为中点的弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有两式相减得＋＝0，因为M（2，1）为中点，所以＝2，＝1，所以斜率k＝＝－＝－（ 或直接利用结论k＝－·＝－×＝－），所以所求直线方程为y－1＝－（x－2），即4x＋9y－17＝0. 双曲线中有关渐近线的距离 【例6】　（2024·长春模拟）已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，｜F1F2｜＝10，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则＝（　　） A. B. C. D.2 解析：B　由｜F1F2｜＝2c＝10，得c＝5.因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，所以d1d2＝＝，所以＝. 必记结论 1.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b. 2.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 3.双曲线上任意一点P到两渐近线的距离乘积为定值. 　过双曲线x2－y2＝2上任意一点P（m，n）分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为（　　） A. B.1 C.2 D.4 解析：B　双曲线x2－y2＝2的渐近线为x＋y＝0或x－y＝0，直线x＋y＝0与x－y＝0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为｜PA｜×｜PB｜＝＝1，故选B. 抛物线的焦点弦 【例7】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　） A. B. C. D.2 解析：C　∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知＋＝，∴＋＝＝1，∴｜BF｜＝.设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝＝，即3＋＝，∴sin2θ＝，sin θ＝，则△AOB的面积S△AOB＝＝＝，故选C. 必记结论 　　若倾斜角为α（α≠）的直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞y2）两点，则 （1）x1x2＝，y1y2＝－p2； （2）焦半径｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝； （3）焦点弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，且＋＝； （4）S△OAB＝（O为坐标原点）. 已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则｜AB｜＋｜DE｜的最小值为（　　） A.16 B.14 C.12 D.10 解析：A　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈（0，），则直线l2的倾斜角为＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知｜AB｜＝＝，｜DE｜＝＝，∴｜AB｜＋｜DE｜＝＋＝＝≥16，当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时取等号.∴｜AB｜＋｜DE｜的最小值为16. 1.已知椭圆C：＋＝1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为（　　） A.6 B.2 C.4 D.6 解析：B　设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知，＝b2tan＝6·tan＝2. 2.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（　　） A.x2＝8y B.x2＝4y C.y2＝8x D.y2＝4x 解析：C　设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C. 3.已知A，B是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：D　椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－，∴－＝－，∴＝，∴椭圆的离心率e＝＝＝. 4.如图，A，B分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：C　根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，又所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4（e2－1）＝－1⇒e＝.故选C. 5.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为（　　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：B　如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又＋＝，∴＋＝，即＝，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴＝，即3b2＝4a2，又c＝，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为－＝1. 6.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过原点O的直线交C于A，B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为（　　） A.　　　　B.2 C.　　　　D.3 解析：A　如图，∵·＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－，依题意知kPB·kPA＝，∴－·（－k）＝，∴＝1，即e＝. 7.（多选）已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若｜AB｜＝8，则以下结论正确的是（　　） A.＋＝1 B.｜AF｜＝6 C.｜BD｜＝2｜BF｜ D.F为AD中点 解析：BCD　设直线AB的倾斜角为θ，则θ＝，利用抛物线的焦点弦的性质，由｜AB｜＝＝8，则p＝3，｜AF｜＝＝6，｜BF｜＝＝2，＋＝＝，过点B作准线的垂线，垂足为B'，在Rt△DBB'中，cos θ＝，所以｜BD｜＝4，｜DF｜＝｜BF｜＋｜BD｜＝6，因此F为AD中点.故选B、C、D. 8.（多选）（2024·泸州阶段练习）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（　　） A.弦AB的最小值为 B.若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝ D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞） 解析：ABC　弦AB的最小值为通径，故A正确；由双曲线的定义得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B正确；根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝，故C正确；若直线AB的斜率为，所以＜，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以e＝∈（1，2），故D错误.故选A、B、C. 9.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x. 解析：依题意，＝，｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，则｜PF2｜＝4a，｜PF1｜＝2a.令双曲线的半焦距为c，又点F2（c，0）到渐近线的距离为b，则有cos∠PF2F1＝.在△PF1F2中，由余弦定理得｜F1F2｜2＋｜PF2｜2－2｜F1F2｜｜PF2｜cos∠PF2F1＝｜PF1｜2，即（2c）2＋（4a）2－2·2c·4a·＝（2a）2，整理得c2＋3a2－4ab＝0，即4a2－4ab＋b2＝0，解得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x. 10.已知P是椭圆＋＝1（a1＞b1＞0）和双曲线－＝1（a2＞0，b2＞0）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝，则e1·e2的最小值为　 解析：因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1，F2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得＝tan＝，化简得＝3，即－c2＝3（c2－），等式两边同除c2，得－1＝3－，所以4＝＋≥，解得e1·e2≥，所以e1·e2的最小值为. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $