专题5 培优点2 圆锥曲线中的设点、设线技巧-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点2　圆锥曲线中的设点、设线技巧 　　解决解析几何问题，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出点与线“设”的重要性，以达到简化运算的目的. 设点的技巧 【例1】　抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M（2，0），且☉M与l相切. （1）求抛物线C和☉M的方程； （2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与☉M相切.判断直线A2A3与☉M的位置关系，并说明理由. 解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点， 故可设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0）. 令x＝1，则y＝±， 根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方， 故P（1，），Q（1，－）， 因为OP⊥OQ， 故1＋×（－）＝0⇒p＝， 故抛物线C的方程为y2＝x， 因为☉M与l相切，故其半径为1， 故☉M的方程为（x－2）2＋y2＝1. （2）设A1（，y1），A2（，y2），A3（，y3）， 由直线的两点式可知，直线A1A2的方程为（－）（y－y2）＝（y1－y2）（x－）， 化简可得x－（y1＋y2）y＋y1y2＝0， 因为直线A1A2与圆M相切， 所以＝1⇒（2＋y1y2）2＝1＋（y1＋y2）2， 整理得（－1）＋2y1y2＋3－＝0， 又＝x2，代入得（－1）x2＋2y1y2＋3－＝0， 同理可得（－1）x3＋2y1y3＋3－＝0， 于是直线A2A3的方程为（－1）x＋2y1y＋3－＝0， 设M到直线A2A3的距离为d， 则有d2＝＝1， 此时直线A2A3与☉M也相切， 综上，直线A2A3与☉M相切. 感悟提升 1.由于抛物线方程中只有一个二次元，所以抛物线上动点的坐标可以用一个字母来表示. 2.椭圆与双曲线上的点可借助于三角换元设点，若常规设点，一般是用“设而不求”的思想方法解决问题. （2024·大连第一次模拟考试）设F1，F2分别是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内切圆M的半径为a（M为圆心），且∃λ∈R，使得＋3＝λ（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　） A. B. C.2 D.2 解析：A　不妨设点A在第一象限，M（xM，yM），A（xA，yA），则＝（xM，yM），＝（xM－xA，yM－yA），因为＋3＝λ，所以yM－yA＋3yM＝0，得yA＝4yM＝4a，所以＝·2c·4a＝·（｜AF1｜＋｜AF2｜＋2c）·a，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，所以｜AF1｜＝3c＋a，｜AF2｜＝3c－a.因为F1（－c，0），所以｜AF1｜＝＝＝＝＝xA＋a，所以3c＝xA，解得xA＝3a，所以A（3a，4a），代入双曲线C的方程得－＝1，解得b＝a，所以c＝＝a，所以双曲线C的离心率e＝＝.故选A. 设线的技巧 【例2】　（2024·贵阳适应性考试）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆C过点P（ 1，）. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角.若点P（ 1，）到直线l的距离为，求直线PM与直线PN的斜率之和. 解：（1）由题意知a＋c＝b，得（a＋c）2＝3b2， 又a2＝b2＋c2，所以（a＋c）2＝3（a2－c2）， 化简得a＝2c，所以b＝c. 因为椭圆C过点P（ 1，），所以＋＝1， 所以＋＝1，解得c＝1. 所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）由（1）知，F（1，0），设直线l的方程为x＝my＋1（m＞0）， 由点P（ 1，）到直线l的距离为，得＝，解得m＝2. 联立消去x整理得16y2＋12y－9＝0，Δ＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以直线PM与直线PN的斜率之和为＋＝＋＝1－·＝0. 感悟提升 　　在圆锥曲线与直线的问题当中，设直线的方法比较多，常见有以下几种类型： （1）当题干中直接或者隐含直线过定点（x0，y0）时，可设点斜式y－y0＝k（x－x0）. 局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论； （2）当题干中含有过y轴上一定点（0，b）时，或者在解题步骤中需要x1·x2或x1＋x2，需要消掉y，保留x时，设y＝kx＋b会简化解题步骤和计算量. 局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论； （3）当题干中含有过x轴上一定点（m，0）时，或者在解题步骤中需要y1·y2或y1＋y2，需要消掉x，保留y时，设x＝ky＋m会简化解题步骤和计算量. 局限性：不能表示平行于x轴的直线，需要单独讨论. 已知实数m，n满足2mn＝1.令m＝，n＝，记动点M（x，y）的轨迹为E. （1）求E的方程，并说明E是什么曲线； （2）过点F2（2，0）作相互垂直的两条直线l1和l2，l1和l2与E分别交于点A，B和C，D，证明：｜AB｜＝｜CD｜. 解：（1）由题意知2··＝1，故x2－y2＝2，所以E的方程为－＝1. 由方程得a＝b＝，c＝2， 所以E是以（－2，0），（2，0）为焦点，实轴长为2的等轴双曲线. （2）证明：当直线l1垂直于x轴时，则AB为通径，故｜AB｜＝＝2. 此时l2为x轴，此时｜CD｜为实轴长，故｜CD｜＝2， 所以｜AB｜＝｜CD｜； 当直线l1不垂直于x轴时，设l1：x＝ty＋2，l2：x＝－y＋2，t≠0，联立 消去x并整理得（t2－1）y2＋4ty＋2＝0， 因为l1与E交于两点，故t≠±1， 此时Δ＝16t2－4（t2－1）×2＝8（t2＋1）＞0， 所以｜AB｜＝｜y1－y2｜ ＝·＝， 同理，得｜CD｜＝＝， 所以｜AB｜＝｜CD｜. 1.已知抛物线C的方程为y＝x2，F为其焦点，点N坐标为（0，－4），过点F作直线交抛物线C于A，B两点，D是x轴上一点，且满足｜DA｜＝｜DB｜＝｜DN｜.则直线AB的斜率为（　　） A.± B.± C.± D.± 解析：B　设A（x1，y1），B（x2，y2），D（a，0），由题意，F（0，1），设直线AB的方程为y＝kx＋1，联立直线与抛物线方程，可得x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4.又｜DA｜＝｜DB｜＝｜DN｜＝，故A（x1，y1），B（x2，y2）是圆x2＋y2－2ax－16＝0上的点.将y＝kx＋1代入方程，得（1＋k2）x2＋（2k－2a）x－15＝0.∴－＝x1x2＝－4.∴k2＝，即k＝±.故选B. 2.（2024·怀化质检）已知P，Q（yPyQ＜0）分别为直线y＝x和y＝－x上的点，且△OPQ（O为坐标原点）的面积为2，则线段PQ的中点M的轨迹方程为（　　） A.x2－y2＝2 B.x2＋y2＝2 C.y2－x2＝2 D.x2＋y2＝4 解析：A　如图所示，不妨设P（a，a），Q（b，－b），M（x，y），则x＝，y＝，且∠POQ＝90°，｜OP｜＝｜a｜，｜OQ｜＝｜b｜，∴S△OPQ＝·｜a｜·｜b｜＝｜ab｜＝2，∵－ab＜0，∴ab＞0，则ab＝2，∴x2－y2＝－＝ab＝2，∴线段PQ的中点M的轨迹方程为x2－y2＝2.故选A. 3.（多选）（2024·南宁第一次适应性测试）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C交于P，Q两点，l2与C交于M，N两点，线段PQ的中点为G，线段MN的中点为H，则（　　） A.当｜PF｜＝2｜QF｜时，｜MN｜＝36 B.｜PQ｜＋｜MN｜的最小值为18 C.直线GH过定点（4，0） D.△FGH的面积的最小值为4 解析：AD　对于A，由题意得F（1，0），设直线l1的方程为x＝my＋1，则直线l2的方程为x＝－y＋1，由得y2－4my－4＝0，易知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，设M（x3，y3），N（x4，y4），同理得y3＋y4＝－，y3y4＝－4，又｜PF｜＝2｜QF｜，所以y1＝－2y2，所以m2＝，所以｜MN｜＝x3＋x4＋2＝－（y3＋y4）＋2＋2＝＋4＝36，故A正确.对于B，由A知｜MN｜＝x3＋x4＋2＝－（y3＋y4）＋2＋2＝＋4，又｜PQ｜＝x1＋x2＋2＝m（y1＋y2）＋2＋2＝4m2＋4，所以｜PQ｜＋｜MN｜＝＋4＋4m2＋4≥16，当且仅当4m2＝，即m＝±1时，等号成立，故B错误.对于C，由A知，G（2m2＋1，2m），H（ ＋1，－），所以直线GH：y－2m＝（x－2m2－1），令y＝0，得x＝3，所以直线GH过定点（3，0），故C错误.对于D，因为直线GH过定点A（3，0），所以S△FGH＝｜FA｜·｜yG－yH｜＝｜yG－yH｜＝｜2m＋｜≥4，当且仅当m＝±1时，等号成立，故D正确.综上，选A、D. 4.（2024·南充诊断）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上异于左、右顶点的一点，M为△PF1F2的内心，若5＋3＋3＝0，则该椭圆的离心率是. 解析：设P（x0，y0），M（x，y），由题可得F1（－c，0），F2（c，0），则＝（－c－x，－y），＝（c－x，－y），＝（x0－x，y0－y），因为5＋3＋3＝0，所以5（－c－x，－y）＋3（c－x，－y）＋3（x0－x，y0－y）＝（0，0），则可得y＝，所以△PF1F2的内切圆半径为，由椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又｜F1F2｜＝2c，所以＝（｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）×＝｜F1F2｜×｜y0｜，即（2a＋2c）×＝×2c×｜y0｜，即3a＝8c，所以椭圆的离心率e＝＝. 5.（2024·潍坊模拟）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）中，点A，C分别是E的左、上顶点，｜AC｜＝，且E的焦距为2. （1）求E的方程和离心率； （2）过点（1，0）且斜率不为零的直线交椭圆于R，S两点，设直线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k的值. 解：（1）因为｜AC｜＝，所以a2＋b2＝5. 因为焦距为2，所以半焦距c＝，则a2－b2＝3， 解得a2＝4，b2＝1， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1，其离心率e＝. （2）由（1）知C（0，1）. 设R（x1，y1），S（x2，y2），x1x2≠0，所以k1＝，k2＝. 由题意得直线RS：y＝k（x－1）（k≠±1且k≠0）， 代入＋y2＝1，得（4k2＋1）x2－8k2x＋4k2－4＝0， 则有x1＋x2＝，x1x2＝. 因为k1＋k2＝－3， 所以k1＋k2＝＋＝＝＝－3， 即（2k＋3）x1x2－（k＋1）（x1＋x2）＝0， 所以（2k＋3）－（k＋1）＝0， 整理得k2－2k－3＝0， 又k≠±1，所以k＝3，即k的值为3. 6.（2024·济南模拟）已知双曲线C：－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点P（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点. （1）若直线l的斜率k存在，求k的取值范围； （2）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求的值； （3）设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值. 解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为x＝my＋4（m≠0）， 联立x＝my＋4与－y2＝1，消去x可得（m2－4）y2＋8my＋12＝0. 由 可得－2＜m＜0或0＜m＜2. 由k＝可得k的取值范围为（ －∞，－）∪（ ，＋∞）. （2）由题意得A1（－2，0），A2（2，0）. 由根与系数的关系可知y1＋y2＝－，y1y2＝. 于是2my1y2＝－3（y1＋y2）. 因此＝＝＝＝＝＝＝－. （3）由（2）可知k2＝－3k1， 于是直线A1M与直线A2N的方程分别为y＝k1（x＋2），y＝－3k1（x－2）， 由可得交点G的横坐标为xG＝1， 如图，于是＝＝·＝·＝＝＝＝－1＋≥－1＋＝3， 故的最小值为3，当且仅当m＝0时等号成立. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $