专题5 培优点1 离心率的范围问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点1　离心率的范围问题 　　圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁. 借助圆锥曲线的定义 【例1】　已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上一点，PF1与C的左支交于点Q.若｜PQ｜＝｜PF2｜，则C的离心率的取值范围是（　　） A.（1，3] B.（2，3] C.（，3] D.（2，] 解析：C　由题意得｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜QF1｜－｜PF2｜＝｜QF1｜＝2a，所以｜QF2｜＝4a，设∠F1PF2＝θ，｜PF2｜＝m，由余弦定理的推论可得cos θ＝＝，则m＝，则c2－5a2＞0⇒e＞，设点P（x0，y0）（x0≥a），则＝b2·（ －1），m2＝（c－x0）2＋＝（ex0－a）2，即m＝ex0－a≥c－a，所以≥c－a⇒（e＋1）（e＋1）（e－3）≤0⇒e≤3，故e∈（，3]. 感悟提升 　　解此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围. 椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C2有公共的左、右焦点F1，F2，C1与C2在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率的取值范围是［，］，则双曲线C2的离心率的取值范围是（　　） A.［，5］ B.［，5］ C.［，］ D.［，＋∞） 解析：B　设｜F1F2｜＝2c，双曲线C2的实轴长为2m，因为C1与C2在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，则｜MF2｜＝｜F1F2｜＝2c，由椭圆的定义可得｜MF1｜＝2a－2c，由双曲线的定义可得｜MF1｜＝2m＋2c，所以2a－2c＝2m＋2c，则a－m＝2c，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则－＝2，即－＝2，因为≤e1≤，则＝－2∈［，］，故e2∈［，5］. 借助平面图形的性质 【例2】　（2024·南京六校调研）已知圆C1：x2＋y2＝b2与双曲线C2：－＝1（a＞0，b＞0），若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P可以作圆C1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，且∠APB＝，则双曲线C2的离心率的取值范围是（　　） A.（ 1，］ B.［，＋∞） C.（1，] D.[，＋∞） 解析：B　法一　如图，∵∠APB＝，∴∠APO＝（O是坐标原点），∴｜OP｜＝2｜OA｜＝2b.设P（m，n），则｜OP｜2＝m2＋n2＝4b2，又－＝1，∴m2（ ＋）＝5，又m2≥a2，∴5≥1＋，∴0＜≤4，≥，∴离心率e＝＝≥.故选B. 法二　如图，∵∠APB＝，∴∠APO＝（O是坐标原点），∴｜OP｜＝2｜OA｜＝2b，∴以O为圆心，以2b为半径的圆与双曲线有公共点，∴2b≥a，4b2≥a2，即4（c2－a2）≥a2，4c2≥5a2，∴离心率e＝≥.故选B. 感悟提升 借助平面图形的性质求离心率范围的步骤 （1）根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系； （2）将这些量结合圆锥曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式； （3）解不等式，确定离心率的取值范围. 1.已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为Q.若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A.（ ，1） B.（－1，1） C.（0，－1） D.（ 0，） 解析：B　设P（x0，y0），则Q（ ，y0），因为四边形QPF1F2为平行四边形，所以｜PQ｜＝｜F1F2｜，所以－x0＝2c，即x0＝－2c＝∈（－a，a），所以－1＜＜1，所以－1＜2－e2－2e＜1，又0＜e＜1，所以－1＜e＜1. 2.已知F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线的离心率的取值范围为（　　） A.（1，2） B.（1，3） C.（3，＋∞） D.（2，3） 解析：B　在△PF1F2中，由正弦定理知＝，因为2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，所以2｜PF2｜＝｜PF1｜.由双曲线的定义知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，因为｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，即4a＋2a＞2c，所以e＝＜3.又e＞1，所以e∈（1，3）. 借助题目中所给的不等信息 【例3】　已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧.若｜AQ｜≥2｜AP｜，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　） A.（1，] B.[，＋∞） C.（ 1，］ D.［，＋∞） 解析：C　由题意知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，不妨取双曲线的渐近线为y＝x，如图.由解得或∴Q（a，b），P（－a，－b）.又A为双曲线的左顶点，∴A（－a，0），∴｜AQ｜＝，｜AP｜＝＝b.∵｜AQ｜≥2｜AP｜，∴≥2b，即4a2≥3（c2－a2），∴e2≤.又e＞1，∴e∈（ 1，］.故选C. 感悟提升 借助题目中所给的不等信息求离心率范围的步骤 （1）找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，Δ的范围等； （2）列出不等式（组），化简得到离心率的不等关系式，从而求解. 1.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　） A.（，1） B.（0，） C.（0，） D.（，1） 解析：C　设B1（0，－b），B2（0，b），F2（c，0），A2（a，0），所以＝（a，－b），＝（－c，－b）.因为∠B1PB2为钝角，所以与的夹角为锐角，所以·＝－ac＋b2＞0，即a2－c2－ac＞0.两边同时除以a2并化简得e2＋e－1＜0，解得＜e＜，又0＜e＜1，所以0＜e＜. 2.（2024·湖南九校联盟第二次联考）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）与双曲线－＝1，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为（ ，）. 解析：依题意，对于椭圆方程，＜＝＜1，对于双曲线方程，e＝＝＝＝.不妨设t＝，则t∈（ ，1），于是f（t）＝，t∈（ ，1），由复合函数的单调性可得函数f（t）在区间（ ，1）上单调递增，故＜f（t）＜，即＜e＜，故双曲线离心率的取值范围为（ ，）. 　　 1.（2024·商丘模拟）若动直线mx＋ny＝2m＋n（m，n∈R）始终与椭圆C：＋＝1（a＞0且a≠）有公共点，则C的离心率的取值范围是（　　） A.（0，） B.（0，） C.［，1） D.［，1） 解析：C　由直线m（x－2）＋n（y－1）＝0得，直线过定点（2，1），由题意得，点（2，1）在椭圆上或椭圆内部，所以＋≤1，则a2≥6，所以椭圆焦点在x轴上，所以e＝＝∈［，1），故选C. 2.若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭圆的离心率e的取值范围是（　　） A.［，1） B.（ 0，］ C.［，1） D.（ 0，］ 解析：C　由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m，m，所以2m＋m＝2a，得到m＝a，又m≥a－c，所以a≥a－c，得到c≥a，所以e≥，又0＜e＜1，故≤e＜1. 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx（k＞0）与椭圆C相交于M，N两点（其中M在第一象限）.若M，F1，N，F2四点都在一个圆上，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　） A.[－1，1） B.（ ，－1］ C.（ ，1） D.（0，－1] 解析：C　设椭圆的半焦距为c，长半轴长为a，短半轴长为b.由椭圆的对称性和M，F1，N，F2四点共圆，知四边形MF1NF2为矩形，所以以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点，所以c＞b，则c2＞a2－c2，即2c2＞a2，得＜e＜1.故选C. 4.（2024·南昌三模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A.［，］ B.［，］ C.［，2］ D.[2，＋∞） 解析：A　由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，两式相加可得｜AF1｜＋｜BF1｜＝4a＋｜AB｜，则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＋2｜AB｜＝10b，即｜AB｜＝5b－2a，再由｜AB｜≥，可得5ab－2a2≥2b2，解得≤≤2，故e＝＝∈［，］.故选A. 5.设M是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点，P是C上的一个动点.当P运动到下顶点时，｜PM｜取得最大值，则C的离心率的取值范围是（　　） A.［，1） B.（ 0，］ C.［，1） D.（ 0，］ 解析：B　设P（x0，y0），M（0，b），因为＋＝1，a2＝b2＋c2，所以｜PM｜2＝＋（y0－b）2＝a2（ 1－）＋（y0－b）2＝－（ y0＋）2＋＋a2＋b2，－b≤y0≤b，由题意知，当y0＝－b时，｜PM｜2取得最大值，所以－≤－b，可得a2≥2c2，即e2≤，则0＜e≤. 6.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若E上点A满足｜AF1｜＝2｜AF2｜，且向量，夹角的取值范围为［，π］，则E的离心率的取值范围是（　　） A.[，] B.[，3] C.[3，5] D.[7，9] 解析：B　由双曲线定义得｜｜AF1｜－｜AF2｜｜＝2a，∵｜AF1｜＝2｜AF2｜，∴｜AF2｜＝2a，｜AF1｜＝4a，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠F1AF2＝＝＝，由题意得∠F1AF2∈［，π］，∴cos∠F1AF2∈［－1，－］，∴－1≤≤－，∴－1≤－≤－，∴7≤e2≤9，∴e∈[，3]. 7.（2024·黄山第一次质量检测）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l交C于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C的离心率的最大值为（　　） A. B. C.2 D. 解析：D　如图所示，不妨取渐近线方程为y＝x，又易知F1（－c，0），则直线l的方程为y＝（x＋c），联立直线l与双曲线的方程得可得M（ －，），所以｜F1M｜＝＝＝＝＝，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜－｜F1M｜＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝＝＝∈[1，3]，所以e2－1∈［，4］，解得≤e≤；因此双曲线C的离心率的最大值为.故选D. 8.（多选）设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：－＝1（a1＞0，b1＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为原点，下列说法正确的是（　　） A.若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则＋＝ B.若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则＋＝2 C.若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ，） D.若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ，2） 解析：BD　如图，连接MF1，设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，焦距为2c.由椭圆的定义，得m＋n＝2a.由双曲线的定义，得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1.当｜F1F2｜＝2｜MO｜时，∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，即a2＋＝2c2.由离心率的公式，得＋＝2，故A错误，B正确.当｜F1F2｜＝4｜MF2｜时，n＝c，即a－a1＝c，所以－＝，则e1＝.由0＜e1＜1，得＞1，所以＞，即1＜e2＜2，则e1e2＝.设2＋e2＝t（3＜t＜4），则＝＝2（ t＋－4）.令f（t）＝t＋－4，易知f（t）在（3，4）上单调递增，所以f（t）∈（ ，1），所以e1e2∈（ ，2），故C错误，D正确.选B、D. 9.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝4.若线段x－y＋4＝0（－2≤x≤8）上存在点M，使得线段MF2与E的一条渐近线的交点N满足｜F2N｜＝｜F2M｜，则E的离心率的取值范围是［，］. 解析：设M（x0，x0＋4）（－2≤x0≤8），易知F2（2，0）.因为｜F2N｜＝｜F2M｜，所以＝＝（x0－2，x0＋4）.设N（xN，yN），则（xN－2，yN）＝（x0－2，x0＋4），则xN＝，yN＝，－2≤x0≤8.易知xN＞0，yN＞0，点N在渐近线y＝x上，所以＝·，则＝＝1－.由－2≤x0≤8，得≤≤，所以≤≤.又－1＝，所以≤≤，所以≤e≤. 10.（2024·杭州二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12 cm，开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于. 解析：如图，由题意可知，｜AB｜＝8，｜PB｜＝12，｜MA｜＝｜MP｜＝6.设椭圆长轴长为2a，焦距为2c，则｜MB｜＝2a.cos∠AMB＋cos∠PMB＝＋＝0，解得｜MB｜＝2，即2a＝2，a＝.假设一小球刚好与圆锥的母线PA，PB分别切于点N，E，与椭圆切于点F，则｜MN｜＝｜MF｜，｜PN｜＝｜PE｜，｜BF｜＝｜BE｜，又由椭圆的性质可知，｜MN｜＝｜MF｜＝a－c＝－c，｜BE｜＝｜BF｜＝a＋c＝＋c，所以由｜MP｜＝6，｜PB｜＝12得｜PN｜＝6－｜MN｜＝6－＋c，｜PE｜＝12－｜BE｜＝12－－c，所以6－＋c＝12－－c，解得c＝3.所以椭圆的离心率为e＝＝＝. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $