专题5 第5讲 大题专攻——圆锥曲线中的最值、范围问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

第5讲　大题专攻——圆锥曲线中的最值、范围问题 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 最值问题 在解答题中会继续以椭圆、抛物线、双曲线为几何载体考查最值、范围问题.主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 范围问题 二、真题感悟 　（2023·全国甲卷理20题）（最值问题）已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，｜AB｜＝4. （1）求p； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值. 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0， 由Δ1＝16p2－8p＞0，得p＞. 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p， ∴｜AB｜＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－（舍去），故p＝2. （2）由（1）知，抛物线的焦点为F（1，0）. 由题意知直线MN的斜率不可能为0， ∴设MN的方程为x＝my＋t，M（x3，y3），N（x4，y4）， 联立消去x得y2－4my－4t＝0， ∴Δ＝16m2＋16t＞0，即m2＋t＞0， 由根与系数的关系得y3＋y4＝4m，y3y4＝－4t， ∵·＝0，∴（x3－1，y3）·（x4－1，y4）＝0， 即（x3－1）（x4－1）＋y3y4＝（my3＋t－1）（my4＋t－1）＋y3y4＝（m2＋1）y3y4＋m（t－1）（y3＋y4）＋（t－1）2＝（m2＋1）（－4t）＋m（t－1）·4m＋（t－1）2＝0， 即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0， 即4m2＝t2－6t＋1. 设F到MN的距离为d，则d＝， 又｜MN｜＝｜y3－y4｜＝·＝·＝4·， ∴S△MFN＝｜MN｜·d＝×4··＝2·｜t－1｜＝·｜t－1｜＝｜t－1｜＝（t－1）2. ∵4m2＝t2－6t＋1≥0，解得t≤3－2或t≥3＋2， ∴当且仅当t＝3－2时，S△MFN取得最小值12－8. 即△MFN面积的最小值为12－8. 重｜难｜排｜查 　圆锥曲线中最值（范围）问题的思维路径 （1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解； （2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解. 常从以下四个方面考虑： （ⅰ）利用根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （ⅱ）利用已知参数的范围，求新参数的范围，其核心是在两个参数间建立等量关系； （ⅲ）利用已知的或隐含的不等关系建立关于参数的不等式，从而求出参数的取值范围； （ⅳ）利用基本不等式求出参数的取值范围. 几何法求最值（范围） 【例1】　（2024·西安联考节选）若点P是双曲线C：－＝1右支上的一点，点A是圆E：x2＋（y－5）2＝1上的一点，点B是圆F：（x＋5）2＋y2＝1上的一点，求｜PA｜＋｜PB｜的最小值. 解：如图.双曲线C：－＝1中，a＝4，b＝3，则c＝＝5. 设右焦点为F2（5，0）. 圆E：x2＋（y－5）2＝1的圆心为E（0，5），半径r1＝1， 圆F：（x＋5）2＋y2＝1的圆心为F（－5，0），半径r2＝1，且F（－5，0）恰为双曲线的左焦点. 连接EF2交双曲线右支于点P，连接PF，则｜EF2｜＝5. 又点P是双曲线C右支上的一点，则｜PF｜＝｜PF2｜＋2a＝｜PF2｜＋8， 所以｜PA｜＋｜PB｜≥｜PE｜＋｜PF｜－r1－r2＝｜PE｜＋｜PF2｜＋8－2≥｜EF2｜＋6＝5＋6，当且仅当E，P，F2三点共线（P在EF2之间）时，等号成立. 即｜PA｜＋｜PB｜的最小值为5＋6. 感悟提升 　　若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用直线与圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决. 如图，点F是抛物线y2＝12x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝12x及圆（x－3）2＋y2＝16的实线部分上运动，且线段AB总是平行于x轴，求△FAB周长的取值范围. 解：抛物线的准线l：x＝－3，焦点F（3，0）. 由抛物线定义可得｜AF｜＝xA＋3， 圆（x－3）2＋y2＝16的圆心为（3，0），半径为4， 所以△FAB的周长为｜AF｜＋｜AB｜＋｜BF｜＝xA＋3＋（xB－xA）＋4＝xB＋7， 由抛物线y2＝12x及圆（x－3）2＋y2＝16，可得交点的横坐标为1， 所以xB∈（1，7），所以xB＋7∈（8，14）， 所以△FAB的周长的取值范围是（8，14）. 不等式法求最值（范围） 【例2】　若P，C，D为曲线G：y2＝－4x上的三个动点，∠CPD的平分线交x轴于点Q（a，0）（a＜－1），点Q到直线PC的距离为1，若PQ⊥CD，求a的取值范围. 解：设C（x1，y1），D（x2，y2），P（x0，y0）. 设直线PC的方程为x－x0＝m（y－y0），直线PD的方程为x－x0＝n（y－y0）， ∵PQ是∠CPD的平分线，点Q到直线PC的距离为1，∴点Q到直线PD的距离为1，由＝1， 可得（1－）m2＋2（x0－a）y0m－（x0－a）2＋1＝0， 同理可得（1－）n2＋2（x0－a）y0n－（x0－a）2＋1＝0， 即m，n是关于t的方程（1－）t2＋2（x0－a）y0t－（x0－a）2＋1＝0的两根，∴m＋n＝. 由得y2＋4my＋4x0－4my0＝0， ∴y0＋y1＝－4m，∴y1＝－4m－y0，同理可得y2＝－4n－y0， ∴y1＋y2＝－4（m＋n）－2y0， ∴kCD＝＝＝＝＝. ∵kPQ＝，kPQ·kCD＝－1， ∴＝，∴＞0， ∵a＜－1，∴16a2＋4a－8＞0，则－4a－9＞0， ∴a＜－时满足题意.∴a的取值范围为（－∞，－）. 感悟提升 构造不等式求最值（范围）的方法 （1）利用判别式来构造不等关系； （2）利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式； （4）利用基本不等式求最值（范围）. 　双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点（2，1）. （1）求双曲线C的方程； （2）设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于点M，N，求｜MN｜的最小值. 解：（1）由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2－4y2＝k（k≠0）， 把点（2，1）代入C：x2－4y2＝k（k≠0）可得k＝4， 所以双曲线C的方程为－y2＝1. （2）由题易知，点P在右支上时｜MN｜取最小值. 由（1）可得A1（－2，0），A2（2，0），设P（x，y），根据双曲线方程可得·＝， 设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2（k1，k2＞0）， 则k1k2＝，直线PA1的方程为y＝k1（x＋2），令x＝1，得M（1，3k1）， 直线PA2的方程为y＝k2（x－2），令x＝1，得N（1，－k2）， 所以｜MN｜＝｜3k1－（－k2）｜＝3k1＋k2≥2＝， 当且仅当3k1＝k2，即k1＝，k2＝时，等号成立. 故｜MN｜的最小值为. 函数法求最值（范围） 【例3】　已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C. （1）求C的方程； （2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程. 解：（1）设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（，）， 根据圆与y轴相切，可得＝｜PF｜＝，化简得y2＝4x， 所以C的方程为y2＝4x. （2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立⇒k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝1， 设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜｜tan θ｜，｜BN｜＝｜BF｜｜tan θ｜， 所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜， 因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝＋2＝， 由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝｜AB｜·（｜AM｜＋｜BN｜）＝＝＝， 设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝＝8（t＋＋）， 所以S'（t）＝8（1－－）＝8（）＝8， 当t＞时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜时，S'（t）＜0，S（t）单调递减， 所以当t＝，即｜k｜＝时，面积最小，此时k＝±， 故直线l的方程为y＝±（x－1），即x－y－＝0或x＋y－＝0. 感悟提升 构造函数法求最值（范围）的策略 　　先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），把所求最值（范围）的几何量（代数式）表示为某个函数，然后利用函数方法（单调性或导数）进行求解. 设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E：x2－＝1于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值. 解：由双曲线的对称性，知｜OA｜＝｜OC｜，｜OB｜＝｜OD｜， 所以四边形ABCD为平行四边形， 所以S四边形ABCD＝4S△OAD. 由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为x＝my＋2（m≠±）. 联立消去x，得（3m2－1）y2＋12my＋9＝0. Δ＝36（m2＋1）＞0， 设A（x1，y1），D（x2，y2）， 则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为A，D均在双曲线右支上， 所以 所以 解得0≤m2＜. 所以S△OAD＝×｜OF｜×｜y1－y2｜ ＝， ＝ ＝（0≤m2＜）. 令＝t（1≤t＜）， 则m2＝t2－1，所以S△OAD＝＝（1≤t＜）. 令函数f（t）＝－3t，易得f（t）在区间［1，）上单调递减， 所以当t＝1时，（S△OAD）min＝6. 所以四边形ABCD面积的最小值为24. 1.（2024·上海春招20题节选）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆Γ：＋＝1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点. （1）若点A的横坐标为2，求｜AF1｜； （2）设Γ的上、下顶点分别为M1，M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求｜OA｜的取值范围. 解：（1）由题意可知a＝，b＝，故c＝＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0）. 设点A的坐标为（x1，y1），由题意知x1＝2，则＝， 所以｜AF1｜＝＝. （2）由已知，得S1＝×4×｜y1｜＝2｜y1｜，S2＝×2×｜x1｜＝｜x1｜，且x1≠0，y1≠0. 由题意可得2｜y1｜≥｜x1｜，则｜x1｜≤｜y1｜，又＋＝1，所以＝6（1－）， 所以0＜＝6（1－）≤2， 解得≤＜2， 因此｜OA｜＝＝∈（，］. 故｜OA｜的取值范围为（，］. 2.已知双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0），离心率为2，右顶点为（1，0）. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求·的取值范围. 解：（1）由离心率e＝＝2， 又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2， 又右顶点为（1，0）， 所以a2＝1，所以b2＝3， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. （2）设直线l的方程为y＝kx＋2， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则由 得（3－k2）x2－4kx－7＝0， 因为直线l与双曲线C的一支交于M，N两点， 所以 解得3＜k2＜7. 因此·＝（x1，y1－2）·（x2，y2－2） ＝x1x2＋（y1－2）（y2－2） ＝x1x2＋k2x1x2 ＝（k2＋1）x1x2＝7 ＝7（1＋）， 因为3＜k2＜7，所以0＜k2－3＜4， 所以＞1， 所以·＝7（1＋）＞14， 故·的取值范围为（14，＋∞）. 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设与圆O：x2＋y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求线段AB长度的最大值. 解：（1）由题可知，＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2， 解得a2＝3，b2＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ①当AB⊥x轴或y轴时， 易得｜AB｜＝. ②当AB与x轴，y轴都不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m（k≠0）， 由已知＝， 得m2＝（k2＋1）， 把y＝kx＋m代入椭圆方程消去y， 整理得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 则Δ＝36k2m2－4（3k2＋1）（3m2－3） ＝36k2－12m2＋12＞0， 故x1＋x2＝，x1x2＝， ｜AB｜2＝（1＋k2）（x1－x2）2 ＝（1＋k2）·［－］ ＝ ＝ ＝ ＝3（1＋） ＝3＋≤3＋＝4， ∴｜AB｜≤2，当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立， 综上可知，｜AB｜的最大值为2. 4.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是若平面内动点M与两定点Q，P的距离的比值＝λ（λ＞0，λ≠1）是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2＋y2＝4，定点分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e＝. （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，过右焦点F斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于B，D（点B在x轴上方）两点，点S，T是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD. ①求的取值范围； ②将点S，F，T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为，求直线l的方程. 解：（1）法一（特殊值法）　令M（±2，0），则由题意可得＝，且a＝2c， 得c2＝2，∴a2＝8，b2＝a2－c2＝6， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. 法二（定义法）　设M（x，y），由题意可得＝＝λ（λ＞0，λ≠1），整理得x2＋y2＋x＋＝0， 则又＝，得a＝2，c＝. ∴b2＝a2－c2＝6，故椭圆C的标准方程为＋＝1. 法三　设M（x，y），则y2＝4－x2，由题意可得＝＝＝， ∵为常数，∴＝，又＝，得a2＝8，c2＝2，∴b2＝a2－c2＝6， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）①由＝＝，且＝，得＝. 令＝μ，则＝μ，设D（x0，y0），则由（1）可得3＋4＝24，且B（（μ＋1）－μx0，－μy0）. 又直线l的斜率k＞0，∴x0∈（－2，）. 将代入3x2＋4y2－24＝0得3[（1＋μ）－μx0]2＋4μ2－24＝0， 化简得（μ＋1）（5μ－3－μx0）＝0， ∵μ＞0，∴μ＝∈（，1），即的取值范围为（，1）. ②由①知，＝＝，由阿波罗尼斯圆的定义知，S，T，F在以B，D为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆的圆心为C1，半径为r，与直线l的另一个交点为N， 则有＝＝， 得r＝. 又＝πr2＝π，故r＝， ∴－＝. 又｜DF｜＝＝ ＝2－x0， ∴－＝－＝－＝＝， 解得x0＝－，y0＝－＝－， ∴k＝＝， ∴直线l的方程为y＝x－. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $