专题2 培优点4 三角函数与解三角形中的最值（范围）问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点4　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题 　　三角函数与解三角形中的最值（范围）问题主要考查三角函数式、角、边长、周长及面积的最值（范围）问题，常利用三角函数的单调性（有界性）、基本不等式等求解. 三角函数中的最值（范围）问题 【例1】　已知函数f（x）＝（2sin x－cos x）cos x＋sin2x. （1）设x∈（0，π），求不等式f（x）≤1的解集； （2）若当x∈［，］时，不等式m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围. 解：（1）f（x）＝（2sin x－cos x）cos x＋sin2x＝2sin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin（2x－）， 因为f（x）≤1，所以sin（2x－）≤， 所以＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 又x∈（0，π），所以f（x）≤1的解集为x｜0＜x≤或≤x＜π. （2）不等式m≥f（x）恒成立，等价于m≥f（x）max. 因为x∈［，］，所以≤2x－≤. 故当2x－＝，即x＝时，f（x）取得最大值，最大值为f（）＝2. 所以m≥2，即实数m的取值范围为[2，＋∞）. 感悟提升 求三角函数式的最值（范围）问题的注意点 （1）把三角函数式正确地化简成单一函数形式； （2）根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式的范围. 　函数f（x）＝2sin（x＋）＋cos 2x的最大值为（　　） A.1＋　　　B.　　　C.2　　　D.3 解析：B　f（x）＝2sin（x＋）＋cos 2x＝2sin（x＋）＋sin［2（x＋）］，令θ＝x＋，g（θ）＝2sin θ＋sin 2θ，所以g'（θ）＝2cos θ＋2cos 2θ＝2cos θ＋2（2cos2θ－1）＝4cos2θ＋2cos θ－2＝2（2cos θ－1）（cos θ＋1），因为cos θ＋1≥0恒成立，所以令2cos θ－1＞0，解得θ∈（2kπ－，2kπ＋）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递增，令2cos θ－1＜0，解得θ∈（2kπ＋，2kπ＋）（k∈Z），此时函数g（θ）单调递减，所以当θ＝2kπ＋（k∈Z）时，g（θ）取得最大值，所以g（θ）max＝g（）＝2×＋＝，即f（x）的最大值为.故选B. 解三角形中的最值（范围）问题 【例2】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知（a＋b）（b－a）＝ab，且cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C. （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）求的取值范围. 解：（1）证明：（a＋b）（b－a）＝ab，即b2－a2＝ab，　① 因为cos（A－B）－cos（A＋B）＝2sin2C，所以sin Asin B＝sin2C， 由正弦定理得，×＝（）2， 其中R为△ABC外接圆的半径，所以ab＝c2，　② 由①②得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2， 所以△ABC是直角三角形. （2）由（1）知B＝，所以sin C＝sin（－A）＝cos A. 根据正弦定理，得＝ ＝sin A＋cos A＝sin（A＋）. 因为c＜b，所以ac＜ab＝c2，所以a＜c， 所以0＜A＜，所以＜A＋＜， 所以＜sin（A＋）＜1， 所以1＜sin（A＋）＜， 即＝＋1∈（2，1＋）. 所以的取值范围是（2，1＋）. 感悟提升 解与三角形有关的最值（范围）问题的基本步骤 （1）定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的范围； （2）构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； （3）求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝1，cos A＝. （1）求角B的大小； （2）如图，D为△ABC外一点，AB＝BD，∠ABC＝∠ABD，求的最大值. 解：（1）因为a＝1，所以cos A＝， 由正弦定理＝＝， 可得cos A＝， 整理可得2sin Bcos A＝2sin C－sin A， 又因为sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A，化简可得sin A＝2sin Acos B， 而sin A≠0，则cos B＝，又B∈（0，π）， 则B＝. （2）在△BCD中，由＝可得sin∠CDB＝， 在△ABC中，由＝可得sin∠CAB＝，所以＝， 设AB＝BD＝t（t＞0），由余弦定理CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠CBD， AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos∠CBA， 可得CD2＝t2＋1＋t，AC2＝t2＋1－t， 因此＝＝1＋≤1＋＝3，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立， 所以的最大值为，此时AB＝BD＝1. 1.在△ABC中，AB＝4，BC＝3，则当函数f（B）＝cos 2B－cos（B＋）－sin（B＋）＋5取得最小值时，AC＝（　　） A.　　　B.2 C.4　　　D.2 解析：A　因为函数f（B）＝2cos2B－1－2cos（B＋－）＋5＝2cos2B－2cos B＋4＝2（cos B－）2＋，所以当cos B＝时，函数f（B）取得最小值，此时，由余弦定理，得AC＝＝＝. 2.如图，C，D是两所学校所在地，C，D到一条公路的垂直距离分别为CA＝8 km，DB＝27 km.为了缓解上下学的交通压力，市政府决定在AB上找一点P，分别向C，D修建两条垂直的公路PC和PD，设∠APC＝θ（0＜θ＜），则当PC＋PD最小时，AP＝12km. 解析：由题意得，PC＋PD＝＋＝＋（0＜θ＜），令y＝＋（0＜θ＜），则y'＝，令y'＝0，则tan θ＝，当y'＞0时，tan θ＞，当y'＜0时，tan θ＜.故当tan θ＝时，y取得最小值，此时AP＝＝＝12. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝4，且sin A，sin B，sin C成等差数列，则△ABC面积的最大值为. 解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C.由正弦定理可得2b＝a＋c，又a＋c＝4，所以2b＝4，即b＝2.所以由余弦定理可得22＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac－2accos B，即ac（1＋cos B）＝6，又22＝a2＋c2－2accos B≥2ac－2accos B，即2≥ac（1－cos B），当且仅当a＝c时等号成立.所以2×6≥ac（1－cos B）×ac（1＋cos B），即2×6≥（acsin B）2.因为sin B＞0，所以0＜acsin B≤2，所以S△ABC＝acsin B≤ ，所以△ABC面积的最大值为. 4.（2024·石家庄教学质量检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝（2sin A，sin A＋cos A），n＝（cos A，cos A－sin A），f（A）＝m·n，A∈［，］. （1）求函数f（A）的最大值； （2）若f（A）＝0，a＝，sin B＋sin C＝，求△ABC的面积. 解：（1）由题知，f（A）＝m·n＝（2sin A，sin A＋cos A）·（cos A，cos A－sin A）＝2sin A·cos A＋cos2A－sin2A＝sin 2A＋cos 2A＝2sin（2A＋）. 因为≤A≤，所以≤2A＋≤， 所以－1≤sin（2A＋）≤，所以f（A）∈[－2， ]， 所以函数f（A）的最大值为. （2）因为f（A）＝2sin（2A＋）＝0， 所以2A＋＝kπ，k∈Z， 所以A＝－，k∈Z. 因为A∈［，］，所以A＝. 在△ABC中，由正弦定理得， ＝＝＝＝2， 所以b＋c＝（sin B＋sin C）＝， 所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝6，　① 由余弦定理得b2＋c2－2bccos A＝a2， 即b2＋c2－bc＝3，　② 由①②解得bc＝1， 所以△ABC的面积为bcsin A＝×1×＝. 5.（2024·石景山一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsin A－a＝0. （1）求角B的大小； （2）求cos A＋cos C的取值范围. 解：（1）因为2bsin A－a＝0，由正弦定理边化角得：2sin Bsin A－sin A＝0， 所以（2sin B－）sin A＝0， 由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B－＝0， 即sin B＝，又0＜B＜，所以B＝. （2）由（1）可知B＝，所以A＋C＝， 所以cos A＋cos C＝cos A＋cos（－A）＝cos A＋coscos A＋sinsin A ＝cos A－cos A＋sin A＝cos A＋sin A＝sin（A＋）， 由于在锐角△ABC中， 所以＜A＜， 所以＜A＋＜， 所以sin＜sin（A＋）≤sin， 所以＜sin（A＋）≤1，所以cos A＋cos C的取值范围为（，1］. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $