专题2 培优点2 带绝对值的三角函数性质-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点2　带绝对值的三角函数性质 　　带绝对值的三角函数性质是高考的热点，解决此类问题常用分类讨论和数形结合思想. 1.y＝｜sin x｜的图象 y＝｜sin x｜的图象是将y＝sin x图象中x轴下方的图象沿x轴对折上去得到的（x轴上方图象保持不变），如图1. 2.y＝sin｜x｜的图象 y＝sin｜x｜的图象是将y＝sin x图象中y轴左边部分除掉，再将y轴右边的部分对折到左边得到的（y轴右边图象保持不变），如图2. 3.y＝｜sin x｜＋｜cos x｜的图象与性质 令f（x）＝｜sin x｜＋｜cos x｜，由f（x＋）＝｜sin（x＋）｜＋｜cos（x＋）｜＝｜cos x｜＋｜－sin x｜＝｜sin x｜＋｜cos x｜＝f（x），知f（x）是周期函数，最小正周期T＝. 先作x∈［0，］部分的函数图象，然后沿x轴向左、向右平移（每次平移个单位长度）可得到y＝｜sin x｜＋｜cos x｜（x∈R）的图象，如图3. 因此从图象可以得到它的性质：①定义域为R；②值域为[1，]；③图象关于y轴对称，为偶函数；④在［－，］（k∈Z）上单调递减，在［，＋］（k∈Z）上单调递增；⑤最小正周期为. sin｜x｜型的三角函数问题 【例1】　关于函数f（x）＝sin｜x｜，下列说法正确的是（　　） A.f（x）的最小值为0 B.f（x）为奇函数 C.f（x）的最小正周期为π D.f（x）在（－，－）上单调递减 解析：D　f（x）＝sin｜x｜＝最小值为－，所以A不正确；又由f（－x）＝sin｜－x｜＝sin｜x｜＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，所以B不正确；因为f（）＝sin＝1，f（π＋）＝sin（π＋）＝－1，所以f（）≠f（π＋），π不是f（x）的周期，所以C不正确；当x＜0时，f（x）＝－sin x，函数f（x）在［－，－］上单调递减，又因为（－，－）⊆［－，－］，所以函数f（x）在（－，－）上单调递减，D正确. 感悟提升 　　解决关于sin｜x｜的三角函数问题的关键是先判断sin｜x｜是偶函数，其次是研究x≥0时的函数性质，最后根据偶函数的对称性即可得到x＜0的函数性质，从而解决问题. 　（多选）设函数f（x）＝2sin2x－3sin｜x｜＋1，则（　　） A.f（x）是偶函数 B.f（x）在[－2π，2π]上有6个零点 C.f（x）的最小值为－ D.f（x）在［－，0］上单调递减 解析：ABC　选项A，函数f（x）的定义域为R，由f（－x）＝2sin2（－x）－3sin｜－x｜＋1＝2sin2x－3sin｜x｜＋1＝f（x），可得f（x）是偶函数，正确；选项B，当x≥0时，f（x）＝2sin2x－3sin x＋1，由2sin2x－3sin x＋1＝0，可得sin x＝或sin x＝1，则当x∈[0，2π]时，x＝或x＝或x＝，又f（x）是偶函数，则当x∈[－2π，0]时，x＝－或x＝－或x＝－，则f（x）在[－2π，2π]上有6个零点，正确；选项C，当x≥0时，f（x）＝2sin2x－3sin x＋1＝2（sin x－）2－，则当sin x＝时f（x）取得最小值－，又f（x）是偶函数，则f（x）的最小值为－，正确；选项D，f（－）＝2sin2（－）－3sin｜－｜＋1＝（1－）＋1＜1，f（0）＝2sin20－3sin｜0｜＋1＝1，则f（－）＜f（0），则f（x）在［－，0］上不单调递减，错误.故选A、B、C. ｜sin x｜型的三角函数问题 【例2】　（多选）已知函数f（x）＝2（sin x＋｜sin x｜）cos x，则下列结论中正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）的图象关于点（，0）中心对称 C.f（x）在［－，］上单调递增 D.f（x）的值域为[－2，2] 解析：BD　f（x＋π）＝2（－sin x＋｜sin x｜）·（－cos x）＝2（sin x－｜sin x｜）·cos x≠f（x），所以A错误；f（）＝2（sin＋｜sin｜）·cos＝0，f（＋x）＝2（cos x＋｜cos x｜）（－sin x），f（－x）＝2（cos x＋｜cos x｜）·sin x＝－f（＋x），所以f（x）的图象关于点（，0）中心对称，B正确；因为f（－）＝0，f（0）＝0，f（－）＝f（0），所以C错误；因为f（x）＝即f（x）＝k∈Z，所以f（x）的值域为[－2，2]，D正确. 感悟提升 　　解决有关｜sin x｜的三角函数问题，其关键点在于根据sin x的符号构造分段函数，逐段分析函数的图象与性质即可. 　已知函数f（x）＝tan x＋｜tan x｜，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为 B.点（－，0）是函数f（x）图象的一个对称中心 C.f（x）的值域为[0，＋∞） D.不等式f（x）＞2的解集为（＋2kπ，＋2kπ）（k∈Z） 解析：C　f（x）＝tan x＋｜tan x｜＝作出函数f（x）的图象，如图.观察图象，f（x）的最小正周期为π，A错误；f（x）的图象没有对称中心，B错误；f（x）的值域为[0，＋∞），C正确；不等式f（x）＞2，即x∈［kπ，＋kπ）（k∈Z）时，2tan x＞2，得tan x＞1，解得＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，所以f（x）＞2的解集为（＋kπ，＋kπ）（k∈Z），故D错误.故选C. 带双绝对值的三角函数问题 【例3】　（多选）（2024·遵义三模）关于函数f（x）＝2sin｜x｜＋｜sin x｜，有以下四个结论，其中正确的有（　　） A.f（x）的最小正周期为2π B.f（x）在［，］上单调递减 C.方程xf（x）－1＝0的所有根之和为0 D.若函数f（ωx）（ω＞0）在[0，2π]上有且仅有5个零点，则ω∈［2，） 解析：BD　因为f（－x）＝2sin｜－x｜＋｜－sin x｜＝2sin｜x｜＋｜sin x｜＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2sin｜x｜＋｜sin x｜＝k∈Z，如图，作出函数f（x）的图象，由图可知，函数f（x）不是周期函数，故A错误；函数f（x）在［，］上单调递减，故B正确；对于C，显然x＝0时方程xf（x）－1≠0，当x≠0时，则方程xf（x）－1＝0的根即为函数y＝f（x），y＝交点的横坐标，因为函数y＝f（x）是偶函数，函数y＝是奇函数，所以两个函数的交点不具有对称性，所以方程xf（x）－1＝0的所有根之和显然不为0，故C错误；对于D，当x∈[0，2π]时，ωx∈[0，2ωπ]，因为函数f（ωx）（ω＞0）在[0，2π]上有且仅有5个零点，所以2ωπ∈[4π，5π），所以ω∈［2，），故D正确.故选B、D. 感悟提升 　　解决此类带双绝对值的三角函数问题，分析函数的奇偶性和周期性是两个必备的过程.此类问题的解题步骤可以归纳为：①分析奇偶性、周期性；②去绝对值，写成分段函数；③画出草图，结合图象和对称性的定义判断，包括代入必要的特殊值. 　（多选）设函数f（x）＝cos｜2x｜＋｜sin x｜，则（　　） A.f（x）是偶函数 B.f（x）的最小正周期为π C.f（x）的最小值为0 D.f（x）在[0，2π]上有3个零点 解析：ABC　因为函数f（x）定义域为R，而且f（－x）＝cos｜2x｜＋｜sin x｜＝f（x），所以f（x）是偶函数，A正确；因为函数y＝cos｜2x｜的最小正周期为π，y＝｜sin x｜的最小正周期为π，所以f（x）的最小正周期为π，B正确；f（x）＝cos｜2x｜＋｜sin x｜＝cos 2x＋｜sin x｜＝1－2sin2x＋｜sin x｜＝－2（｜sin x｜－）2＋，而｜sin x｜∈[0，1]，所以当｜sin x｜＝1时，f（x）的最小值为0，C正确；由上可知f（x）＝0可得1－2sin2x＋｜sin x｜＝0，解得｜sin x｜＝1或｜sin x｜＝－（舍去），因此在[0，2π]上只有x＝或x＝共2个零点，所以D不正确.故选A、B、C. 1.如图，曲线对应的函数是（　　） A.y＝｜sin x｜ B.y＝sin｜x｜ C.y＝－sin｜x｜ D.y＝－｜sin x｜ 解析：C　注意到图象所对应的函数值有正有负，因此排除A、D，又当x∈（0，π）时，sin｜x｜＞0，而图中显然是小于零，因此排除B.故选C. 2.已知函数f（x）＝｜tan（x－）｜，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）的一个周期是 B.f（x）的值域是{y｜y∈R，且y≠0} C.直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴 D.f（x）的单调递减区间是（2kπ－，2kπ＋），k∈Z 解析：D　函数f（x）的最小正周期为2π，故A错；f（x）的值域为[0，＋∞），故B错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，所以x＝不是f（x）的对称轴，故C错；令kπ－＜x－＜kπ，k∈Z，可得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间是（2kπ－，2kπ＋），k∈Z，故D正确. 3.函数f（x）＝2｜sin x｜＋cos 2x在［－，］上的单调递减区间为（　　） A.［－，－］和［0，］ B.［－，0］和［，］ C.［－，－］和［，］ D.［－，］ 解析：B　因为函数f（x）＝2｜sin x｜＋cos 2x在［－，］上满足f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；当0≤x≤时，则有f（x）＝2sin x＋cos 2x＝－2sin2x＋2sin x＋1＝－2（sin x－）2＋，所以x∈［，］时，由复合函数的单调性可知，正弦函数单调递增，二次函数单调递减，函数f（x）单调递减；所以0≤x≤时，单调递减区间为［，］，又因为其为偶函数，所以单调递减区间为［－，0］和［，］.故选B. 4.对于函数f（x）＝（sin x＋cos x）－｜sin x－cos x｜，下列说法正确的是（　　） A.f（x）的值域为[－1，1] B.函数f（x）的最小正周期是π C.当且仅当x＝＋2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最小值 D.当且仅当x∈（2kπ，＋2kπ）（k∈Z）时，f（x）＞0 解析：D　f（x）＝作出函数f（x）的图象如图所示，f（x）的值域为［－1，］，故A错；f（x）的最小正周期是2π，故B错；当且仅当x＝＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，故C错；当且仅当x∈（2kπ，＋2kπ）（k∈Z）时，f（x）＞0，故D对. 5.（多选）已知函数f（x）＝sin｜x｜＋｜cos x｜，则下列叙述正确的有（　　） A.2π是函数y＝f（x）的一个周期 B.函数y＝f（x）是偶函数 C.函数y＝f（x）在区间［，］上单调递减 D.∀x1，x2∈R，｜f（x1）－f（x2）｜≤ 解析：BC　对于A，f（－）＝sin＋｜cos ｜＝1，f（）＝sin＋｜cos｜＝－1≠f（－），则2π不是函数y＝f（x）的一个周期，故A错误；对于B，f（－x）＝sin｜－x｜＋｜cos（－x）｜＝sin｜x｜＋｜cos x｜＝f（x），则函数f（x）为偶函数，故B正确；对于C，当x∈［，］时，f（x）＝sin x－cos x＝sin（x－），x－∈［，π］，可知函数f（x）在［，］上单调递减，故C正确；对于D，当x＞0时，f（x）＝sin x＋｜cos x｜，此时f（）＝sin＋｜cos｜＝，f（）＝sin＋｜cos｜＝－1，即f（）－f（）＝＋1＞，故D错误. 6.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0），且函数y＝｜f（x）｜的最小正周期为2π，则函数y＝｜f（x）｜的单调递增区间为（2kπ－，2kπ＋）（k∈Z）. 解析：函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0），且函数y＝｜f（x）｜的最小正周期为2π，所以ω＝，令kπ＜x＋＜kπ＋，解得2kπ－＜x＜2kπ＋，故函数的单调递增区间为（2kπ－，2kπ＋）（k∈Z）. 7.已知函数f（x）＝｜sin ωx｜＋｜cos ωx｜（ω＞0）在区间（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（0，］. 解析：f（x）＝＝＝，ω＞0.令2kπ≤4ωx≤（2k＋1）π，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，即f（x）的单调递增区间为［，］，k∈Z，ω＞0，所以只需k∈Z，解得2k≤ω≤，k∈Z，ω＞0，则解得－＜k≤.又k∈Z，所以k＝0，所以0＜ω≤，即ω的取值范围是（0，］. 8.设O为坐标原点，定义非零向量＝（a，b）的“相伴函数”为f（x）＝asin x＋bcos x（x∈R），＝（a，b）称为函数f（x）＝asin x＋bcos x的“相伴向量”. （1）设函数g（x）＝2sin（－x）－cos（＋x），求函数g（x）的相伴向量； （2）记＝（0，2）的“相伴函数”为f（x），若方程f（x）＝k＋1－2｜sin x｜在区间x∈[0，2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围. 解：（1）因为g（x）＝2sin（－x）－cos（＋x）＝2（cos x－sin x）－（cos x－sin x）＝－sin x＋cos x，所以函数g（x）的相伴向量为＝（－，）. （2）由题意，＝（0，2）的“相伴函数”f（x）＝0×sin x＋2×cos x＝2cos x， 方程f（x）＝k＋1－2｜sin x｜即2cos x＝k＋1－2｜sin x｜，x∈[0，2π]， 则方程2cos x＝k＋1－2｜sin x｜，x∈[0，2π]有四个实数解， 所以k＝2cos x－1＋2｜sin x｜，x∈[0，2π]有四个实数解， 令h（x）＝2cos x－1＋2｜sin x｜，x∈[0，2π]， ①当x∈[0，π]时，h（x）＝2cos x－1＋2sin x＝4sin（x＋）－1， ②当x∈（π，2π]时，h（x）＝2cos x－1－2sin x＝－4sin（x－）－1， 作出h（x）的图象，如图，由图可知，当1≤k＜3时，函数h（x）与y＝k有四个交点， 即实数k的取值范围为[1，3）. 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $