专题2 培优点1 三角函数特征量ω，φ的求解-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点1　三角函数特征量ω，φ的求解 　　三角函数中求ω、φ的值（范围）问题，是高考的难点和热点，主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等进行考查，需要学生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象. 由三角函数的最值（值域）求ω、φ的值（范围） 【例1】　将函数f（x）＝2cos2－cos（x＋）图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象.若对任意的x∈R，均有g（x）≤g（）成立，则φ的最小值为　. 解析：f（x）＝2cos2－cos（x＋）＝1＋cos x－cos（x＋）＝sin x＋cos x＋1＝sin（x＋）＋1.由题意可知，g（x）＝sin（2x＋2φ＋）＋1，若对任意的x∈R，g（x）≤g（）成立，则2×＋2φ＋＝2kπ＋（k∈Z），即φ＝kπ＋（k∈Z）.又φ＞0，所以当k＝0时，φ最小，最小值为. 感悟提升 　　由三角函数的最值（值域）求ω、φ的值（范围），主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围. 　若函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）在［0，］上的值域是［－，1］，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.［，3］ C.［3，］ D.［，］ 解析：B　因为ω＞0，所以当x∈［0，］时，ωx－∈［－，－］，因为函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）在［0，］上的值域是［－，1］，所以≤－≤，解得≤ω≤3. 由三角函数图象的对称中心、对称轴间的距离求ω、φ的值（范围） 【例2】　已知函数f（x）＝2cos（ωx－）＋1（ω＞0）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（，］ C.［，） D.［，＋∞） 解析：A　因为x∈（0，2π），ω＞0，所以ωx－∈（－，2ωπ－），设z＝ωx－，画出y＝2cos z＋1的大致图象如图.要使f（x）的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称轴，则2ωπ－∈（－，3π］.解得ω∈（0，］. 感悟提升 　　利用最小正周期T，根据三角函数图象的两对称中心的距离、对称中心到对称轴的距离、两对称轴间的距离的关系，可建立关于T，ω，φ的方程使问题获解. 　已知ω＞0，函数f（x）＝cos的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　） A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 解析：A　注意正、余弦型函数的对称中心与对称轴的最短距离为，依题意，可得－≥.将T＝代入上式，得ω≥2，故选A. 由三角函数的单调性求ω、φ的值（范围） 【例3】　已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＜0）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　） A.［－，－］ B.［－，0） C.［－，－］ D.［－，－］ 解析：A　因为函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＜0）的最小正周期T＝，所以π－≤×，即－2≤ω＜0.当x∈（，π）时，ωπ＋≤ωx＋≤＋，依题意知－π＋2kπ≤ωπ＋＜ω＋≤2kπ，k∈Z，解得－＋2k≤ω≤－＋4k，k∈Z.又－2≤ω＜0，所以当k＝0时成立，ω∈［－，－］. 感悟提升 　　由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的一个单调区间[m，n]（区间也可以是开区间或半开半闭区间）求解ω的取值范围，可将区间端点值代入后，去对应［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）或［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）列出不等式求解.另外，因为函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在一个周期内的单调递减（增）区间的区间长度恰好是，所以具有单调性的区间长度必不超过，根据这个性质有时也可求出ω的范围. 　已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx，g（x）＝cos ωx－sin ωx，ω＞0，在区间（0，）上，若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则ω的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（0，1] C.（0，］ D.［，］ 解析：A　由题意得f（x）＝sin（ωx＋），g（x）＝cos（ωx＋）.令t＝ωx＋，由x∈（0，），得t∈（，π＋）.因为在区间（0，）上，f（x）单调递增，g（x）单调递减，所以得ω≤，所以0＜ω≤.故选A. 由三角函数的零点求ω、φ的值（范围） 【例4】　设函数f（x）＝sin在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　） A.［，） B. C. D. 解析：C　由x∈（0，π），得ωx＋∈.根据函数f（x）在区间（0，π）恰有三个极值点，知＜πω＋≤，得＜ω≤.根据函数f（x）在区间（0，π）恰有两个零点，知2π＜πω＋≤3π，得＜ω≤.综上，ω的取值范围为（，］. 感悟提升 　　利用三角函数的零点与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围. 　（多选）已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0），若f（x）在区间（，π］内没有零点，则ω的值可以是（　　） A. B. C. D. 解析：AB　由f（x）在区间（，π］内没有零点，得π－＜＝，得ω＜，同时需满足k∈Z，解得3k＋≤ω＜k＋，k∈Z，显然当k＝0和k＝－1时符合条件，且ω＞0，所以ω的取值范围为（0，）∪［，）.故选A、B. 1.已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x＝对称，则φ＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　依题意得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ＜π，所以φ＝，故选B. 2.（2024·贵阳适应性考试）若将函数y＝tan（ωx＋）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan（ωx＋）的图象重合，则ω的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：D　y＝tan（ωx＋）y＝tan（ωx－＋）＝tan（ωx＋），∴－＝＋kπ（k∈Z），又∵ω＞0，∴ωmin＝. 3.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω∈N）在（0，）上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的值为（　　） A.3　　　B.2或3 C.2或4　　D.3或4 解析：D　由x∈（0，），得ωx＋∈（，＋），画出函数y＝sin x的大致图象，如图， 由图可知，＜＋≤，解得＜ω≤.因为ω∈N，所以ω＝3或ω＝4. 4.已知函数f（x）＝sin（ ωx－）（1＜ω＜2），若存在x1，x2∈R，当｜x1－x2｜＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，则函数f（x）的最小正周期为（　　） A.　　　　B. C.2π　　　　D.4π 解析：B　因为存在x1，x2∈R，当｜x1－x2｜＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，所以k·＝k·＝2π，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又因为1＜ω＜2，则k＝3，所以ω＝，所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝，故选B. 5.已知f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0），且函数y＝f（x）恰有两个极大值点在［0，］上，则ω的取值范围是（　　） A.（7，13] B.[7，13） C.（7，10] D.[7，10） 解析：B　因为0≤x≤，ω＞0，所以≤ωx＋≤＋.又因为f（x）在［0，］上恰有2个极大值点，所以由正弦函数图象可知，≤＋＜，解得7≤ω＜13. 6.已知f（x）＝sin（2x－φ）（ 0＜φ＜）在［0，］上单调递增，且f（x）在（ 0，）上有最小值，那么φ的取值范围是（　　） A.［，） B.［，） C.［，） D.［，） 解析：B　由x∈［0，］，可得2x－φ∈［－φ，－φ］，又由0＜φ＜，且f（x）在［0，］上单调递增，可得－φ≤，所以≤φ＜.当x∈（ 0，）时，2x－φ∈（ －φ，－φ），由f（x）在（ 0，）上有最小值，可得－φ＞，则φ＜.综上，≤φ＜. 7.（多选）已知函数f（x）＝cos（ωx＋）（ω＞0）在区间（0，2π）上恰有4个零点，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）在区间（0，2π）上有且仅有1个极大值点 B.f（x）在区间（0，2π）上有且仅有2个极小值点 C.ω的取值范围是（，］ D.f（x）在区间（0，）上单调递减 解析：BCD　因为0＜x＜2π，所以＜ωx＋＜2πω＋，令ωx＋＝t，则y＝cos t，作出y＝cos t的大致图象如图.若f（x）在区间（0，2π）上恰有4个零点，则＜2πω＋≤，解得＜ω≤，故C正确；由图象可知，f（x）在区间（0，2π）上有1或2个极大值点，故A错误；f（x）在区间（0，2π）上有且仅有2个极小值点，故B正确；当0＜x＜时，＜ωx＋＜＋≤×＋＝＜π，所以f（x）在区间（0，）上单调递减，故D正确.故选B、C、D. 8.在函数f（x）＝sin（2x－φ）（φ＞0）的图象与x轴的所有交点中，点（，0）离原点最近，则φ的值可以为（答案不唯一，满足0＜φ≤均可）.（写出一个即可） 解析：令f（x）＝0得，sin（2x－φ）＝0，所以2x－φ＝kπ（k∈Z），解得x＝＋（k∈Z），因为点（，0）离原点最近，且φ＞0，所以≤｜－｜，所以0＜φ≤.所以可取φ＝. 9.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜）的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，若对任意的x∈（ ，），不等式f（x）＞恒成立，则φ的取值范围为［，］. 解析：由于函数y＝f（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，知函数y＝f（x）的最小正周期为T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ）.当x∈（ ，）时，＋φ＜2x＋φ＜＋φ，因为－＜φ＜，所以－＜2x＋φ＜.由于不等式f（x）＞对任意的x∈（ ，）恒成立，所以解得≤φ≤.因此φ的取值范围是［，］. 10.已知函数f（x）＝sin ωx－cos ωx（ω＞0），若集合{x∈（0，π）｜f（x）＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是（，］. 解析：函数f（x）＝sin ωx－cos ωx＝2sin（ωx－），令2sin（ωx－）＝－1，解得ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ（k∈Z），所以x＝＋或x＝＋（k∈Z），设直线y＝－1与y＝f（x）在（0，＋∞）上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，则xA＝＋，xB＝＋.由于方程f（x）＝－1在（0，π）上有且只有四个实数根，则xA＜π≤xB，即＋＜π≤＋，解得＜ω≤. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $