专题1 第3讲 小题研透——平面向量-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

第3讲　小题研透——平面向量 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 平面向量的线性运算及基本定理（共线向量定理） 本部分以考查与平面向量基本定理有关的线性运算、向量数量积的运算、向量的夹角及模为主.单独命题时以选择、填空题考查，难度中等偏下，有时也在解答题中突出向量作为预备知识的工具作用，难度中等偏下 平面向量的数量积及其应用（平面向量的夹角（垂直）、模） 与向量有关的最值（范围）问题 二、真题感悟 1.（2022·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的线性运算）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　） A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 解析：B　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 2.（2024·新高考Ⅰ卷3题）（平面向量的数量积及垂直）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），则x＝（　　） A.－2　　　　B.－1 C.1　　　　D.2 解析：D　法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故选D. 3.（2022·新高考Ⅱ卷4题）（由平面向量的夹角求参数）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　） A.－6 B.－5 C.5 D.6 解析：C　由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 4.（2023·新高考Ⅱ卷13题）（求平面向量的模）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝. 解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝. 重｜难｜排｜查 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.向量平行的坐标表示 （1）如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（b≠0），则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0； （2）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为（x2－x1）（y3－y1）－（x3－x1）（y2－y1）＝0. 3.向量数量积的应用 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）： （1）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0； （2）求解夹角问题，常利用夹角公式：cos θ＝＝（其中θ为a与b的夹角）； （3）求模长问题，常利用模长公式：｜a｜＝＝或｜｜＝. 易错提醒　找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视. 平面向量的线性运算 【例1】　（1）在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，M为BC的中点，则＝（　B　） A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ （2）如图，BE，CD分别是△ABC的边AC，AB上的中线，BE与CD交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则x＋y＝. 解析：（1）如图，因为在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD，所以AB∥CD，AD＝BC.因为M为BC的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋＋＝＋.故选B. （2）由题意知，点F是△ABC的重心，∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋）＝＋＝a＋b，∴x＝y＝，x＋y＝. 感悟提升 1.对平面向量加法运算抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法运算抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化. 2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比. 1.已知向量a＝（1，0），b＝（2，1）.若ka－b与a＋2b共线，则k＝－；若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，则实数m的值为. 解析：∵向量a＝（1，0），b＝（2，1），∴a，b不共线.由题意知ka－b＝（k－2，－1），a＋2b＝（5，2）.若ka－b与a＋2b共线，则2（k－2）＋5＝0，解得k＝－.∵＝2a＋3b＝（8，3），＝a＋mb＝（1＋2m，m），且A，B，C三点共线，∴∥，即＝，解得m＝. 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋（b－2c）＋c＝0，则△ABC的形状为等边三角形. 解析：∵a＋（b－2c）＋c＝0，∴a＋（b－2c）＋c（－）＝0，即（a－c）＋（b－c）＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形. 平面向量的数量积运算 【例2】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　B　） A.　　　　B. C.　　　　D.1 （2）在菱形ABCD中，AB＝2，点E，F分别为BC和CD的中点，且·＝4，则·＝（　B　） A.1 B. C.2 D. 解析：（1）因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B. （2）作出图形如图，选择一组不共线的向量，作为基底.因为点E，F分别为BC和CD的中点，所以·＝·（＋）＝·＋＝4，所以·＝2.所以·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝·＋－＝×2＝，故选B. 感悟提升 平面向量数量积问题的解题方法 （1）借“底”数字化：要先选取一组合适的基底（一般用已知的向量表示未知的向量），建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解； （2）借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决. 　（2024·兰州市高三诊断考试）在等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点，则cos＜，＞＝－. 解析：如图，取AB的中点O，连接OC，以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.不妨设等边△ABC的边长为2，则A（－1，0），B（1，0），C（0，），所以D（－，），E（，），则＝（，），＝（－，），所以cos＜，＞＝＝＝－. 平面向量中的最值（范围）问题 【例3】　（1）已知a，b，c是平面向量，a与c是单位向量，且＜a，c＞＝，若b2－8b·c＋15＝0，则｜a－b｜的最小值为－1； （2）（2024·天津高考14题）在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为－. 解析：（1）由题意，令a＝（1，0），c＝（0，1），设b＝（x，y），∵b2－8b·c＋15＝0，∴x2＋（y－4）2＝1，其表示以（0，4）为圆心，半径r＝1的圆.｜a－b｜＝，∴｜a－b｜min＝－1＝－1. （2）以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（，1），所以＝（－，1），＝（－1，0），＝（0，1），因为＝λ＋μ，所以（－，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由B（1，0），E（，1）可得直线BE的方程为y＝－3（x－1），设F（a，3－3a）（≤a≤1），则G（，），所以＝（a，3－3a），＝（，），所以·＝a·＋（3－3a）·＝5a2－6a＋＝5（a－）2－，所以当a＝时，·取得最小值，为－. 感悟提升 平面向量中最值（范围）问题的求解思路 （1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值（范围）问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； （2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. 1.（2024·石家庄教学质量检测）在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是（　　） A.［－，－］ B.［－，］ C.［－，］ D.［－，－］ 解析：A　如图，在平行四边形ABCD中，令＝，＝，因为＋＝，所以＋＝，以AE，AF为邻边作平行四边形AEGF，则＋＝＝，所以点G一定在AC上.在△AEG中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，所以cos∠BAD＝－cos∠AEG＝－＝－＝，又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈［－，－］，故选A. 2.（2024·湖南教研联盟第二次联考）设＝（1，0），＝（0，2），对满足条件｜－－｜＝2｜－｜的点C（x，y），O为坐标原点，｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则实数m的取值范围为（　　） A.（－∞，－7） B.[13，＋∞） C.（13，＋∞） D.（－∞，－7）∪[13，＋∞） 解析：B　由｜－－｜＝2｜－｜得｜（x－1，y－2）｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝20，表示以（1，2）为圆心，2为半径的圆.｜x－2y＋m｜＋｜x－2y－7｜的值与x，y无关，则表示圆在两平行线x－2y＋m＝0和x－2y－7＝0之间.则由题意知≥2，解得m≤－7或m≥13，结合图形知m≥13，故选B. 1.（2024·贵阳摸底）如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝（　　） A.－＋ B.－＋ C.＋ D.－ 解析：A　因为D为线段BC的中点，则＝＋，因为点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝＝（＋）＝＋，因此，＝－＝＋－＝－＋.故选A. 2.已知平面向量a＝（1，m－1），b＝（m，m＋3），若a·b＝｜a｜｜b｜，则实数m＝（　　） A.3或－1 B.3 C.1或－3 D.－3 解析：B　由a·b＝｜a｜｜b｜可知a与b同向共线.令1×（m＋3）＝（m－1）×m，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，a＝（1，2），b＝（3，6），符合题意；当m＝－1时，a＝（1，－2），b＝（－1，2），不符合题意.故选B. 3.（2024·湖北十一名校第二次联考）已知向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则a·（a＋b）＝（　　） A.a2 B.b2 C.（a＋b）2 D.（a－b）2 解析：C　由题知｜a｜2＝｜b｜2＝｜a－b｜2，所以｜b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2－2a·b，即a·b＝｜a｜2，所以a·（a＋b）＝a2＋a·b＝｜a｜2，而（a＋b）2＝a2＋b2＋a·b＝a2＝｜a｜2，故选C. 4.设向量＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 解析：C　由题意得，＝－＝（a－1，1），＝－＝（－b－1，2），∵A，B，C三点共线，∴＝λ且λ∈R，则可得2a＋b＝1，∴＋＝（＋）（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当b＝2a＝时，等号成立，∴＋的最小值为8. 5.（2024·淄博一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于x轴对称，向量a＝（0，1），若满足＋a·＝0的点A的轨迹为E，则（　　） A.E是一条垂直于x轴的直线 B.E是一个半径为1的圆 C.E是两条平行直线 D.E是椭圆 解析：B　设A（x，y），则＝（x，y），＝（x，－y），则＝－＝（0，－2y），所以＋a·＝x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－1）2＝1，所以点A的轨迹E是一个半径为1的圆.故选B. 6.已知非零向量，满足＝，且·＝，则△ABC为（　　） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：D　由·＝，得cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝.由＝，得（＋）·＝0，∴角A的角平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.故选D. 7.圆的内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·＝（　　） A.12 B.－12 C.20 D.－20 解析：B　如图，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，所以·＝（＋）·＝·＋·＝｜｜·｜｜cos∠BDA－｜｜｜｜·cos∠BDC＝｜｜2－｜｜2＝4－16＝－12.故选B. 8.（2024·福建适应性练习卷）已知O是△ABC所在平面内一点，且｜｜＝2，·＝－1，·＝1，则∠ABC的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　法一（数形结合法）　由题意知，·－·＝（－）·＝·＝＝2，则｜｜＝，如图1，固定AB，则AC可绕着点A旋转，C的轨迹是以A为圆心，半径为的圆（除去直线AB与圆A的交点），显然当直线BC与圆A相切时，∠ABC取得最大值，此时AC⊥BC，根据勾股定理得｜BC｜＝＝，所以△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝，故选B. 法二（利用余弦定理求解）　由题意知，·－·＝（－）·＝·＝＝2，则｜｜＝，如图2，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则c＝2，b＝，由余弦定理得，cos∠ABC＝＝＝＝＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，又∠ABC∈（0，π），函数y＝cos x在（0，π）上单调递减，cos＝，所以0＜∠ABC≤，故选B. 9.（多选）（2024·武汉调研）已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（－3，4），则（　　） A.若a∥b，则tan θ＝－ B.若a⊥b，则sin θ＝ C.｜a－b｜的最大值为6 D.若a·（a－b）＝0，则｜a－b｜＝2 解析：ACD　若a∥b，则4cos θ＝－3sin θ，tan θ＝－，A正确；若a⊥b，则－3cos θ＋4sin θ＝0，tan θ＝，所以sin θ＝±，B错误；因为｜a｜＝＝1，｜b｜＝＝5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，所以C正确；若a·（a－b）＝0，则a2＝a·b，则｜a－b｜＝＝＝＝＝2，D正确.故选A、C、D. 10.（多选）（2024·丹东阶段测试）设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，则（　　） A.a·b＋b·c＋c·a＝－ B.＜a，b＞＝120° C.｜a－c｜＝ D.cos＜a－c，b－c＞＝ 解析：ACD　将a＋b＋c＝0两边平方得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋a·c＋b·c）＝0，由a2＝b2＝1，c2＝3，得a·b＋b·c＋c·a＝－，故A正确；将a＋b＝－c两边平方得（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝c2，则a·b＝，所以＜a，b＞＝60°，故B错误；因为a＋c＝－b，所以｜a＋c｜＝｜b｜＝1，1＝｜a＋c｜2＝4＋2c·a，所以c·a＝－，所以｜a－c｜2＝4－2c·a＝7，即｜a－c｜＝，故C正确；由C的分析得b＋c＝－a，与C同理可得b·c＝－，｜b－c｜＝，所以（a－c）·（b－c）＝a·b－b·c－a·c＋c2＝，所以cos＜a－c，b－c＞＝，故D正确.故选A、C、D. 11.（多选）对任意两个非零向量a，b，定义新运算：aⓧb＝，已知非零向量m，n满足｜m｜＞3｜n｜且向量m，n的夹角θ∈（，），若4（mⓧn）和4（nⓧm）都是整数，则mⓧn的值可能是（　　） A.2 B. C.3 D.4 解析：BC　由题意得nⓧm＝＝（k∈Z），因为｜m｜＞3｜n｜＞0，所以0＜＜，因为θ∈（，），所以＜sin θ＜1，所以0＜sin θ＜，即0＜＜，解得0＜k＜，因为k∈Z，所以k＝1，所以nⓧm＝＝，则＝，故mⓧn＝＝4sin2θ，因为θ∈（，），所以＜sin θ＜1，因为0＜＜，所以0＜＜，所以＜sin θ＜1，所以＜sin2θ＜1，则＜4sin2θ＜4，即mⓧn∈（，4）.结合选项知选B、C. 12.（2024·嘉兴调研）已知平面向量a，b，c，a＝（－1，），b＝（，－1），c是非零向量，且c与a，b的夹角相等，则c的坐标可以为（1，1）（答案不唯一，满足横、纵坐标相等且不为0即可）.（只需写出一个符合要求的答案） 解析：设c＝（x，y），由c与a，b的夹角相等，得＝，∴＝，则x＝y，即c的坐标满足x＝y≠0即可. 13.已知向量，满足｜｜2＋｜｜2＝4，｜｜2＝2，设＝2＋，则｜｜的取值范围为［，］. 解析：由｜｜2＋｜｜2＝4，｜｜2＝2可得·＝1，则｜＋｜2＝｜｜2＋｜｜2＋2·＝6，即｜＋｜＝，｜－｜＝｜｜＝，因为＝2＋＝（＋）＋（－），所以｜｜＋｜－｜－｜｜≤｜｜≤｜＋｜＋｜－｜，即≤｜｜≤.所以｜｜的取值范围为［，］. 14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝，半径为1的☉A分别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧EF上的一个动点，则·的取值范围是[－11，－9]. 解析：法一（坐标法）　如图，以A为原点，垂直于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则B（2，－2），C（2，2），设P（cos θ，sin θ），其中θ∈［－，］.所以·＝（2－cos θ，－2－sin θ）·（2－cos θ，2－sin θ）＝（2－cos θ）2＋sin2θ－12＝－7－4cos θ.因为cos θ∈［，1］，所以·∈[－11，－9]. 法二（几何法）　如图，取BC的中点M，连接PM，则两个动向量，均可用一个动向量和一个定向量表示.·＝（－）·（＋）＝－.因为MC为定值，所以·的变化可由的变化确定.连接AM，易得AM＝2，MC＝2，当P为劣弧EF与AM的交点时，PM取得最小值，为AM－1＝1；连接EM，PM的最大值为EM＝＝.所以－的取值范围是[－11，－9]，即·∈[－11，－9]. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $