专题1 第2讲 小题研透——不等式-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

第2讲　小题研透——不等式 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 不等式的概念、性质及应用 本部分知识在高考中作为载体考查其他知识，不等式的性质多与常用逻辑用语模块知识相结合；不等式的解法，多与集合基本运算相结合，各类题型均有涉及，以中档题为主 一元二次不等式（含参一元二次不等式及二次不等式恒成立问题） 利用基本不等式求最值（构造基本不等式） 二、真题感悟 1.（2024·上海春招13题）（不等式的性质）已知a，b，c∈R，b＞c，则下列不等式一定成立的是（　　） A.a＋b2＞a＋c2 B.a2＋b＞a2＋c C.ab2＞ac2 D.a2b＞a2c 解析：B　法一　当b＞c≥0时，b2＞c2，当c＜b≤0时，b2＜c2，所以a＋b2＞a＋c2不一定成立，故A错误；因为b＞c，a2≥0，所以a2＋b＞a2＋c成立，故B正确；当a＞0，c＜b≤0时，ab2＜ac2，故C错误；当a＝0时，a2b＞a2c不成立，故D错误.综上，选B. 法二　令a＝0，b＝－1，c＝－2，分别代入选项A、B、C、D可知只有a2＋b＞a2＋c成立，故选B. 2.（2022·全国甲卷理12题）（不等式的概念与性质）已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则（　　） A.c＞b＞a B.b＞a＞c C.a＞b＞c D.a＞c＞b 解析：A　由题意得＝4tan，因为当x∈（0，）时，x＜tan x，所以tan＞，即＞1，所以c＞b.因为当x∈（0，）时，sin x＜x，所以cos＝1－2sin2＞1－2×（）2＝，即b＞a，所以c＞b＞a.故选A. 3.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷12题）（基本不等式）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（　　） A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 解析：BC　因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤，所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－（x＋y）2＝（x＋y）2，故（x＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误.故选B、C. 重｜难｜排｜查 1.不等式的倒数性质和分数性质 （1）倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒＜； ②a＜0＜b⇒＜. （2）分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；②假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 2.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 3.解形如ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论. 4.基本不等式的常见变形 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）； （2）＋≥2（a，b同号）； （3）ab≤（）2（a，b∈R）； （4）≥≥≥（a＞0，b＞0）.当且仅当a＝b时，上面不等式的“＝”成立. 不等式的性质及应用 【例1】　（2024·杭州质检）若a＞b，则（　　） A.a2＞b2 B.＜ C.＜ D.a｜a｜＞b｜b｜ 解析：D　对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，若取a＝2 025，b＝2 024，满足a＞b，此时＝1＜，所以B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D. 感悟提升 利用不等式的性质判断正误的两种方法 （1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 　（多选）（2024·长郡中学模拟）若a＞b＞0＞c，则（　　） A.＞ B.＞ C.ac＞bc D.a－c＞2 解析：ABD　由于a＞b＞0＞c，对于A：－＝c（－）＝c（）＞0，故－＞0，所以＞，故A正确；对于B：由于a＞b＞0，所以＞，故B正确；对于C：当a＞b＞1时，ac＜bc，故C错误；对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c≥2＝2，故D正确. 含参一元二次不等式的解法 【例2】　（2024·南通如皋诊断）已知集合M＝{x｜x2－2mx－3m2≤0}，N＝{x｜x2＋mx－2m2≤0}，定义b－a为集合{x｜a≤x≤b}的长度.若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为（　　） A.3 B.4 C.5 D.10 解析：D　当m＝0时，M∩N＝{0}不合题意.当m≠0时，关于x的方程x2－2mx－3m2＝0的两根为－m，3m，关于x的方程x2＋mx－2m2＝0的两根为m，－2m，当m＞0时，M＝{x｜－m≤x≤3m}，N＝{x｜－2m≤x≤m}，M∩N＝{x｜－m≤x≤m}，当m＜0时，M＝{x｜3m≤x≤－m}，N＝{x｜m≤x≤－2m}，M∩N＝{x｜m≤x≤－m}.因为M∩N的长度为4，所以2m＝4或－2m＝4，得m＝2或m＝－2.当m＝2时，M＝{x｜－2≤x≤6}，N＝{x｜－4≤x≤2}，M∪N＝{x｜－4≤x≤6}，当m＝－2时，M＝{x｜－6≤x≤2}，N＝{x｜－2≤x≤4}，M∪N＝{x｜－6≤x≤4}.所以M∪N的长度为10，故选D. 感悟提升 解含参一元二次不等式的步骤 1.已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0的解集是（　　） A.（－∞，－3）∪（2，＋∞） B.（－3，2） C.（－∞，－2）∪（3，＋∞） D.（－2，3） 解析：A　由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞），得b＝2a且a＜0，则关于x的不等式ax2＋（3a－b）x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，即（x＋3）（x－2）＞0，解得x＜－3或x＞2，所以不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.故选A. 2.若关于x的不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为[－1，0）∪（6，7]. 解析：不等式x2－（m＋3）x＋3m＜0可化为（x－3）（x－m）＜0，当m＞3时，不等式的解集为（3，m），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为⌀，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为（m，3），要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0）∪（6，7]. 基本不等式 【例3】　（1）已知正实数a，b满足＋＝1，则a＋2b的最小值为（　B　） A.6 B.8 C.10 D.12 （2）若x＜，则f（x）＝3x＋1＋有（　C　） A.最大值0 B.最小值9 C.最大值－3 D.最小值－3 解析：（1）由题意知a＋2b＋1＝（a＋b＋b＋1）·（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即b＝2，a＝4时取等号，此时a＋2b取得最小值8.故选B. （2）∵x＜，∴3x－2＜0.f（x）＝3x－2＋＋3＝－［（2－3x）＋］＋3≤－2＋3＝－3，当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”.故f（x）＝3x＋1＋有最大值－3.故选C. 感悟提升 基本不等式求最值的三种解题技巧 （1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值； （2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，则可通过凑系数得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值； （3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg（x）（AB＞0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值. 1.（2024·镇江丹阳期中）已知正实数x，y满足x－y＋5＝xy，则x＋y的最小值为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 解析：B　由x－y＋5＝xy得xy＋y＝x＋5，所以y＝，所以x＋y＝x＋＝x＋＝（x＋1）＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝（x＞0），即x＝1时，等号成立，此时y＝3，故x＋y的最小值为4.故选B. 2.（多选）（2024·杭州质检）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（　　） A.＋的最小值为4 B.a2＋b2的最小值为 C.loa＋lob的最小值为3 D.2a＋4b的最小值为2 解析：BCD　对于A，＋＝（＋）（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时等号成立，所以A错误；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋≥，当且仅当b＝，a＝时取得最小值，所以B正确；对于C，loa＋lob＝lo（ab）＝lo［（a·2b）］≥1＋lo（）2＝1＋2＝3，当且仅当a＝2b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝22b，即a＝2b＝时等号成立，所以D正确.故选B、C、D. 1.已知a＜0，－1＜b＜0，则下列不等式成立的是（　　） A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞a C.ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a 解析：D　由于每个式子中都有a，故先比较1，b，b2的大小.因为－1＜b＜0，所以b＜b2＜1.又因为a＜0，所以ab＞ab2＞a.故选D. 2.已知关于x的不等式（ax－1）（x＋1）＜0的解集是（－∞，－1）∪（－，＋∞），则a＝（　　） A.2 B.－2 C.－ D. 解析：B　根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋（a－1）x－1＝0的两个根，所以－1×（－）＝－，解得a＝－2.故选B. 3.（2024·信阳部分学校联考）设x∈R，则“＞0”是“｜x－1｜＜4”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由＞0，得（x－5）（2－x）＞0，得（x－5）（x－2）＜0，解得2＜x＜5；由｜x－1｜＜4，得－4＜x－1＜4，得－3＜x＜5.因为（2，5）⫋（－3，5），所以“＞0”是“｜x－1｜＜4”的充分不必要条件，故选A. 4.设x1，x2是关于x的方程x2＋（a－1）x＋a＋2＝0的两个根.若－1＜x1＜1，1＜x2＜2，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，－1） B.（－，） C.（－2，1） D.（－2，－1） 解析：A　设f（x）＝x2＋（a－1）x＋a＋2，因为x2＋（a－1）x＋a＋2＝0的两个根为x1，x2，且－1＜x1＜1，1＜x2＜2，f（－1）＝4＞0，所以即解得－＜a＜－1，故选A. 5.若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞）上恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A.（0，＋∞） B.[－1，＋∞） C.[－1，1] D.[0，＋∞） 解析：B　当x＝0时，不等式1≥0恒成立；当x＞0时，由题意可得－2a≤x＋恒成立，又x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以－2a≤2，解得a≥－1.所以实数a的取值范围是[－1，＋∞）.故选B. 6.已知实数a＞b＞c，abc≠0，则下列结论一定正确的是（　　） A.＞ B.ab＞bc C.＜ D.ab＋bc＞ac＋b2 解析：D　由题可知，a≠0，b≠0，c≠0，A中，若a＞b＞c＞0，则＜，故A错误；B中，若a＞0＞b＞c，则ab＜0，bc＞0，故ab＜bc，故B错误；C中，若a＞0＞b＞c，则＞，故C错误；D中，ab＋bc＞ac＋b2⇒ab－ac＞b2－bc⇒a（b－c）＞b（b－c），因为a＞b＞c，abc≠0，所以b－c＞0，则ab＋bc＞ac＋b2，故D正确. 7.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1，所以＝＋＝（＋）（a＋b）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，则≤.故选B. 8.已知∀x∈[1，2]，∀y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值范围是（　　） A.[4，＋∞） B.[0，＋∞） C.[6，＋∞） D.[8，＋∞） 解析：C　因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，所以∈［，1］，∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，所以m≥（）2－.令t＝，则t∈[1，3]，原问题等价于∀t∈[1，3]，m≥t2－t，即m≥（t2－t）max（t∈[1，3]）.又t2－t＝（t－）2－，则当t＝3时，t2－t取得最大值，为9－3＝6，所以实数m的取值范围是[6，＋∞）.故选C. 9.（多选）（2024·沧州二模）已知实数a，b满足a＞b，a＋b＝1，则（　　） A.a2＞ab B.ab＞b2 C.ab≤ D.a2＋b2≥1 解析：AC　因为a＞b，a＋b＝1＞0，所以a＞0，b的符号不确定，由不等式的性质知a2＞ab成立，但ab＞b2不一定成立，故A正确，B错误；因为ab＝a（1－a）＝－（ a－）2＋≤，故C正确；因为a＞b，所以a2＋b2＞2ab，所以a2＋b2＞＝，故D错误.故选A、C. 10.（多选）（2024·重庆学业质量调研）已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是（　　） A.lg a＞lg b B.a＋b＝ab C.（）a＞（）b D.a＋b＞4 解析：ABD　因为3a＝5b＝15，所以a＝log315，b＝log515.对于A，由log315＞log515，得a＞b，又根据对数函数的性质可知，lg a＞lg b，故A正确；对于B，易知a＞0，b＞0，所以＝log153，＝log155，所以＋＝log153＋log155＝log15（3×5）＝1，所以＝1，即a＋b＝ab，故B正确；对于C，由y＝（）x是减函数，由a＞b，得（）a＜（）b，故C错误；对于D，由a＋b＞2，又a＋b＝ab，所以ab＞2，解得ab＞4，即a＋b＞4，故D正确.故选A、B、D. 11.（多选）（2024·长郡中学模拟）若x，y满足（x＋y）2－xy＝2，则（　　） A.y－x≥－ B.y－x＜2 C.xy＞ D.xy≥－ 解析：ABD　令y－x＝t，则y＝x＋t，代入（x＋y）2－xy＝2可得：x2＋tx＋（t2－2）＝0.所以Δ＝t2－3（t2－2）≥0，解得－≤t≤，所以A、B正确；（x＋y）2－xy＝2可变形为x2＋y2＝xy＋2，因为－≤xy≤，将x2＋y2＝xy＋2代入上式可得：－－1≤xy≤＋1，解得－≤xy≤，所以C不正确，D正确.故选A、B、D. 12.能够说明“若＞，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值依次为－1，1（答案不唯一）. 解析：由＞，a＜0，可得＜.①当x，y同号时，可得x＞y；②当x，y异号时，可得y＞0＞x.故取整数x，y满足y＞0＞x即可，可取x＝－1，y＝1. 13.已知二次函数f（x）＝－x2＋2x＋3，不等式f（x）≥m的解集的区间长度为6（规定：闭区间[a，b]的长度为b－a），则实数m＝－5. 解析：不等式f（x）≥m可化为x2－2x－3＋m≤0，令x2－2x－3＋m≤0的解集为{x｜x1≤x≤x2}，则x2－x1＝6，∵又∵（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝36，∴4－4（m－3）＝36，即m＝－5. 14.（2024·河南中原名校联考）若关于x的不等式0≤ax2＋bx＋c≤2（a＞0）的解集为{x｜－1≤x≤3}，则3a＋b＋2c的取值范围是［，4）. 解析：因为不等式0≤ax2＋bx＋c≤2（a＞0）的解集为{x｜－1≤x≤3}，所以二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，且需满足即解得所以a＋b＋c＝a－2a－3a＋2≥0⇒a≤，所以a∈（0，］，所以3a＋b＋2c＝3a－2a－6a＋4＝4－5a∈［，4）. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $